最后更新: 2025-06-26 06:15 查看: 151 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

一个重要的复函数：反演映射 w=1/z

数学中的反演变换（Inversion），又称为逆变或反变映射，是一种在欧几里得平面或更广义地在三维空间甚至更高维度空间中定义的特殊几何变换。反演变换以其独特的性质，如保角性、保圆性、对偶性以及对直线和圆的转换规则，在纯数学、工程学、物理学等多个领域中都有重要应用。

>本文涉及很多新的概念，建议初学者大致了解一下，后面学完后，再来详细了解本文内容。

>反演变换的几何描述：过点$O$作射线$OA$，在直线$OA$上找到一点$A'$，使得有向线段$OA$与$OA'$的乘积等于常数$k^2$， 即 $OA * OA'=k^2 $,则称$A'$为$A$的反演点 ，如果取$k=1$ 则有 $OA * OA=1 $

## 反演映射 $w=\frac{1}{z}$ 结论    
我们先把反演映射的结论给出：令 $z=r e ^{i \theta}$ ，则有 $w=\frac{1}{r} e ^{i(-\theta)}$ 从纯数学角度分析，他将模长变成倒数，角度变为负角。反演映射也称作分式映射。

映射 $w=\frac{1}{z}$ 称为反演映射，令 $z=r e ^{ i \theta}$ ，则 $w=$ $\frac{1}{r} e ^{i(-\theta)}$ ，即 $|w|=\frac{1}{|z|}, \arg w=-\arg z$ ．由 $|w|=\frac{1}{|z|}$ 可知，当 $|z|<1$ 时，$|w|>$ 1 ；当 $|z|>1$ 时，$|w|<1$ ．因此反演映射 $w=\frac{1}{z}$ 的特点是将单位圆内部的任一点映射到单位圆外部，或将单位圆外部的任意一点映射到单位圆的内部，且辐角反号．

> 反演映射最通俗的理解就像是汽车反射镜（后视镜），如果实物是大的则反射后缩小。如果实物是小的，则反射后放大。 特别的，假设$z=0.1$ 则$w=10$ ，如果 $z=10$，则$w=0.1$ ,总之就是和你对着干。

从下图中可以清楚地看出，映射 $w=\frac{1}{z}$ 实际上可以分两步进行．
（1）先将 $z$ 映射为 $w_1$ ，满足 $\left|w_1\right|=\frac{1}{|z|}$ 且 $\arg w_1=\arg z$ ；

（2）再将 $w_1$ 映射为 $w$ ，满足 $|w|=$ $\left|w_1\right|$ 且 $\arg w=-\arg w_1$ 。

从几何角度看，$w$ 与 $w_1$ 是关于实轴对称的比较容易理解，那么 $z$与 $w_1$ 的几何关系是什么呢？这是我们讨论的重点。

![图片](/uploads/2025-01/acafb1.jpg){width=300px}

下面动画演示了反演映射。

[donghua  title='动画演示']/uploads/2025-06/9f2dc1.html[/donghua]

为了理解 $w_1$和$z$的关系，我们先引入一个定理：圆周对称。

### 圆周对称

**定义** 设某圆的半径为 $R, A, B$ 两点在从圆心出发的射线上，且 $\overline{O A} \cdot \overline{O B}=R^2$ ，则称 $A$ 和 $B$ 是关于圆周对称的（如图）。自然地，规定圆心与无穷远点关于该圆周对称．

根据这一定义可知，$z$ 与 $w$ ，是关于单位圆对称的．因此，映射 $w=\frac{1}{z}$ 可由单位圆对称映射与实轴对称映射复合而成．事实上，如果我们将 $w=\frac{1}{z}$ 写成 $\xi=\frac{1}{z}$ 与 $w=\bar{\xi}$ 的复合，那么前者正好是单位圆对称映射，而后者正好是实轴对称映射。

为了方便地进行后面的讨论，对反演映射作如下的规定和说明．

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