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微分方程的求解-数值分析方法：欧拉方法

## 微分方程的求解-数值分析方法：欧拉方法
求微分方程初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=f(t, y) \\
y\left(t_0\right)=y_0
\end{array}\right. ...(1.4)
$$

的解，可以从初始条件 $y\left(t_0\right)=y_0$ 出发，按照一定的步长 $\Delta t$ ，依照某种方法逐步计算微分方程的近似解 $y_n \approx y\left(t_n\right)$ ，其中 $t_n=t_0+n \Delta t$ ，这样求出的解称为数值解．由于计算机的发展与普及，数值解及其相应的图形软件使得可以方便简洁地了解微分方程的解随时间及其参数变化时的形状，而不必求出解来．数值分析的方法已经成为分析微分方程解的不可或缺的有力工具。

### 1.欧拉方法
大数学家欧拉曾简单地用差分代替微分，把初值问题（1．4）化为

$$
y_{n+1}=y_n+f\left(t_n, y_n\right) \Delta t, \quad t_n=t_0+n \Delta t
$$

称为**欧拉公式**．下面从几何直观上就欧拉方法具体描述．

首先从 $\left(t_0, y_0\right)$ 出发，第一步到达 $\left(t_1, y_1\right)$ ，其中 $t_1=t_0+\Delta t$ ，并且 $\left(t_1, y_1\right)$ 位于经过 $\left(t_0, y_0\right)$ 且以该点处斜率标记为方向的直线上，即斜率为 $f\left(t_0, y_0\right)$ 的直线上．其次，从 $\left(t_1, y_1\right)$ 出发，沿用上步到达 $\left(t_2, y_2\right)$ ，其中 $t_2=t_1+\Delta t$ ，并且 $\left(t_2, y_2\right)$ 位于 $\left(t_1, y_1\right)$ 开始的线段上，其斜率为 $f\left(t_1, y_1\right)$ ，这样一直做下去，由点 $\left(t_n, y_n\right)$ 决定下一个点 $\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right), y_0, y_1, y_2, \cdots$ 可以看成对时刻 $t_0, t_1, t_2, \cdots$ 时的解的逼近。从几何图形上看，可以用这种方法生成连接 $\left(t_n, y_n\right)$ 和下一个点 $\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right)$ 的小线段序列，如图 1.21 所示，而图 1.22 给出欧拉方法近似解与真实解的对比．

![图片](/uploads/2025-06/c41cc3.jpg)
 
 ### 2．用欧拉方法求方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 逼近解的步骤
给定初始条件 $y\left(t_0\right)=y_0$ 和步长 $\Delta t$ ，通过点 $\left(t_n, y_n\right)$ 计算点 $\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right)$ 的步骤如下：
（1）利用微分方程来计算斜率 $f\left(t_n, y_n\right)$ ；
（2）用公式 $t_{n+1}=t_n+\Delta t, y_{n+1}=y_n+f\left(t_n, y_n\right) \Delta t$ 计算 $\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right)$ ．
利用欧拉公式计算 $y_n(n=0,1,2, \cdots)$ ，除 $y_0$ 是精确值以外都是近似值，一直计算下去必然会产生积累误差．欧拉公式相当于将解 $y\left(t_{n+1}\right)=y\left(t_n+\Delta t\right)$ 用泰勒级数展开，只取一阶项，其局部截断误差为 $h^2$ 的常数倍，

$$
\begin{aligned}
y\left(t_{n+1}\right) & =y\left(t_n+\Delta t\right) \\
& =y\left(t_n\right)+y^{\prime}\left(t_n\right) \Delta t+\frac{y^{\prime \prime}\left(t_n\right)}{2!}(\Delta t)^2+\cdots \\
& =y_n+f\left(t_n, y_n\right) \Delta t+O\left((\Delta t)^2\right) \\
& =y_{n+1}+O\left((\Delta t)^2\right)
\end{aligned}
$$

