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自治方程的平衡点与相线

##  自治方程的平衡点与相线

前面已经通过画斜率场、解的草图、利用欧拉方法计算逼近解等研究了一阶微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y),
$$

本节将利用定性分析的方法研究一类特殊方程，其右端项与自变量 $t$ 无关的一阶自治方程

$$
\frac{d y}{d t}=f(y)
$$

将会看到在描绘解的图像方面，这一方法比其他方法显得更为简单和容易．

## 自治方程的相线
相线是仅仅对自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 而言的一种简化的斜率场．已经知道自治方程的斜率场在水平直线上的斜率标记是一样的，这样只要知道一条坚直直线上的斜率标记，就可以知道整个斜率场，因而在一个竖直的直线上，用向上的箭头表示正的导数，用向下的箭头表示负的导数．对于导数为零的点，用实心圆点来标记它。例如，对自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ ，如果 $f(y)=0$ 仅有一个零点 $y_0$ ，并且当 $y>y_0$ 时，$f(y)>0$ ；当 $y<y_0$ 时，$f(y)<0$ ，则方程的相线图如图 1.26 所示．

![图片](/uploads/2025-06/8dd9c2.jpg)

`例`给出方程 $\frac{ d y}{d t}=(y-2)(y+1)$ 的斜率场与相线图．
解 由 $f(y)=(y-2)(y+1)$ ，当 $y=-1$ 和 $y=2$ 时，$\frac{ d y}{d t}=0$ ，斜率标记为水平的；当 $y>2$ 时，$\frac{ d y}{d t}>0$ ，斜率为正，并且随着 $y$ 的增大而增大；当 $-1<y<2$ 时， $\frac{ d y}{d t}<0$ ，斜率为负，并且随着 $y$ 的增大先减少后增大；当 $y<-1$ 时，$\frac{ d y}{d t}>0$ ，斜率为正，并且随着 $y$ 的减小而增大，其斜率场如图 1.27 所示．根据前面分析和斜率场可画出相线如图 1.28 所示．

![图片](/uploads/2025-06/c3f4ea.jpg)
 
 进一步考虑方程 $\frac{ d y}{d t}=y(1-y)$ ，其右端是 $f(y)=y(1-y)$ ，而 $f(y)=0$ 的点是 $y=0, y=1$ ，因而常值函数 $y_1(t)=0$ 与 $y_2(t)=1$ 是方程的平衡解．称点 $y=0, y=1$ 是方程的平衡点，并且当 $y<0$ 或 $y>1$ 时，$f(y)<0$ ；当 $0<y<1$时，$f(y)>0$ ．为了画相线图，首先画出坚线 $y$ 线，在上面用实心圆点标记出平衡点 $y=0, y=1$ ．对在两个平衡点之间，即区间 $0<y<1$ 的部分，用向上的箭头标记，表明这部分的解是增的；对在 $y=1$ 上面和 $y=0$ 下面，即 $y>1$ 和 $y<0$ 的部分，用向下的箭头作出标记，表明这部分的解是减的，其相线图如图1．29所示．可以看到相线图包括了方程平衡点及方程的解的增减性的所有信息。与方程的斜率场（图 1．30）相比较，
 
  ![图片](/uploads/2025-06/bfccdc.jpg)
  
  
 虽然相线图不能反映出解增减快慢的信息，但是可以通过它大致画出解的草图，如图1．31所示．这样得到的解的图像没有从斜率场得到的精确，但它包括了当时间 $t$ 很大时解的趋势．
 
  
   ![图片](/uploads/2025-06/83e5dc.jpg)
   
### 基本步骤
通过上面的讲述得到画相线的基本步骤如下：
（1）画出 $y$ 线（坚直线）；
（2）找到并在 $y$ 线上标记平衡点；
（3）找到 $f(y)>0$ 的区间，在这些区间上画上向上的箭头；
（4）找到 $f(y)<0$ 的区间，在这些区间上画上向下的箭头．

## 运用相线画解的图像的简图

`例1.18`画出

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=(3-y) \cos y \\
y(0)=2
\end{array}\right.
$$

的解的图像简图．
解 方程 $\frac{ d y}{d t}=(3-y) \cos y$ 的平衡点是 $y=3$ 和 $y=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z )$ 、方程的相线如图 1.32 所示．

