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微分方程解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性

## 解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性

考虑代数方程 $x^5-8 x+5=0$ 实数根的情况．首先由代数学基本定理知道，在复数域内有 5 个根．这 5 个根有多少实根呢？由于 5 次方程没有一般的求根公式，所以并不能通过解的表达式来确定，但是能够看到如下事实：

$$
\begin{aligned}
& \text { 当 } x=1 \text { 时, } x^5-8 x+5=-2<0 \text {, } \\
& \text { 当 } x=-1 \text { 时, } x^5-8 x+5=12>0 \text {. }
\end{aligned}
$$

从而由根的存在性定理知在区间 $(-1,1)$ 内，方程 $x^5-8 x+1=0$ 至少有一个实根，这样就判断出区间 $(-1,1)$ 内方程 $x^5-8 x+1=0$ 解的存在性．也许在这个区间内不只有一个解，也许只有唯一解，这又需要另作处理．

同样，给定一个微分方程的初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

需要探讨它的解是否存在，如果存在是否唯一这样的问题．回答这一问题是从方程本身出发，并不需进行求解，正如判断 $(-1,1)$ 内方程 $x^5-8 x+5=0$ 解的情况一样．

**本节一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理明确地肯定了解在一定条件下的存在性与唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，具有重大的理论意义．由于能够精确求解的微分方程不多，微分方程的近似解法（数值方法）具有十分重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的理论基础．因为如果解不存在，却要去求近似解是没有意义的；如果解存在而不唯一，由于不知道要确定哪一个解，却要去近似地逼近它，问题也是不明确的．解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在性与唯一性，因而它是近似求解的前提和理论基础．**

**由于各种条件的限制，实际测量的初始数据往往是不精确的，只能近似地反映初始状态，那么以此为初始条件的解与真正的解的差距怎样呢？这就要求给定的微分方程当初值微小变动时，相应的解的变化也很小，从而产生解对初值的连续相依性问题。如果这个问题不解决，则微小的初值变动很可能造成解的巨大误差，失之毫厘，谬以千里．即使给出初值问题能够满足的存在唯一性条件，但往往很难或不能求得精确的解析解，又怎能去求逼近解呢？**

本节不加证明地给出一阶微分方程解的存在唯一性定理和解对初值的连续相依性定理，其证明参见本章附录或文献 ．

## 解的存在性
所谓微分方程的初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$
的解的存在性是指存在定义区间上的连续可微函数 $y=y(t)$ ，使得它在 $t$ 时刻的导数值恰好等于 $f(t, y(t))$ ，并且满足初始条件 $y\left(t_0\right)=y_0$ 。微分方程初值问题的解的存在性已被广泛地研究，下面给出标准的存在性描述。

**定理1.3 解的存在性** 设 $f(t, y)$ 在矩形区域 $D=\left\{(t, y) \in R ^2 \mid a<t<b, c<\right.$ $y<d\}$ 内连续，如果 $\left(t_0, y_0\right) \in D$ ，则存在 $\varepsilon>0$ 和函数 $y(t)$ ，定义于区间 $\left(t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon\right)$内，是初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

的解．
定理 1.3 说明，对于初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

只要 $f(t, y)$ 连续，就一定有解在某一区间上存在．如果确定存在区间的 $\varepsilon$ 很小，那么解的存在范围可能就很小，也就是说，解只可能短时间存在．考虑如下初值问题：

$$
\frac{d y}{d t}=1+y^2, \quad y(0)=0
$$

它满足存在性定理的条件，下面来看一下它的解的情况．首先，进行求解，这是一个自治方程，分离变量，两端积分有

$$
\int \frac{d y}{1+y^2}=\int d t
$$

从而得

$$
\arctan y=t+c
$$

其中，$c$ 是任意常数，因而

$$
y(t)=\tan (t+c)
$$

这是方程的通解，带入初始条件 $y(0)=0$ 得 $c=0$（或 $n \pi(n$ 为整数）），故特解为 $y(t)=\tan t$ ，其定义域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，只在有限区间内存在，如图 1.24 所示．

![图片](/uploads/2025-06/63db73.jpg)
 