因此，欧拉公式的局部截断误差可写为

$$
y\left(t_{n+1}\right)-y_{n+1}=O\left((\Delta t)^2\right)
$$

一般来说，若一种算法的局部截断误差为 $O\left((\Delta t)^{p+1}\right)$ ，则称该算法具有 $p$ 阶精度．因此，欧拉方法具有一阶精度。

如果微分方程（1．4）的解取积分形式

$$
y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(t, y(t)) d t
$$

则利用定积分的梯形公式作近似计算可得

$$
\begin{aligned}
y\left(t_{n+1}\right) & =y_n+\int_{t_n}^{t_{n+1}} f(s, y(s)) d s \\
& \approx y_n+\int_{t_n}^{t_{n+1}} \frac{1}{2}\left(f\left(t_n, y_n\right)+f\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right)\right) d s \\
& =y_n+\frac{1}{2}\left(f\left(t_n, y_n\right)+f\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right)\right)\left(t_{n+1}-t_n\right)
\end{aligned}
$$

上式中含未知值 $y_{n+1}$ ，但其值可用欧拉公式来计算，即先用欧拉公式进行预测，再利用上述的梯形公式进行校正，计算公式为

$$
\bar{y}_{n+1}=y_n+f\left(t_n, y_n\right) \Delta t, \quad y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}\left(f\left(t_n, y_n\right)+f\left(t_{n+1}, \bar{y}_{n+1}\right)\right) \Delta t
$$

此方法称为**改进的欧拉方法**．下面来计算一下它的精度，取半步长的泰勒级数展开式

$$
\begin{aligned}
y_{n+\frac{1}{2}}= & y\left(t_n+\frac{1}{2} \Delta t\right) \\
= & y\left(t_n\right)+\frac{1}{2} y^{\prime}\left(t_n\right) \Delta t+\frac{1}{8} y^{\prime \prime}\left(t_n\right)(\Delta t)^2+O\left((\Delta t)^3\right) \\
y_{n+1-\frac{1}{2}}= & y\left(t_{n+1}-\frac{1}{2} \Delta t\right) \\
= & y\left(t_{n+1}\right)-\frac{1}{2} y^{\prime}\left(t_{n+1}\right) \Delta t+\frac{1}{8} y^{\prime \prime}\left(t_{n+1}\right)(\Delta t)^2+O\left((\Delta t)^3\right)
\end{aligned}
$$

及

$$
\begin{gathered}
y^{\prime \prime}\left(t_{n+1}\right)=y^{\prime \prime}\left(t_n+\Delta t\right)=y^{\prime \prime}\left(t_n\right)+y^{\prime \prime \prime}(\xi) \Delta t, \quad \xi \in\left(t_n, t_n+\Delta t\right) \\
y_{n+\frac{1}{2}}=y_{n+1-\frac{1}{2}}, \quad y_n=y\left(t_n\right)
\end{gathered}
$$

得

$$
y\left(t_{n+1}\right)=y\left(t_n\right)+\frac{1}{2}\left(f\left(t_n, y_n\right)+f\left(t_{n+1}, \bar{y}_{n+1}\right)\right) \Delta t+O\left((\Delta t)^3\right)=y_{n+1}+O\left((\Delta t)^3\right)
$$

其中， $\bar{y}_{n+1}$ 是由欧拉方法算出的 $y\left(t_{n+1}\right)$ 的近似值，而 $y_{n+1}$ 是由改进的欧拉方法计算的 $y\left(t_{n+1}\right)$ 的近似值，因此，改进的欧拉方法具有二阶精度．

`例` 用欧拉方法和改进的欧拉方法在区间 $[0,1]$ 上计算下列初值问题：

$$
\frac{d y}{d t}=y\left(1-y^2\right), \quad y(0)=2
$$

取步长为 $\Delta t=0.1$ ，并与精确解对比，精确到万分位．
解 方程是变量分离方程，可求得初值问题的解为

$$
y(t)=\sqrt{\frac{4 e^{2 t}}{4 e^{2 t}-3}} .
$$

利用欧拉方法和改进的欧拉方法计算结果如表1．1所示．

![图片](/uploads/2025-06/1fc8f9.jpg)
 
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