对满足初值 $y(0)=2$ 的解而言，由于 $\frac{\pi}{2}<2<3$ ，在这个区间上相线图中箭头向下的；表明满足这个初值的解是减的．又由于 $y(t)=\frac{\pi}{2}, y(t)=3$ 是方程的平衡解以及解的唯一性定理，可以知道满足这个初值的解一定介于 $\frac{\pi}{2}$ 和 3 之间，即对任意的 $t, \frac{\pi}{2}<y(t)<3$ ．进一步观察，当 $(3-y) \cos y$ 接近 $\frac{\pi}{2}$ 时，这个解的导数的绝对值才会很小，即减少速度很小．而这只有在接近平衡点时才能发生，因而得到判断，当时间 $t$ 趋向于正无穷时，这个解趋向于平衡解 $y(t)=\frac{\pi}{2}$ ．同理，当 $t$ 趋向于负无穷时，这个解趋向于平衡解 $y(t)=3$ ．这样可以画出这个解的大致图像，如图 1.33所示．

![图片](/uploads/2025-06/a79de8.jpg)
 
 
 通过例 1.18 可以看出对一般的自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ ，给定 $t=0$ 的初值后，可以给出解的描述如下：
（1）若 $f(y(0))=0$ ，则 $y(0)$ 是方程的平衡点，相应的解为平衡解 $y(t) \equiv y(0)$ ；
（2）若 $f(y(0))>0$ ，则这个解 $y(t)$ 是严格增的且当 $t$ 增加时，或者 $y(t) \rightarrow \infty$ ，或者趋向于第一个比 $y(0)$ 大的平衡点；
（3）若 $f(y(0))<0$ ，则这个解 $y(t)$ 是严格减的且当 $t$ 增加时，或者 $y(t) \rightarrow-\infty$ ，或者趋向于第一个比 $y(0)$ 小的平衡点．

当 $t$ 减小时，相似的结果成立，即若 $f(y(0))>0$ ，则或者 $y(t) \rightarrow-\infty$ ，或者趋向于第一个比 $y(0)$ 小的平衡点；若 $f(y(0))<0$ ，则或者 $y(t) \rightarrow \infty$ ，或者趋向于第一个比 $y(0)$ 大的平衡点．

`例1.19` 给出方程 $\frac{ d P}{d t}=P^2\left(1-\frac{P}{10}\right)^3\left(\frac{P}{4}-1\right)^2$ 的相线图，并研究解增长趋势。

解 先画相线，$f(P)=P^2\left(1-\frac{P}{10}\right)^3\left(\frac{P}{4}-1\right)^2$ ，平衡点为 $P=0, P=4$ 及 $P=10$ ．当 $P<0,0<P<4,4<P<10$ 时，$f(P)>0$ ；当 $P>10$ 时，$f(P)<0$ ，则可画相线如图 1.34 所示．

![图片](/uploads/2026-02/7788bf.jpg)
 
以满足初值 $P(0)=6$ 的解进行研究．由 $P(0)=6 \in(4,10)$ 知这个解满足对任意的 $t, 4<P(t)<10$ ．由相线知在区间 $(4,10)$ 上解是增的，因而当 $t \rightarrow+\infty$ 时， $P(t) \rightarrow 10$ ；当 $t \rightarrow-\infty$ 时，$P(t) \rightarrow 4$ ，如图 1.35 所示．

![图片](/uploads/2026-02/d2a6af.jpg)

## 相线与解的渐近行为
假设 $y_0$ 是自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 的一个平衡点，其中假定 $f(y)$ 是连续的，则 $\lim _{y \rightarrow y_0} f(y)=0$ ，因而当 $y$ 与 $y_0$ 很接近时，$f$ 就很小，进而方程的解越是接近平衡点，增加或减少得越慢．而存在唯一性定理告诉我们这个解不能与平衡解 $y(t)=y_0$ 相交．这个解渐近地趋于平衡点，因而解的图像有水平渐近线 $y=y_0$ ．