其次，对解进行分析，正如我们所知，$t= \pm \frac{\pi}{2}$ 是解 $y=\tan t$ 的垂直渐近线，当 $t$ 从左侧趋向于 $\frac{\pi}{2}$ ，或右侧趋向于 $-\frac{\pi}{2}$ 时，解将爆破，即趋向于无穷大．若该方程描述了物理系统的进程，则表明当时间 $t$ 趋向于 $\frac{\pi}{2}$ 时，系统将面临崩溃．这样对于一般的微分方程，并不能期望它的存在区间很大，也就是说，必须注意存在性定理对解的区间存在性的限制．
  
 
  
  
 ##  解的唯一性
函数 $f(t, y)$ 称为在矩形区域 $D=\left\{(t, y) \in R ^2 \mid a<t<b, c<y<d\right\}$ 内关于 $y$满足利普希茨（Lipschitz）条件，如果存在常数 $L>0$ ，使得不等式

$$
\left|f\left(t, y_1\right)-f\left(t, y_2\right)\right| \leqslant L\left|y_1-y_2\right|
$$

对于所有的 $\left(t, y_1\right),\left(t, y_2\right) \in D$ 都成立，$L$ 称为**利普希茨常数**．

**定理1.4（解的唯一性）**  设 $f(t, y)$ 在矩形区域 $D$ 内连续且关于 $y$ 满足利普希茨条件．如果 $\left(t_0, y_0\right) \in D$ ，并且 $y_1(t), y_2(t)$ 是初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

在区间 $\left(t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon\right)$ 内的两个解，那么对任意的 $t \in\left(t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon\right), y_1(t)=y_2(t)$ ，即解是唯一的．

**注记**（1）存在性定理和唯一性定理结合在一起称为初值问题解的存在唯一性定理，叙述如下：设 $f(t, y)$ 在矩形区域 $D=\left\{(t, y) \in R ^2 \mid a<t<b, c<y<d\right\}$ 内连续且关于 $y$ 满足利普希茨条件．如果 $\left(t_0, y_0\right) \in D$ ，则存在 $\varepsilon>0$ 和函数 $y(t)$ 定义于区间 $\left(t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon\right)$ 内，是初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

的唯一解，因而当判断初值问题解的存在唯一性时，要检查 $f(t, y)$ 需要满足的条件．

（2）由于利普希茨条件较难检验，常用 $f(t, y)$ 在 $\bar{D}=\{a \leqslant t \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\}$ 上对 $y$ 有连续偏导数来代替．事实上，如果在 $\bar{D}$ 上 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 存在且连续，则 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 有界．设在 $\bar{D}$ 上 $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leqslant L$ ，则有

$$
\left|f\left(t, y_1\right)-f\left(t, y_2\right)\right|=\left|\frac{\partial f\left(t, y_1+\theta\left(y_2-y_1\right)\right)}{\partial y}\right|\left|y_1-y_2\right| \leqslant L\left|y_1-y_2\right|
$$

其中，$\left(t, y_1\right),\left(t, y_2\right) \in D, 0<\theta<1$ ．但反过来满足利普希茨条件的函数 $f(t, y)$ 不一定有偏导数存在．例如，$f(t, y)=|y|$ 在任何区域内都满足利普希茨条件，但它在 $y=0$ 处没有导数．

### 1．解的唯一性缺失的反例

`例`分析初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=\frac{3}{2} y^{\frac{1}{3}} \\
y(0)=0
\end{array}\right.
$$

的解的存在唯一性．

解 因为 $f(t, y)=\frac{3}{2} y^{\frac{1}{3}}$ 在全平面上连续，因而初值问题的解是存在的．但是 $\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2} y^{-\frac{2}{3}}$ 在 $y=0$ 处不存在，不能依据注记（2）来判断利普希茨条件，暂时不能依据唯一性定理给出解的唯一性判断．下面来分析一下给定的初值问题．首先容易看到它有解 $y=0$ ；其次由方程本身 $\frac{ d y}{d t}=\frac{3}{2} y^{\frac{1}{3}}$ 可求通解为 $y= \pm(t+c)^{\frac{3}{2}}(t \geqslant-c, c$ 为任意常数）．再由初始条件 $y(0)=0$ 得 $c=0$ ．这样又得到另两个解 $y= \pm t^{\frac{3}{2}}(t \geqslant 0)$ ，因而给定初值问题的解是不唯一的，至少有三个解，如图 1.25 所示．

