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分歧

## 分歧

首先提一个问题．现在观测到海洋中一类鱼的总量在自然条件下满足 Logistic模型，即

$$
\frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)
$$

其中，$k=0.1>0$ 为增长率参数，$N=20$ 是最大承载量，$P(t)$ 的单位是万吨．现在要在海洋中捕获这类鱼，每年的捕获数量为 $h$ ，此时的微分方程变为

$$
\frac{d P}{d t}=0.1 P\left(1-\frac{P}{20}\right)-h .
$$

希望每年都可以捕获尽可能多的鱼，但又不能因为捕获量过大而使鱼灭绝，那么每年的最大捕获量 $h$ 是多少？随着捕获量 $h$ 的变化，鱼的总量发生怎样的变化？这种带有一个参数的微分方程一般称为**单参数微分方程族**．本节将对

$$
\frac{d P}{d t}=0.1 P\left(1-\frac{P}{20}\right)-h
$$

的解随 $h$ 的变化而出现的变化给予全面的回答．

## 单参数微分方程的分歧
下面来看一个简单的单参数微分方程族的例子．

`例1.25`考察单参数微分方程族

$$
\frac{d y}{d t}=f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu
$$

当参数 $\mu=-4,-2,0,2,4$ 时解的情况．
解 对于不同的 $\mu$ ，这是一个自治方程，可以考察平衡点和相线图来反映解的情况。

当 $\mu=-4$ 时，$f_{-4}(y)=y^2-2 y-4$ ，此时平衡点为 $y=1+\sqrt{5}$ 和 $y=1-\sqrt{5}$ ．当 $y>1+\sqrt{5}$ 或 $y<1-\sqrt{5}$ 时，$f_{-4}>0$ ；当 $1-\sqrt{5}<y<1+\sqrt{5}$ 时，$f_{-4}<0$ ，因而当初值大于 $1+\sqrt{5}$ 时，解单调递增并趋于正无穷（有限时间内爆破）；当初值为 $1-\sqrt{5} \sim 1+\sqrt{5}$ 时，解单调递减并趋于平衡点 $1-\sqrt{5}$ ；而当初值小于 $1-\sqrt{5}$ 时，解单调递增并趋于平衡点 $1-\sqrt{5}$ ．平衡点 $1+\sqrt{5}$ 是源，而平衡点 $1-\sqrt{5}$ 是汇．

当 $\mu=-2$ 时，$f_{-2}(y)=y^2-2 y-2$ ，此时平衡点为 $y=1+\sqrt{3}$ 和 $y=1-\sqrt{3}$ ．当 $y>1+\sqrt{3}$ 或 $y<1-\sqrt{3}$ 时，$f_{-2}>0$ ；当 $1-\sqrt{3}<y<1+\sqrt{3}$ 时，$f_{-2}<0$ ，因而当初值大于 $1+\sqrt{3}$ 时，解单调递增并趋于正无穷（有限时间内爆破）；当初值为 $1-\sqrt{3} \sim 1+\sqrt{3}$ 时，解单调递减并趋于平衡点 $1-\sqrt{3}$ ；而当初值小于 $1-\sqrt{3}$ 时，解单调递增并趋于平衡点 $1-\sqrt{3}$ ．平衡点 $1+\sqrt{3}$ 是源，而平衡点 $1-\sqrt{3}$ 是汇．

当 $\mu=0$ 时，$f_0(y)=y^2-2 y$ ，此时平衡点为 $y=0$ 和 $y=2$ ．当 $y>2$ 或 $y<0$时，$f_0>0$ ；当 $0<y<2$ 时，$f_0<0$ ，因而当初值大于 2 时，解单调递增并趋于正无穷（有限时间内爆破）；当初值为 $0 \sim 2$ 时，解单调递减并趋于平衡点 0 ；而当初值小于 0 时，解单调递增并趋于平衡点 0 ．平衡点 2 是源，而平衡点 0 是汇．

当 $\mu=2$ 时，对任一 $y, f_2(y)=y^2-2 y+2>0$ ，此时无平衡点．对于所有的解都单调递增趋于正无穷．而当 $\mu=4$ 时，对任一 $y, f_4(y)=y^2-2 y+4>0$ ，此时也无平衡点．对于所有的解也都单调递增并趋于正无穷．