`例1.20` 考察 $\frac{ d y}{d t}=y^2$ 的相线与解的渐近行为．
解 $f(y)=y^2$ ，平衡点为 $y=0$ ，并且当 $y \neq 0$ 时，$f(y)>0$ ，方程的相线如图 1.36 所示．

![图片](/uploads/2026-02/0d4e27.jpg)

对于初值大于 0 的解，它是增的．当 $t$ 增加时，解趋向于正无穷；当 $t$ 减少趋于负无穷时，解趋于 0 ．对于初值小于 0 的解，它也是增的．当 $t$ 增加趋于正无穷时，解趋向于 0 ；当 $t$ 减少时，解趋于负无穷，如图 1.37 所示．

![图片](/uploads/2026-02/f79bb8.jpg)
 
 实际上，可以求出方程 $\frac{ d y}{d t}=y^2$ 的解，这是一个变量分离方程，除了平衡解
 
$y(t)=0$ 外，其通解是

$$
y=-\frac{1}{t+c}, \quad c \text { 为任意常数. }
$$

当初值 $y(0)>0$ 时，$c<0$ ．这个解只在 $t<-c$ 上有定义，并且当 $t \rightarrow-c$ 时这个解趋向于正无穷．这种在有限时间内就趋于无穷的解，称为方程的爆破解，并称这个解在有限时间内爆破．对于初值 $y(0)<0$ 的解，当 $t$ 增加趋于正无穷时，解趋向于 0 ，这个解在 $t>0$ 上都有定义；但是当 $t$ 减少时，却在有限时间内趋于负无穷．

`例` 考察 $\frac{ d y}{d t}=\frac{-1}{y}$ 的相线与解的渐近行为．
解 $f(y)=\frac{-1}{y}$ 在 $y=0$ 处无定义，方程无平衡点且当 $y>0$ 时，$f(y)<0$ ；当 $y<1$ 时，$f(y)>0$ ．这时在相线图上画一个空心圆点，表示 $y=0$ ，如图 1.38 所示．

![图片](/uploads/2025-06/c08c9d.jpg)
 
对于初值大于 0 的解，它是减的．当 $t$ 增加时，解趋向于 0 ；当 $t$ 减少趋于负无穷时，解趋于正无穷．对于初值小于 0 的解，它是增的．当 $t$ 增加时，解趋向于 0 ；当 $t$ 减少趋于负无穷时，解趋于负无穷．

这样当 $t$ 增加时，所有的解都趋向于 0 ，而当 $y>0$ 且接近于 0 时，$\frac{ d y}{d t}$ 趋于负无穷，这个解在有限时间内递减到达 $y=0$ 后停止而不能继续；而当 $y<0$ 且接近于 0 时，$\frac{ d y}{d t}$ 趋于正无穷，这个解在有限时间内就递增到达 $y=0$ 后停止而不能继续，如图 1.38 所示．

### 总结
 下面总结一下解的渐近行为．
（1）趋向于平衡点， $\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=y_0$ ，如 $f(y)=y(y-1), y(0)=0.5$ ；
（2）在无限时间内趋于无穷， $\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)= \pm \infty$ ，如 $f(y)=y, y(0)=1$ ；
 
（3）在有限时间内趋于无穷（爆破）， $\lim _{t \rightarrow t_0} y(t)= \pm \infty$ ，如 $f(y)=y^2, y(0)=1$ ；
（4）在有限时间内停止（导数趋于无穷）， $\lim _{t \rightarrow t_0} y(t)=y_0, \lim _{t \rightarrow t_0} \frac{d y}{d t}= \pm \infty$ ，如 $f(y)=\frac{-1}{y}, y(0)=1$ ．

`例` $ \frac{d y}{d t}=(1-y)\left(\frac{1}{2} y-1\right)$ 的相线与解的渐近行为．

解 方程 $f(y)=(1-y)\left(\frac{1}{2} y-1\right)$ 的平衡点为 $y=1, y=2$ ．当 $1<y<2$ 时， $f(y)>0$ ；当 $y<1$ 或 $y>2$ 时，$f(y)<0$ ．对初值大于 2 的解在定义区间内严格递减，当 $t$ 增加时，解趋向于 2 ；当 $t$ 减少时，解趋向于 $\infty$ ．对初值介于 1 与 2 之间的解在定义区间内严格增，当 $t$ 增加时，解趋向于 2 ；当 $t$ 减少时，解趋向于 1 ．对初值小于 1 的解在定义区间内严格递减，当 $t$ 增加时，解趋向于 $-\infty$ ；当 $t$ 减少时，解趋向于 1．方程的相线与不同解如图 1.39 所示．

