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定性方法：向量场与解的几何刻画

## 定性方法：向量场与解的几何刻画
在 2.2 节引入了一阶二维方程组的相平面与轨线的概念，用相图对解的动态进行定性分析。本节引入向量场与方向场的概念，对方程组的解进行进一步的几何刻画．

## 2.3.1 向量场与方向场
讨论一阶二维微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=f(x, y), \\
\frac{d y}{d t}=g(x, y) .
\end{array}\right. ...(2.20)
$$

对于每个 $t,(x(t), y(t))$ 为相平面中的一个点，但另一方面，可以将 $(x(t), y(t))$ 看成 $x y$ 平面中的一个向量，记为

$$
Y (t)=\binom{x(t)}{y(t)}
$$

则 $Y (t)$ 为一个向量值函数，它对应于相平面 $x y$ 上的轨线．本书不区别行向量与列向量，视方便而定．

为计算向量值函数的导数，只需求每个分量的导数，即

$$
\frac{d Y }{d t}=\binom{\frac{d x}{d t}}{\frac{d y}{d t}}
$$

**定义2.1** $x y$ 平面到 $x y$ 平面的一个向量值的函数

$$
F ( Y )=(f(x, y), g(x, y))
$$ 
称为 $x y$ 平面上的**向量场**．
使用引进的记号，方程组（2.20）可以重写成

$$
\frac{d Y }{d t}=\binom{\frac{d x}{d t}}{\frac{d y}{d t}}=\binom{f(x, y)}{g(x, y)}= F ( Y )
$$

或者

$$
\frac{d Y }{d t}=F( Y ) ...(2.21)
$$

**注记** 假设 $x y$ 平面上的一个质点 $M$ ，在 $t$ 时刻的坐标为 $Y =(x, y)$ ，并且已知它在点 $Y$ 的速度为 $F ( Y )=(f(x, y), g(x, y))$ ，它只与 $x y$ 平面上坐标有关，则质点 $M$ 的运动方程为（2.21）所表示，即

$$
\frac{d Y }{d t}= F ( Y )
$$

这称为**动力系统**．质点 $M$ 在 $x y$ 平面上的运动轨迹恰为方程组（2．20）的轨线．

`例`讨论捕食-食饵模型

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d R}{d t}=2 R-1.2 R F \\
\frac{d F}{d t}=-F+0.9 R F
\end{array}\right. ...(2.22)
$$

的向量形式与向量场．
解 定义 $X (t)=(R(t), F(t)), V ( X )= V (R, F)=(2 R-1.2 R F,-F+0.9 R F)$ ，则（2.22）的向量形式为

$$
\frac{d X }{d t}= V ( X )
$$

对 $R F$ 平面上不同的点，如 $(R, F)=(1,1),(2,1.5)$ 及 $(1,2)$ 分别计算向量场的值

$$
V (1,1)=(0.8,-0.1)
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& V (2,1.5)=(0.4,0.7) \\
& V (1,2)=(-0.4,0.8)
\end{aligned}\\
 
\end{aligned}
$$

在 $R F$平面上表示向量场 $ V (R, F)$ 中的上述向量（图2.11）

![图片](/uploads/2025-06/841c90.jpg)

`例`讨论简谐振动模型

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+y=0 ...(2.23)
$$

的向量形式与向量场．
解 首先将二阶微分方程写成—阶微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v \\
\frac{d v}{d t}=-y
\end{array}\right. ...(2.24)
$$

记 $V =(y, v), F (y, v)=(v,-y)$ ，则（2.24）表示为

$$
\frac{d Y }{d t}= F (y, v) .
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 选 }(y, v)=(1,0),\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),(0,1), \\
& \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),(-1,0),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),(0,-1), \\
& \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) . \quad \text { 经计算知 } F (y, v)=(0,-1), \\
& \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \quad(1,0), \quad\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right), \quad(0,1), \\
& \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),(-1,0),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) .
\end{aligned}
$$

分别在 $y v$ 平面上的相应点标出各向量，如图2 2.12 所示。

![图片](/uploads/2025-06/83158a.jpg)
 
向量场 $F (y, v)$ 中所有的向量均与某中心在圆点的圆周相切．
由向量场的定义，在相平面上的不同点处标出的向量的长度不一定相同，因此，会出现相互交叉的向量影响向量场的可视化程度．例如，图 2.12 向量场 $F (y, v)=$ $(v,-y)$ 的图示．

为克服向量场图示的上述缺点，规定在向量场中各点标出的向量都具有相同的长度，并且长度很短，因此，仅显示出向量场中各点向量的方向．这样的图示称为原向量场的**方向场**．图 2.13 标出了简谐振动模型向量场 $F (y, v)=(v,-y)$ 的方向场．
 
  ![图片](/uploads/2025-06/53d325.jpg)
尽管方向场图示在可视化方面优于向量场图示，但在图示中因未标出向量场中向量的长度而损失了揭示解的速度的信息．

