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数值方法：欧拉方法

1．4．5 数值方法：欧拉方法
求微分方程初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=f(t, y) \\
y\left(t_0\right)=y_0
\end{array}\right.
$$

的解，可以从初始条件 $y\left(t_0\right)=y_0$ 出发，按照一定的步长 $\Delta t$ ，依照某种方法逐步计算微分方程的近似解 $y_n \approx y\left(t_n\right)$ ，其中 $t_n=t_0+n \Delta t$ ，这样求出的解称为数值解．由于计算机的发展与普及，数值解及其相应的图形软件使得可以方便简洁地了解微分方程的解随时间及其参数变化时的形状，而不必求出解来．数值分析的方法已经成为分析微分方程解的不可或缺的有力工具。

1．欧拉方法
大数学家欧拉曾简单地用差分代替微分，把初值问题（1．4）化为

$$
y_{n+1}=y_n+f\left(t_n, y_n\right) \Delta t, \quad t_n=t_0+n \Delta t
$$

称为欧拉公式．下面从几何直观上就欧拉方法具体描述．

首先从 $\left(t_0, y_0\right)$ 出发，第一步到达 $\left(t_1, y_1\right)$ ，其中 $t_1=t_0+\Delta t$ ，并且 $\left(t_1, y_1\right)$ 位于经过 $\left(t_0, y_0\right)$ 且以该点处斜率标记为方向的直线上，即斜率为 $f\left(t_0, y_0\right)$ 的直线上．其次，从 $\left(t_1, y_1\right)$ 出发，沿用上步到达 $\left(t_2, y_2\right)$ ，其中 $t_2=t_1+\Delta t$ ，并且 $\left(t_2, y_2\right)$ 位于 $\left(t_1, y_1\right)$ 开始的线段上，其斜率为 $f\left(t_1, y_1\right)$ ，这样一直做下去，由点 $\left(t_n, y_n\right)$ 决定下一个点 $\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right), y_0, y_1, y_2, \cdots$ 可以看成对时刻 $t_0, t_1, t_2, \cdots$ 时的解的逼近。从几何图形上看，可以用这种方法生成连接 $\left(t_n, y_n\right)$ 和下一个点 $\left(t_{n+1}, y_{n+1}\right)$ 的小线段序列，如图 1.21 所示，而图 1.22 给出欧拉方法近似解与真实解的对比．

![图片](/uploads/2025-06/c41cc3.jpg)
 
 2．用欧拉方法求方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 逼近解的步骤
给定初始条件 $y\left(t_0\right)=y_0$ 和步长 $\Delta t$ ，通过点 $\left(t_n, y

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