![图片](/uploads/2025-06/c3cc3f.jpg)
 
 其实可以验证对于任意的常数 $c \geqslant 0$ ，如下函数：

$$
y(t)=\left\{\begin{array}{ll}
(t-c)^{\frac{3}{2}}, & t \geqslant c, \\
0, & t < c
\end{array} \quad \text { 和 } \quad y(t)= \begin{cases}-(t-c)^{\frac{3}{2}}, & t \geqslant c, \\
0, & t < c\end{cases}\right.
$$

都是给定初值问题的解．
### 2．解的唯一性的应用
假设 $y_1(t), y_2(t)$ 是 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的两个解，$f(t, y)$ 满足唯一性定理的条件．如果存在 $t_0$ ，使得 $y_1\left(t_0\right)=y_2\left(t_0\right)$ ，则 $y_1(t), y_2(t)$ 是初值问题 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y), y\left(t_0\right)=$ $y_1\left(t_0\right)=y_2\left(t_0\right)$ 的解．根据唯一性定理，在 $y_1(t), y_2(t)$ 共同定义的区间上，$y_1(t)=$ $y_2(t)$ ．

现在考虑初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=\left(1-y^2\right)\left(\sin \left(y^2\right)-e^y\right), \quad y(0)=\frac{1}{2}
$$

它满足存在唯一性定理条件．如果 $y_1(t)$ 是它的解，那么可以判断这个解 $y_1(t)<1$ ，这是因为 $y_2(t)=1$ 是方程的平衡解且 $y_1(0)=\frac{1}{2}<y_2(0)=1$ ．由唯一性，这两个解的图像不能相交，必有对任意的 $t, y_1(t)<1$ ．

对方程 $\frac{ d y}{d t}=\frac{1+t}{1+y}$ 而言，容易看到它的一个解为 $y_1(t)=t$ ，这个解满足 $y(0)=$ 0 ．现在如果知道方程的一个解 $y_2(t)$ 满足 $y_2(0)=0.1$ ，那么根据唯一性定理知道对任意的 $t, y_2(t)>y_1(t)=t$ ．

### 3．解的唯一性与定性分析
考虑 $\frac{ d y}{d t}=y(1-y)$ ．由 $f(y)=y(1-y), f(0)=f(1)=0$ 知 $y=0, y=1$ 是方程的两个平衡解．由唯一性定理，对任何解 $y(t)$ ，若 $y(0)$ 满足 $0<y(0)<1$ ，则 $y(t)$ 必满足 $0<y(t)<1$ 对任意的 $t$ 成立．下面来考察 $y(0)=\frac{1}{2}$ 的解 $y(t)$ ，不仅能知道这个解介于 0 和 1 之间，而且由于 $0<y<1$ 时，$f(y)>0$ ，可知 $\frac{ d y(t)}{ d t}>0$ ，该解严格递增．又由于这个解位于 $y=1$ 的下面，可以猜测到当 $t \rightarrow \infty$ 时，$y(t) \rightarrow 1$ ．事实上，由 $y(t)$ 的单调有界知当 $t \rightarrow \infty$ 时，$y(t)$ 的极限一定存在．若 $\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=y_0\left(y_0<1\right)$ ，则当 $t$ 很大时，$y(t)$ 必接近于 $y_0$ ，从而 $\frac{ d y}{d t}$ 接近于 $f\left(y_0\right)>0$ ，进而这个解必须继续上升而经过 $y_0$ ．这样就得到 $\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=1$ ．同理， $\lim _{t \rightarrow-\infty} y(t)=0$ ．唯一性定理丰富了对方程定性分析的内容．