## 2.3.2 解的几何刻画
在相平面上画出一阶二维微分方程组的向量场或方向场的图示，可以概略画出方程组的轨线．下面讨论一般形式的一阶二维微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=f(x, y) \\
\frac{d y}{d t}=g(x, y)
\end{array}\right. ...(2.25)
$$

在2.3.1小节中已经见到，此方程组确定了向量场 $F (x, y)=(f(x, y), g(x, y))$ ．设 $Y (t)=(x(t), y(t))$ 为向量值函数，则方程组（2.25）可以写成向量形式

$$
\frac{d Y }{d t}= F ( Y )
$$

在几何上，将轨线 $Y (t)=(x(t), y(t))$ 看成 $x y$ 平面上的曲线，则 $\frac{ d Y }{ d t}$ 恰为曲线上的切向量，而微分方程组表明，该曲线上每点的切向量由向量场中在该点的向量给出．因此，由向量场的略图可以勾画出向量微分方程 $d Y / d t= F ( Y )$ 的轨线，而不必知道 $F(Y)$ 的具体表达式，如图 2.14 所示．
 ![图片](/uploads/2025-06/4216f6.jpg)
 
### 1．简谐振动系统的轨线
在例 2.3 中，已经知道函数 $y(t)=\cos t, v(t)=-\sin t$ 满足下面的简谐振动系统：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v, \\
\frac{d v}{d t}=-y .
\end{array}\right. ...(2.26)
$$

由 $y^2+v^2=1$ 可知向量值函数

$$
Y (t)=(y(t), v(t))=(\cos t,-\sin t) .
$$

当 $t$ 增加时，顺时针方向扫过以原点为中心的单位圆．正如在图 2.15 中所见到的，扫过的速度向量恰与向量场中的向量一致．

![图片](/uploads/2025-06/ae3312.jpg)
 
 ### 2. 捕食－食饵模型的轨线
在 2．2．1 小节中，已经画出系统：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d R}{d t}=2 R-1.2 R F \\
\frac{d F}{d t}=-F+0.9 R F
\end{array}\right.
$$

对应于初值条件 $(R, F)=(1,0.5)$ 的一条轨线．在图 2.16 中可以见到该轨线上的切向量与向量场中向量的关系．

![图片](/uploads/2025-06/112706.jpg)
 
 ## 2.3.3 相图分析
讨论方程（2．25）的向量形式

$$
\frac{d Y }{d t}= F ( Y ) ..(2.28)
$$

相平面上的一点 $Y _0$ ，满足 $F \left( Y _0\right)=0$ ，则称 $Y _0$ 为方程组（2.28）的平衡点，此时，常向量值函数 $Y (t)= Y _0$ 称为方程组（2.28）的平衡解．

> **微分方程组的平衡解在相图分析中具有重要作用**．

下面以两种群竞争模型为例说明综合运用相平面、平衡解、方向场、轨线、 $x(t)$图像及 $y(t)$ 图像进行相图分析的方法．

讨论一阶二维微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=2 x\left(1-\frac{x}{2}\right)-x y \\
\frac{d y}{d t}=3 y\left(1-\frac{y}{3}\right)-2 x y
\end{array}\right. ...(2.29)
$$

其中 $x$ 与 $y$ 为竞争同一资源的两个种群的数量．如果仅有一个种群存在，其发展规律遵循 Logistic 增长模型，而当两种群都存在时，由于对同一资源的竞争，在两个方程中分别出现 $-x y$ 与 $-2 x y$ 项．

**下面分三步进行相图分析**．
**（1）求相平面上的平衡点**．为求微分方程组（2．29）在相平面上的平衡点，令 （2．28）的右边为 0 ，从而得到代数方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x\left(1-\frac{x}{2}\right)-x y=0 \\
3 y\left(1-\frac{y}{3}\right)-2 x y=0
\end{array}\right.
$$

解此方程组得到 $x y$ 平面上的平衡点为 $(0,0),(0,3),(2,0)$ 与 $(1,1)$ ．由于种群数量非负，所以方程组（2．29）的相平面为 $x y$ 平面的第 I 象限．平衡解 $(x(t), y(t))=(0,0)$ ， $(x(t), y(t))=(0,3),(x(t), y(t))=(2,0)$ 与 $(x(t), y(t))=(1,1)$ 的轨线分别退化为相平面上的 4 个点，如图 2.17 所示．
 ![图片](/uploads/2025-06/cf9c52.jpg)
 
**（2）在方向场中勾画相图**．在相平面上画出方程组（2．29）的方向场，标出平衡点，由方向场勾画出几条关键的轨线，形成一个完整的相图，从相图可以看出，不同的轨线不相交．这一点可以由解的唯一性定理（见 2.3 ． 4 小节）推出．在相图中，从多数初始点出发的轨线，要么趋于 $(2,0)$ ，要么趋于 $(0,3)$ ．这表明，此时总有一种生物趋于灭绝，而另一种保持生存。由于在相图中，各条轨线上均不含时间变量，因此，无法观测出解随时间变化的趋势．为此，需绘出 $x(t)$ 图像与 $y(t)$ 图像．

