最后更新: 2025-05-31 18:09 查看: 57 次反馈同步训练

高考研究：集合问题解析

## 子集计算不要忘记空集
`例` 设集合 $A=\{x \mid-1 \leqslant x+1 \leqslant 2\}, ~ B=\{x \mid m-1 \leqslant x \leqslant 2 m+1\}$ ，当 $x \in Z$ 时，集合 $A$ 的真子集有 () 个；当 $B \subseteq A$ 时，实数 $m$ 的取值范围是()

解：
$$
A=\{x \mid-2 \leqslant x \leqslant 1\},
$$

若 $x \in Z$ ，则 $A=\{-2, ~-1,0,1\}$ ，
故集合 $A$ 的真子集有 $2^4-1=15$（个）．
由 $B \subseteq A$ ，得

（1）若 $B=\varnothing$ ，则 $2 m+1<m-1$ ，即 $m<-2$ ，
（2）若 $B \neq \varnothing$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}2 m+1 \geqslant m-1, \\ 2 m+1 \leqslant 1, \\ m-1 \geqslant-2,\end{array}\right.$
解得 $-1 \leqslant m \leqslant 0$ ，
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,-2) \cup[-1,0]$ ．

## 新定义

`例`（多选）当一个非空数集 $F$ 满足条件＂若 $a, ~ b \in F$ ，则 $a+b$ ，$a-b$ ， $a b \in F$ ，且当 $b \neq 0$ 时，$\frac{a}{b} \in F$＂时，称 $F$ 为一个数域，以下说法正确的是 A． 0 是任何数域的元素

B．若数域 $F$ 有非零元素，则 $2023 \in F$
C．集合 $P=\{x \mid x=3 k, k \in Z \}$ 为数域
D．有理数集为数域

解：选ABD
对于A，若 $a \in F$ ，则 $a-a=0 \in F$ ，故A正确；
对于 B，若 $a \in F$ 且 $a \neq 0$ ，则 $1=\frac{a}{a} \in F, 2=1+1 \in F, 3=1+2 \in F$ ，依此类推，可得 $2023 \in F$ ，故 B 正确；
对于 C，$P=\{x \mid x=3 k, k \in Z \}, 3 \in P, 6 \in P$ ，但 $\frac{3}{6} \notin P$ ，故 $P$ 不是数域，故 C 错误；
对于 D ，若 $a, b$ 是两个有理数，则 $a+b, a-b, a b, \frac{a}{b}(b \neq 0)$ 都是有理数，所以有理数集是数域，故 D 正确．

`例` 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的

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