![图片](/uploads/2025-06/7cea4e.jpg)
 
 ## 平衡点的分类
对于自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ ，如果 $f(y)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，则可以知道它的解当 $t$ 增加时要么（在有限或无限时间里）趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$ ，要么渐近趋于平衡点．因此，平衡点在自治方程的研究中起着重要的作用．

当画相线时，首先要求出平衡点，然后根据两个平衡点间 $f(y)$ 的符号确定箭头的方向．因为两个平衡点之间 $f(y)$ 不变号，所以只要知道之间的一个点 $f(x)$ 的符号就可以确定相线在这个区间上的箭头方向．这样只要判断平衡点附近 $f(y)$ 。自符号就好了．例如，如果知道方程仅有两个平衡点 $y=-3$ 和 $y=5$ ，并且知道在平衡点 $y=-3$ 和 $y=5$ 附近相线的情况，也就知道了整个相线的情况．

考虑到平衡点在自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 中所起的作用，可以根据其附近解的行

为对其进行分类．给定一个平衡点 $y_0$ ，如图 1.40 所示，
 ![图片](/uploads/2026-02/6c093e.jpg)
 
对于比 $y_0$ 小一点的 $y$ ，箭头向上；对于比 $y_0$ 大一点的 $y$ ，箭头向下．也就是说，对于初值接近 $y_0$ 的解，当 $t$ 增加时都渐近趋于 $y_0$ 。对于这样的平衡点 $y_0$ ，称之为汇，它是稳定的．对于比 $y_0$ 大一点的 $y$ ，箭头向上；对于比 $y_0$ 小一点的 $y$ ，箭头向下．也就是说，对于初值接近 $y_0$的解，当 $t$ 增加时，都远离 $y_0$ ，如图 1.41 所示．

![图片](/uploads/2026-02/7aac31.jpg)
 
 
对于这样的平衡点 $y_0$ ，称之为**源**，它是不稳定的．既不是源也不是汇的平衡点，称之为**结点**，如图1．42所示，它也是不稳定的．

![图片](/uploads/2026-02/b1e1b8.jpg)
 
 `例1.23` 给出 $\frac{ d y}{d t}=y^2+2 y-15$ 的平衡点及其类型．
解 方程的平衡点为 $y=-5, y=3$ ．当 $-5<y<3$ 时，$\frac{ d y}{d t}<0$ ；当 $y<-5$ 或 $y>3$时，$\frac{ d y}{d t}>0$ ．因此，平衡点 $y=-5$ 是汇，而平衡点 $y=3$ 是源，如图 1.43 所示．
 
 ![图片](/uploads/2026-02/553417.jpg)

如果方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 的右端不是由具体的表达式给出，而给出的是 $f(y)$ 的图像，则仍然可以画出方程的相线图．例如，$f(y)$ 由图1．44给出，那么相应的方程有三个平衡点 $y=-1, y=0.5$ 和 $y=3$ ．

![图片](/uploads/2026-02/8314b8.jpg)

当 $y<-1,0.5<y<3, y>3$ 时，$f(y)>0$ ；当 $-1<y<0.5$ 时，$f(y)<0$ ．依此可画出相线图，如图 1.45 所示．点 $y=-1$ 是汇，点 $y=0.5$ 是源，而 $y=3$ 是结点．

![图片](/uploads/2026-02/8f61aa.jpg)

## 判断平衡点类型的线性化方法
从例1．23可以看出，对自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 而言，仅需知道 $f(y)$ 的图像就能画出方程的相线并指明平衡点的类型．而平衡点是源、是汇还是结点仅依赖于平衡点附近的相线．这样也能从 $y_0$ 附近 $f(y)$ 的图像来判断平衡点 $y_0$ 的类型．若 $y_0$是汇，则在 $y_0$ 附近，当 $y>y_0$ 时，$f(y)<0$ ；当 $y<y_0$ 时，$f(y)>0$ ，因而在 $y_0$ 附近 $f(y)$ 一定是严格减的，如图1．46所示．