**（3）$x(t)$ 图像与 $y(t)$ 图像**．给定初始条件 $\left(x_0, y_0\right)=(0.4,0.5)$ 及 $\left(x_0, y_0\right)=$ $(0.5,0.25)$ 分别画出对应的 $x(t)$ 图像与 $y(t)$ 图像，如图 2.18 所示．由图像可以看出解随时间的变化趋势．

在图 2．18（a）中，随着 $t$ 的增加，$x(t)$ 与 $y(t)$ 开始时增加，从某时刻 $t_0$ 开始， $x(t)$ 开始下降，直到 $t=2, x(t)$ 的值并未消失，而 $y(t)$ 的值趋于 3 。在图 2．18（b）中，从开始时，$x(t)$ 与 $y(t)$ 的值增加，从某一时刻 $t$ 开始，$x(t)$ 与 $y(t)$ 的值下降，当 $t=8$ 之后基本消失，而 $x(t)$ 的值趋于 2 。

到目前为止，所讨论的一阶二维微分方程组均可表示为（2．20），或向量形式

$$
\frac{d Y }{d t}= F ( Y ) ...(2.30)
$$

其中， $Y (t)=(x(t), y(t)), F ( Y )=(f(x, y), g(x, y))$ 。向量场 $F ( Y )$ 只依赖因变量 $x$ ， $y$ ，而与自变量 $t$ 无关，这样的系统称为**自治系统**．方程组（2．30）称为**自治微分方程组**．
 ![图片](/uploads/2025-06/42de28.jpg)
 
 ## 2.3.4 解的存在唯一性定理
讨论一阶二维微分方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= F (t ; Y ), ...(2.31)
$$

由于向量场 $F (t ; Y )=(f(t ; x, y), g(t ; x, y))$ 与自变量 $t$ 有关，所以（2．31）称为**非自治微分方程组**．

给定方程组（2.20）的初始条件

$$
Y \left(t_0\right)= Y _0, ...(2.32)
$$

其中 $t_0$ 为初始时刻， $Y _0=\left(x_0, y_0\right)$ 为初始点．考虑包含点 $\left(t_0, Y _0\right)=\left(t_0 ; x_0, y_0\right)$ 的某闭区域

$$
R=\left\{(t, y)\left\|t-t_0 \mid \leqslant a,\right\| Y - Y _0 \| \leqslant b\right\}
$$

其中 $\| Y \|$ 为向量 $Y =(x, y)$ 的长度，即 $\| Y \|=\left(x^2+y^2\right)^{\frac{1}{2}}$ ．
称 $F (t ; Y )$ 在 $R$ 上关于 $Y$ 满足利普希茨条件是指存在常数 $L>0$ ，使得不等式

$$
\left\|F\left(t ; Y _1\right)-F\left(t ; Y _2\right)\right\| \leqslant L\left\| Y _2- Y _2\right\| ...(2.33)
$$

对所有 $\left(t ; Y _1\right),\left(t ; Y _2\right) \in R$ 成立，其中 $L$ 称为利普希茨常数．
如果向量函数 $F (t ; Y )$ 在 $R$ 内连续，并且关于 $Y$ 连续可微，则由二元函数的微分中值定理可知 $F (t ; Y )$ 在 $R$ 上满足利普希茨条件．

### 存在唯一性定理
存在唯一性定理 如果向量函数 $F (t ; Y )$ 在区域 $R$ 内连续且关于 $Y$ 满足利普希茨条件，则方程（2．31）存在唯一解 $Y = Y (t)$ ，它在区间 $\left|t-t_0\right| \leqslant h$ 上连续且

$$
Y \left(t_0\right)= Y _0
$$

其中 $h=\min \left(a, \frac{b}{M}\right), M=\max _{(t, Y) \in R}\| F (t, Y )\|$ ．
此定理的证明可以仿照第 1 章附录中关于微分方程解的存在唯一性定理的证明．本定理的应用很广泛，关键在于验证定理的条件成立．假如定理的条件不成立，则不能确保方程组（2．31）的解存在，也不可能确保其解唯一。

特别地，当 $F (t ; Y )= F ( Y )$ ，即（2．31）变成自治微分方程组（2．30）时，此存在唯一性定理中的唯一性极其有用。因为向量场 $F ( Y )$ 不随时间而改变，方程组 （2．30）在不同时刻，从同一点出发的两个不同的解的轨线必然重合．因此，向量场中的各条轨线均不相交．

为验证此结论，假设两个轨线在 $Y _0$ 处重合，换言之，有方程组（2．30）的两个解 $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 满足

$$
Y _1\left(t_1\right)= Y _0= Y _2\left(t_2\right)
$$

由存在唯一性有

$$
Y _1\left(t_1+t\right)= Y _2\left(t_2+t\right)
$$

对所有 $t$ 均成立．因此，产生同一轨线．

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