最后更新: 2026-02-06 17:39 查看: 88 次纠错评论(0) 课件开VIP

具有 Allee 效应的 Logistic 模型

## 具有 Allee 效应的 Logistic 模型
在1．1节里为了改进 Malthus 人口模型的缺陷，引入了人口增长的 Logistic 模型，其基本假设如下：
 
（1）当人口数很小时，增长率与人口数成正比；
（2）当人口数很大，达到资源和环境不能承受时，人口数开始减少，即增长率为负的．

此时的微分方程为

$$
\frac{d P}{d t}=k\left(1-\frac{P}{N}\right) P,
$$

称为具有增长率 $k$ 和最大承载量 $N$ 的 **Logistic 人口模型**．
事实上，可以注意到这样一个事实：当人口基数很小时，其人口数量也会逐年递减，因而基于此，对 Logistic 模型的假设条件作适当的改进，基本假设如下：
（1）当人口数很大时，增长率为负的；
（2）当人口数很小时，增长率也为负的；
（3）当人口数为 0 时，增长率为 0 ．
令 $t$ 表示时间（变量），$P$ 表示人口数（依赖于时间），$k$ 表示人口增长率与人口数之间的比例常数（人口介于很小与很大之间），$N$ 表示人口的最大承载量，$M$ 表示人口稀疏常数，其中，$M$ 是新引进的参数，用来量化人口很小的程度．为了使模型尽可能得简单，要在 Logistic 模型的基础上添加一定的量 $X$ ，使得

$$
\frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right) X
$$

满足假定条件．此时，当 $P$ 较小时要有 $X<0$ ．取满足这一条件的比较简单的函数 $X=\frac{P}{M}-1$ ，此时模型变为

$$
\frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)\left(\frac{P}{M}-1\right),
$$
称为**具有 Allee 效应的 Logistic 人口模型**．

下面来分析一下这个模型．

$$
\frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)\left(\frac{P}{M}-1\right)
$$

是自治方程，其中 $N>M>0, f(P)=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)\left(\frac{P}{M}-1\right)$ ．可以利用变量分离来求解的解析表达式．另一方面，可以用定性方法来分析．首先，方程有平衡点 $P=0, P=M$ 和 $P=N$ ，分别代表了人口增长的三种平衡状态．其次，若 $0<P<M$ ，则 $f(P)<0$ ，因而当初值为 $0 \sim M$ 时，人口递减趋于 0 ；若 $P>N$ ，则 $f(P)<0$ ，因而初值大于 $N$ 时，人口也递减并趋于 $N$ ；而当 $M<P<N$ 时， $f(P)>0$ ，因而当初值为 $M \sim N$ 时，人口递增趋于 $N$ 。最后，看到 $P=M$ 是源，而 $P=N$ 是汇．方程的相线和特解如图 1.49 所示．
 ![图片](/uploads/2025-06/898108.jpg)

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