## 解对初值的连续相依性
存在唯一性定理告诉我们，当满足定理条件时，同一个方程给定一个初值 $\left(t_0, y_0\right)$ ，

微分方程将有一个解．当 $\left(t_0, y_0\right)$ 发生变动时，这个解也将随之发生变动．也就是说，初值问题的解不仅依赖于自变量 $t$ ，同时也依赖于初值 $\left(t_0, y_0\right)$ 。因此，在考虑初值变动时，解可以看成三个变元的函数而记为 $y=\varphi\left(t, t_0, y_0\right)$ ，它满足 $y_0=\varphi\left(t_0, t_0, y_0\right)$ ．下面不加证明地给出解对初值的连续相依性定理．

**定理1.5（解对初值的连续相依性）**  设 $f(t, y)$ 在矩形区域 $D$ 内连续且关于 $y$满足利普希茨条件．如果 $\left(t_0, y_0\right) \in D$ ，并且 $y=\varphi\left(t, t_0, y_0\right)$ 是初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

在区间 $\left(t_0-h, t_0+h\right)$ 内的解，其中 $h>0$ ，则对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，必存在 $\delta>0$ ，仅依赖于 $\varepsilon, h$ ，使得当

$$
\left(\bar{t}_0-t_0\right)^2+\left(\bar{y}_0-y_0\right)^2<\delta^2
$$

时，初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(\bar{t}_0\right)=\bar{y}_0
$$

的解 $y=\varphi\left(t, \bar{t}_0, \bar{y}_0\right)$ 在区间 $\left(t_0-h, t_0+h\right)$ 内也有定义，并且

$$
\left|\varphi\left(t, \bar{t}_0, \bar{y}_0\right)-\varphi\left(t, t_0, y_0\right)\right|<\varepsilon, \quad t \in\left(t_0-h, t_0+h\right)
$$

---
通过定理1．5也可以看到，当把 $\varphi\left(t, t_0, y_0\right)$ 作为自变量 $t$ 和初值 $\left(t_0, y_0\right)$ 的三元函数时，它是连续的．事实上，$\varphi\left(t, t_0, y_0\right)$ 对 $t$ 在区间 $\left(t_0 \sim h, t_0+h\right)$ 内连续，因而对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta_1>0$ ，使得当 $|\bar{t}-t|<\delta_1$ 时有

$$
\left|\varphi\left(\bar{t}, t_0, y_0\right)-\varphi\left(t, t_0, y_0\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \quad \bar{t}, t \in\left(t_0-h, t_0+h\right)
$$

另一方面，由解对初值的连续相依性定理，存在 $\delta_2>0$ ，使得当

$$
\left(\bar{t}_0-t_0\right)^2+\left(\bar{y}_0-y_0\right)^2<\delta_2^2
$$

时有

$$
\left|\varphi\left(t, t_0, y_0\right)-\varphi\left(t, \bar{t}_0, \bar{y}_0\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}, \quad t \in\left(t_0-h, t_0+h\right)
$$

取 $\delta=\min \left\{\delta_1, \delta_2\right\}$ ，只要 $(\bar{t}-t)^2+\left(\bar{t}_0-t_0\right)^2+\left(\bar{y}_0-y_0\right)^2<\delta^2$ ，就有

$$
\left|\varphi\left(\bar{t}, \bar{t}_0, \bar{y}_0\right)-\varphi\left(t, t_0, y_0\right)\right|<\varepsilon
$$

这说明了 $\varphi\left(t, t_0, y_0\right)$ 的连续性．这样就得到了下面的定理．

**定理 1.6 （解对初值的连续性定理）**  设 $f(t, y)$ 在矩形区域 $D$ 内连续且关于 $y$满足利普希茨条件．如果 $\left(t_0, y_0\right) \in D$ ，并且 $y=\varphi\left(t, t_0, y_0\right)$ 是初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

的解，那么 $\varphi\left(t, t_0, y_0\right)$ 作为 $t, t_0, y_0$ 的三元函数在它存在的范围内是连续的．

到目前为止，研究了常微分方程初值问题解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性．当一个微分方程初值问题的解存在、唯一且解连续地依赖于初始条件时，称该问题是适定的．于是，从本节所学的知识可以知道，对常微分方程的初值问题

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

只要在 $\left(t_0, y_0\right)$ 所在的区域内，$f(t, y)$ 连续且关于 $y$ 满足利普希茨条件，则该初值问题是适定的．

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