![图片](/uploads/2026-02/05305f.jpg)
 
 
反之，当 $f\left(y_0\right)=0, f(y)$ 在 $y_0$ 附近严格递减时，$y_0$ 是汇．同理，平衡点 $y_0$ 是源当且仅当在 $y_0$ 附近 $f(y)$ 是严格递增的，如图1-47所示，就得到如下定理

![图片](/uploads/2026-02/e90293.jpg)

**定理1.7**  如果 $y_0$ 是自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 的一个平衡点，即 $f\left(y_0\right)=0$ ，则
（1）$y_0$ 是源当且仅当 $f(y)$ 在 $y_0$ 附近严格单调增加，
（2）$y_0$ 是汇当且仅当 $f(y)$ 在 $y_0$ 附近严格单调递减
进一步有如下的线性化定理

**定理 1.8 （线性化定理）** 如果 $y_0$ 是自治方程 $\frac{ d y}{d t}=f(y)$ 的一个平衡点，即 $f\left(y_0\right)=0$ ，并且 $f(y)$ 是连续可微的，则
（1）若 $f^{\prime}\left(y_0\right)>0$ ，则 $y_0$ 是源，
（2）若 $f^{\prime}\left(y_0\right)<0$ ，则 $y_0$ 是汇，
（3）若 $f^{\prime}\left(y_0\right)=0$ ，则需要进一步的信息决定其类型
证明（1）由于 $f(y)$ 是连续可微的，若 $f^{\prime}\left(y_0\right)>0$ ，由连续函数的保号性定理知，在 $y_0$ 的充分小邻域内，$f^{\prime}(y)>0$ ，从而在 $y_0$ 的这个充分小邻域内，$f(y)$ 是严格递增的 而 $y_0$ 是一个平衡点，$f\left(y_0\right)=0$ ，这样在 $y_0$ 的这个充分小邻域内，当 $y<y_0$时，$f(y)<0$ ，当 $y>y_0$ 时，$f(y)>0$ ，故 $y_0$ 是源
（2）若 $f^{\prime}\left(y_0\right)<0$ ，由连续函数的保号性定理知，在 $y_0$ 的充分小邻域内，$f^{\prime}(y)<$ 0 ，从而在 $y_0$ 的这个充分小邻域内，$f(y)$ 是严格递减的．而 $y_0$ 是一个平衡点，$f\left(y_0\right)=$ 0 ，这样在 $y_0$ 的这个充分小邻域内，当 $y<y_0$ 时，$f(y)>0$ ；当 $y>y_0$ 时，$f(y)<0$ ，故 $y_0$ 是汇．
（3）若 $f^{\prime}\left(y_0\right)=0$ ，举例说明三种类型的平衡点都可能．当 $f(y)$ 分别为 $(y-$ $\left.y_0\right)^3,-\left(y-y_0\right)^3,\left(y-y_0\right)^2$ 时，$y_0$ 是这三个方程的平衡点，并且 $f^{\prime}\left(y_0\right)=0$ ，但 $y_0$ 对应于这三个方程的平衡点类型分别是源、汇和结点，如图 1.48 所示．

![图片](/uploads/2025-06/98c8da.jpg)
 
 
`例1.24` 找出方程 $\frac{ d w}{d t}=w^2\left(w^2-8 w+12\right)$ 的平衡点，并通过线性化定理判断平衡点的类型．

解（1）由 $f(w)=w^2\left(w^2-8 w+12\right)=w^2(w-2)(w-6)$ 得到平衡点为 $w=0, w=2$ 及 $w=6$ ．
（2）$f(w)=w^2(w-2)(w-6)$ 连续可微且 $f^{\prime}(w)=2 w(w-2)(w-6)+w^2(w-$ $6)+w^2(w-2)$ ，则 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(2)=-16<0, f^{\prime}(6)=144>0$ ．由线性化定理知， $w=2$ 是汇及 $w=6$ 是源，但不能判别 $w=0$ 的类型．由 $f(w)$ 在 $w=0$ 附近 $f(w) \geqslant 0$ 知 $w=0$ 是结点．

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