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高中数学
第九章 数列
数列的周期性
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2025-05-28 07:01
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数列的周期性
## 数列的周期性 数列的周期性通过仔细观察给出数字的规律找到周期。 `例` 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$ ，则 $a_{2024}$ 的值为 A． 2 B．-3 C．$-\frac{1}{2}$ D．$\frac{1}{3}$ 解： 由题意知，$a_1=2, a_2=\frac{1+2}{1-2}=-3$ ， $$ \begin{aligned} & a_3=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}, \quad a_4=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} \\ & a_5=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=2, \quad a_6=\frac{1+2}{1-2}=-3, \cdots \end{aligned} $$ 因此数列 $\left\{a_n\right\}$ 是周期为 4 的周期数列， 所以 $a_{2024}=a_{505 \times 4+4}=a_4=\frac{1}{3}$ ． `例`观察数列 $1, \ln 2, \sin 3,4, \ln 5
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