最后更新: 2025-05-24 07:52 查看: 60 次反馈同步训练

高考研究：排列与组合

## 排列与组合
排列：从n个不同元素中取出m个元素**按顺序**排列
组合：从n个不同元素中取出m个元素**无需按顺序**排列

性质与常用公式
 ![图片](/uploads/2025-05/8139e5.jpg)
 
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`例` 从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是
解：选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 $C _4^2 C _3^1=18$（种），选出的 3 人中有 1 名男同学 2 名女同学的方法有 $C _4^1 C _3^2=12$（种），故 3 名学生中男、女生都有的选法有 $C _4^2 C _3^1+ C _4^1 C _3^2=30$（种）．

`例` 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字且不大于4 310的四位偶数.
解：（1）当千位上排 1 或 3 时，符合题意的共有 $A _2^1 A_3^1 A_4^2$ 个．
（2）当千位上排 2 时，符合题意的共有 $A _2^1 A_4^2$ 个．
（3）当千位上排 4 时，形如 $40 \times \times, ~ 42 \times \times$ 的偶数各有 $A _3^1$ 个符合题意，形如 $41 \times \times$ 的偶数有 $A _2^1 A_3^1$ 个符合题意，形如 $43 \times \times$ 的偶数只有 4310和 4302 这两个数符合题意．

故共有 $A_2^1 A_3^1 A_4^2+A_2^1 A_4^2+2 A_3^1+A_2^1 A_3^1+2=110$（个）符合题意．

`例` 8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有 种排法.

解：先排甲、乙，有 $A _4^2$ 种排法，再排丙，有 $A _4^1$ 种排法，其余 5 人有 $A _5^5$ 种排法，故不同的排法共有 $A _4^2 A_4^1 A_5^5=5760$（种）。

## 提高
组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

`例` 从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为

解：由题可知，选派 4 人去的总的选派种数为 $C^4=35$ ，选派 4 人全部是男生的选派种数为 1 ，所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为  $35-1=34$.

`例` (多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是
A.全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法
B.全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法
C.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有 70种
D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法

解：对于 A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有 A 4 种排法，再将女生的整体与 3 名男生在一起进行全排列，有 A 4 种排法，故共有 $A _4^4 \cdot A_4^4=576$（种）排法，故 A 错误；
对于 B，先排女生，将 4 名女生全排列，有 A 4 种排法，
再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 $A _5^3$ 种排法，
故共有 $A

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