最后更新: 2025-05-24 07:59 查看: 50 次反馈同步训练

高考研究：二项式定理

##  二项式定理
 ![图片](/uploads/2025-05/9d7403.jpg)
 
 ### 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端＂等距离＂的两个二项式系数相等．
（2）增减性与最大值：当 $n$ 是偶数时，中间的一项 $C _n^{\frac{n}{2}}$ 取得最大值；当 $n$ 是奇数时，中间的两项 $C _n^{\frac{n-1}{2}}$ 与 $C _n^{\frac{n+1}{2}}$ 相等，且同时取得最大值．
（3）各二项式系数的和：$(a+b)^n$ 的展开式的各二项式系数的和为 $C _n^0+ C _n^1$ $+ C _n^2+\cdots+ C _n^n=2^n$.

$$
\begin{aligned}
&\text { 1. } C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\cdots=2^{n-1} .\\
&\text { 2. } C_{n+1}^m=C_n^{m-1}+C_n^m \text {. }
\end{aligned}
$$

`例` $\left(\frac{1}{x}-\sqrt{x}\right)^{10}$ 的展开式中 $x^2$ 的系数等于
解：因为展开式的通项为 $T_{k+1}=(-1)^k C _{10}^k x^{\frac{k}{2}} \cdot x^{-(10-k)}=(-1)^k C _{10}^k x^{-10+\frac{3}{2} k}$ ，令 $-10+\frac{3}{2} k=2$ ，得 $k=8$ ，所以展开式中 $x^2$ 的系数为 $(-1)^8 \times C =45$ ．

`例` 已知 $C _n^0+2 C _n^1+2^2 C _n^2+2^3 C _n^3+\cdots+2^n C _n^n=243$ ，则 $C _n^1+ C _n^2+ C _n^3+\cdots+ C _n^n$ 等于
解：逆用二项式定理得 $C _n^0+2 C _n^1+2^2 C _n^2+2^3 C _n^3+\cdots+2^n C _n^n=(1+2)^n=243$ ，即 $3^n=3^5$ ，所以 $n=5$ ，

所以 $C _n^1+ C _n^2+ C _n^3+\cdots+ C _n^n=2^5-1=31$ ．

`例` 利用二项式定理计算 $1.05^6$

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：高考研究：排列与组合

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)