上述几种情形的相线图和部分特解如图 1.50 和图 1.51 所示．

![图片](/uploads/2026-02/00441e.jpg)
 
 
  ![图片](/uploads/2025-06/4922fc.jpg)
 
 通过例 1.25 可以看到，当 $\mu$ 分别等于 $-4,-2,0$ 时，它们相应的方程的相线和解的情况大致是相似的，没有发生实质性的变化。它们都有两个平衡点，一大一小。在两个平衡点之间的所有解都是单调递减的，随着时间 $t$ 的增加渐近趋向于较小的平衡点，随着 $t$ 的减小而渐近趋于较大的平衡点；在两个平衡点之外的所有解都是单调递增的，对在较大平衡点上方的解，当时间 $t$ 增加时趋于正无穷（有限时间内爆破）；对在较小平衡点下方的解，当时间 $t$ 增加时渐近趋向于这个较小的平衡点，当 $t$ 减少时趋于负无穷．较大的平衡点是源，而较小的平衡点是汇．
 
 
  
  对 $\mu$ 分别等于 2,4 时，情况是一样的，相应的方程都没有平衡点，所有的解都单调递增并趋向于正无穷．但是这与上面 $\mu=-4,-2$ 和 0 时的情况完全不同，它们之间的相线和解发生了重大的变化，称单参数微分方程族 $\frac{ d y}{d t}=f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu$在 $\mu=0$ 与 $\mu=2$ 之间的某处发生了**分歧**（bifurcation）．

为了研究这个分歧，下面来看一下 $f_\mu(y)$ 的图像．对于不同的 $\mu$ 值，其图像如图1．52 所示，

![图片](/uploads/2025-06/e98ea2.jpg)

对于 $\mu=-4,-2,0, f_\mu(y)=0$ 有两个实根．对 $\mu=2,4, f_\mu(y)=0$ 没有实根。对于 $f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu=0$ ，其根为 $y=1 \pm \sqrt{1-\mu}$ 。若 $\mu<1$ ，则有两个相异实根；若 $\mu=1$ ，则有两个相同实根；若 $\mu>1$ ，则没有实根．因此，在 $\mu=1$的左右，$f_\mu(y)=0$ 的实根由两个变为一个，然后没有实根．相应的方程的平衡点由两个变为一个，然后没有平衡点．这样在 $\mu=1$ 处方程的定性性质发生了根本的改变，称单参数微分方程族 $\frac{ d y}{d t}=f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu$ 在 $\mu=1$ 处发生了分歧，并称 $\mu=1$ 是一个**分歧值**．此时 $f_\mu(y)$ 的图像和相应方程的相线如图 1．52、图 1.53 和图 1.54所示．

![图片](/uploads/2025-06/2f3bf5.jpg)

## 分歧图解与分歧类型
分歧图解是 $\mu y$ 平面上方程在分歧值附近的所有相线的图，用以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化．

在 $\mu y$ 平面上，记横轴为 $\mu$ 轴，竖轴为 $y$ 轴．过每个 $\mu$ 值作一条竖线给出方程相应于这个 $\mu$ 值的相线．如图 1.55 所示为 $\frac{ d y}{d t}=f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu$ 的分歧图像．若把方程族相应的平衡点 $y$ 看成参数 $\mu$ 的函数，则其图像是 $\mu y$ 平面上由 $f_\mu(y)=y^2-2 y+\mu=0$ 所决定的拋物线．对于每个固定的 $\mu$ 值，拋物线上的点的 $y$值给出了方程 $\frac{ d y}{d t}=y^2-2 y+\mu$ 的平衡点．在分歧图解中，可以看到当 $\mu$ 从左到右经过分歧值 $\mu=1$ 时，方程的平衡点从两个变为一个再变为不存在，这种分歧一般称为**鞍结点分歧**（saddle－node bifurcation）．

![图片](/uploads/2025-06/60545d.jpg)
 
 
 考虑单参数微分方程族

$$
\frac{d y}{d t}=g_\alpha(y)=y^3-\alpha y
$$

其中，$\alpha$ 是参数．当 $\alpha>0$ 时，方程族的平衡点由 $y^3-\alpha y=0$ 所决定，当把平衡点 $y$ 看成参数 $\alpha$ 的函数时，有 $y=0$ 或 $y^2=\alpha$ 。方程有三个平衡点 $y=0, \pm \sqrt{\alpha}$ ；但当 $\alpha \leqslant 0$ 时，方程仅有一个平衡点 $y=0$ ．因此，在 $\alpha=0$ 时发生分歧，下面来研究它的分攱图解．首先，若 $\alpha<0$ ，则 $y^2-\alpha$ 总是正的，因而 $g_\alpha(y)=y^3-\alpha y=y\left(y^2-\alpha\right)$与 $y$ 的符号一样．当 $y(0)>0$ 时，解趋于 $\infty$ ；当 $y(0)<0$ 时，解趋于 $-\infty$ ．其次，若 $\alpha>0$ ，则在 $\sqrt{\alpha}<y<\infty,-\sqrt{\alpha}<y<0$ 时，$g_\alpha(y)>0$ ；在其他区间上 $g_\alpha(y)<0$ ．分歧图解如图 1.56 所示，

![图片](/uploads/2026-02/0c2826.jpg)

当 $\alpha$ 从右到左经过分歧值 $\alpha=0$ 时，方程的平衡点由三个变为一个，这种分歧一般称之为**音叉分歧**（pitchfork bifurcation）．

现在考虑单参数微分方程族

$$
\frac{d y}{d t}=h_\lambda(y)=y^2-\lambda y
$$

其中，$\lambda$ 是参数．当 $\lambda=0$ 时，方程有一个平衡点；当 $\lambda \neq 0$ 时，方程有两个平衡点． $\lambda=0$ 是一个分歧值．虽然在分歧值的两侧方程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变．当 $\lambda>0$ 时，$y=0$ 是一个汇，它是稳定的；当 $\lambda<0$ 时，$y=0$ 是一个源，
它是不稳定的．稳定平衡解从 $\lambda<0$ 时的 $y=\lambda$ 变到 $\lambda>0$ 时的 $y=0$ ．这类分歧一般称为**跨越分歧**（transcritical bifurcation），分歧图解如图 1.57 所示．

![图片](/uploads/2026-02/e8ecaa.jpg)
 
 
 在下面的讨论中，设单参数微分方程族光滑的依赖于参数，即对 $\frac{ d y}{d t}=f_\mu(y)$ 中的 $f_\mu(y)$ 作为 $y$ 和 $\mu$ 的二元函数连续，并且具有连续的偏导数，因而参数 $\mu$ 的微小变化只能引起 $f_\mu(y)$ 的微小变化．

在讨论什么时候发生分歧之前，先看一下在什么情况下，分歧不会发生．正如在1．5节后面讨论初值问题的解连续依赖于初始条件一样，当 $f_\mu(y)$ 光滑依赖于参数 $\mu$ 时，方程的解也连续依赖于参数。也就是说，当参数发生微小变化时，方程的解只能发生微小的变化，在这里不打算详细讨论．举一个例子，设一族微分方程 $\frac{ d y}{d t}=f_\mu(y)$ ，当 $\mu=\mu_0$ 时有平衡点 $y=y_0$ 且 $f_{\mu_0}^{\prime}\left(y_0\right)<0$ ，因而由线性化原理，$y_0$ 是汇．这时在 $y_0$ 附近，$f_\mu(y)$ 的图像和方程的相线如图1．58所示．

![图片](/uploads/2026-02/bf62c9.jpg)

现在对 $\mu$ 作微小变动，从 $\mu_0$ 到 $\mu_1$ ，那么 $f_{\mu_1}$ 与 $f_{\mu_0}$ 的图像非常近，如图1．59所示，

![图片](/uploads/2026-02/04232d.jpg)

因而 $f_{\mu_1}(y)$ 在 $y_0$ 附近严格增，在 $y_0$ 附近的某一点 $y_1$ 处穿过横轴．这时相应的微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=f_{\mu_1}(y)
$$

在 $y_0$ 附近有平衡点 $y=y_1$ ，它也是一个汇．这样可以得到如下结论，如果 $y_0$ 是微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=f_{\mu_0}(y)
$$

的汇且 $f_{\mu_0}^{\prime}\left(y_0\right)<0$ ，那么对所有充分接近 $\mu_0$ 的参数 $\mu_1$ ，微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=f_{\mu_1}(y)
$$

在 $y_0$ 附近有点汇 $y=y_1$ ．对于上述结论我们可以通过二元函数的隐函数定理给出严格的证明．事实上，令 $f(\mu, y)=f_\mu(y)$ 为 $\mu, y$ 的二元连续可微函数．通过已知条件有 $f\left(\mu_0, y_0\right)=0$ 及 $\frac{\partial f\left(\mu_0, y_0\right)}{\partial y}=f_{\mu_0}^{\prime}\left(y_0\right)<0$ ，由隐函数定理，存在 $\delta_1>0$ 和定义于开区间 $\left(\mu_0-\delta_1, \mu_0+\delta_1\right)$ 内的唯一连续函数 $y=y(\mu)$ ，满足当 $\mu \in\left(\mu_0-\delta_1, \mu_0+\delta_1\right)$时，$f(\mu, y(\mu))=0$ 且 $y_0=y\left(\mu_0\right)$ ．又 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 连续及 $\frac{\partial f\left(\mu_0, y_0\right)}{\partial y}<0$ ，知存在 $0<\delta \leqslant \delta_1$ ，当 $\mu \in\left(\mu_0-\delta, \mu_0+\delta\right)$ 时，$\frac{\partial f(\mu, y(\mu))}{\partial y}<0$ ，即 $f_\mu^{\prime}(y(\mu))<0$ ，这样 $y(\mu)$ 是汇．同理，

当 $y_0$ 是源且 $f_{\mu_0}^{\prime}\left(y_0\right)>0$ 时，相似的结论仍然成立．这样就可以肯定在上述情况下，分歧现象不会发生。通过上面的讲述，要想找到一个分歧值 $\mu_0$ ，则必须在某个平衡点 $y=y_0$ 处满足 $f_{\mu_0}\left(y_0\right)=f_{\mu_0}^{\prime}\left(y_0\right)=0$ ，这是分歧发生的一个必要条件．

`例1.26` 考察 $\mu=0$ 是否为单参数微分方程族

$$
\frac{d y}{d t}=h_\mu(y)=y(1-y)^2+\mu
$$

的分歧值，并找到方程族的所有分歧值．
解 当 $\mu=0$ 时，方程有平衡点为 $y=0,1$ ．由 $h_0^{\prime}(0)=1$ 知 $y=0$ 是一个源．但是由 $h_0^{\prime}(1)=0$ 知 $\mu=0$ 可能是一个分歧值，下面来具体判断．当 $\mu=0$ 时，在 $y=1$ 的空心邻域内 $h_\mu(y)>0$ ，可知 $y=1$ 是结点；当 $\mu>0$ 时，$h_\mu(y)$ 在 $y=1$ 附近无零点，方程无平衡解；当 $\mu<0$ 时，$h_\mu(y)$ 在 $y=1$ 附近有两个零点，方程对应两个平衡解．由此可知 $\mu=0$ 是一个分歧值，方程族在 $\mu=0$ 处发生分歧．

要找方程族的其他分歧值 $\mu$ ，则 $\mu$ 对某个 $y_0$ 必须满足 $h_\mu\left(y_0\right)=0, h_\mu^{\prime}\left(y_0\right)=0$ ，而 $h_\mu\left(y_0\right)=y_0\left(1-y_0\right)^2+\mu, h_\mu^{\prime}\left(y_0\right)=\left(1-y_0\right)\left(1-3 y_0\right)$ ，因而

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_0\left(1-y_0\right)^2+\mu=0 \\
\left(1-y_0\right)\left(1-3 y_0\right)=0
\end{array}\right.
$$

解得 $y_0=1, \mu=0$ 或 $y_0=\frac{1}{3}, \mu=-\frac{4}{27}$ ．

当 $\mu=0$ 时，前面已经讨论．下面讨论 $\mu=-\frac{4}{27}$ 的情况，当 $\mu \in\left(-\frac{4}{27}, 0\right)$ 时， $f_\mu(y)$ 有三个零点，相应微分方程有三平衡解；当 $\mu \in\left(-\infty,-\frac{4}{27}\right)$ 时，$f_\mu(y)$ 有一个零点，相应微分方程有一个平衡点，因而方程在 $\mu=-\frac{4}{27}$ 也发生分歧，$\mu=-\frac{4}{27}$是另一个分歧值．分歧图解如图 1.60 所示，这种分歧称为**复合分歧**．

![图片](/uploads/2025-06/bf6d98.jpg)

##  应用举例
现在来回答本节一开始提出的问题．具有捕获量 $h$ 的鱼的增长的 Logistic 模型为

$$
\frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)-h
$$

其中，$k>0, N>0$ 是已知常数，而 $h$ 是捕获量参数．
当无捕获量，即 $h=0$ 时，由已有的对 Logistic 方程的知识知，只要一开始有鱼存在，则经过一定的时间后，鱼的总量就趋向于平衡点 $N$ 。也就是说，当禁止捕鱼时，鱼的总量最终将基本恢复到平衡状态 $P=N$ 。

现在令 $f_h(P)=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)-h$ ，这是一个关于 $P$ 的二次函数。当 $h$ 从 0 开始增加时，$f_h=0$ 的两个实根逐渐靠拢而重合后，就变得无实根了，因而在 $f_h=0$仅有一个实根（两个相等的实根）的 $h$ 时，方程开始发生分歧，由两个平衡点开始过渡到无平衡点．

由 $k P\left(1-\frac{P}{N}\right)-h=0$ 可解得根为 $P=\frac{N}{2} \pm \sqrt{\frac{N^2}{4}-\frac{h N}{k}}$ ．当 $\frac{N^2}{4}-\frac{h N}{k}>0$ 时有两个实根，相应的微分方程有两个平衡点，一个为源，另一个为汇；当 $\frac{N^2}{4}-\frac{h N}{k}<$ 0 时，没有实根，相应的微分方程没有平衡点，即当 $h>\frac{k N}{4}$ 时，方程没有平衡状态．对于这样的值 $h, f_h(P)<0$ 对任意的 $P$ 成立．因此，方程的任一解趋于 $-\infty$ ．相对于鱼类而言，无论初始鱼的总量多少，最终都会达到 0 而使之消亡．

由上可知，当 $h$ 从 0 增加到 $\frac{k N}{4}$ 时，方程开始发生分歧，如图 1.61 所示．

![图片](/uploads/2025-06/e3a19a.jpg)

此时方程 $\frac{ d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right)-\frac{k N}{4}$ 只有一个平衡点 $P=\frac{N}{2}$ ，此为结点．只要初始鱼的总量大于 $\frac{N}{2}$ ，鱼的总量随时间 $t$ 的增加不会消亡而最终趋向于平衡态 $P=\frac{N}{2}$ ．而当初始的总量小于 $\frac{N}{2}$ 时，鱼的总量随时间 $t$ 的增加便会消亡．当 $h$小于 $\frac{k N}{4}$ 时，方程的两个平衡点为 $P=\frac{N}{2} \pm \sqrt{\frac{N^2}{4}-\frac{h N}{k}}$ ．这时只要初始鱼的总量大于 $\frac{N}{2}-\sqrt{\frac{N^2}{4}-\frac{h N}{k}}$ ，鱼的总量随时间 $t$ 的增加不会消亡而最终趋向于平衡态 $P=\frac{N}{2}+\sqrt{\frac{N^2}{4}-\frac{h N}{k}}$ ．而当初始的总量小于 $\frac{N}{2}-\sqrt{\frac{N^2}{4}-\frac{h N}{k}}$ ，鱼的总量随时间 $t$的增加便会消亡。当 $h$ 超过 $\frac{k N}{4}$ 时，无平衡状态，无论初始状态如何，随时间 $t$ 的增加便会消亡．如果在进行捕鱼之前确认该鱼类的总量在最大承载量 $N$ 的一半以上，则对捕获量参数 $h$ ，结论是：$h$ 的最大值为 $\frac{k N}{4}$ ，该鱼类随时间 $t$ 的增加最终接近平衡 $P=N/2$

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