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微分方程组的解析方法：半耦合方程组与猜测-检验法

## 2.4 解析方法与数值方法

一阶二维微分方程组一般很难用解析方法求解，仅可对其特殊情形，特别是对自治线性微分方程组方可以给出一般解法（将在 2.5 节和 2.6 节进行讨论）。因此，本章前几节及第 3 章主要运用定性方法进行分析。微分方程组相图的描绘一般需用计算机应用软件求出其数值逼近解并绘图。在 2．4．2 小节介绍二维欧拉方法，初步了解数值方法的思想．

## 2.4.1 解析方法 I：半耦合方程组
讨论一阶二维微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=3 x+2 y \\
\frac{d y}{d t}=-4 y
\end{array}\right. ...(2.34)
$$

在方程组（2.34）中，变量 $x$ 的变化率既依赖于变量 $x$ ，也依赖于变量 $y$ ，但变量 $y$的变化率仅依赖于其自身。此时，称变量 $y$ 从方程组中解耦出来。方程组（2．34）称为**半耦合方程组**。

由方程组（2.34）中的第二个方程得到通解

$$
y(t)=C_2 e^{-4 t} ...(2.35)
$$

其中，$C_2$ 为任意常数．
将（2.35）代入（2.34）得到非齐次线性微分方程

$$
\frac{d x}{d t}-3 x=2 C_2 e^{-4 t} ...(2.36)
$$

令 $x_p(t)=C e ^{-4 t}$ 为（2．36）的一个特解，代入方程（2．36）得

$$
-4 C e^{-4 t}-3 C e^{-4 t}=2 C_2 e^{-4 t}
$$

从而有

$$
-7 C=2 C_2
$$

于是 $C=-\frac{2}{7} C_2$ ．因此，$x_p(t)=-\frac{2}{7} C_2 e ^{-4 t}$ ．
齐次微分方程

$$
\frac{d x}{d t}-3 x=0
$$
的通解为 $x(t)=C_1 e ^{3 t}$ ，从而由一阶线性微分方程的线性原理知方程（2.36）的通解为

$$
x(t)=C_1 e^{3 t}-\frac{2}{7} C_2 e^{-4 t}
$$

于是得方程组（2.34）的通解为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=C_1 e^{3 t}-\frac{2}{7} C_2 e^{-4 t} \\
y(t)=C_2 e^{-4 t}
\end{array}\right. ...(2.37)
$$

给定初始条件 $\left(x_0, y_0\right)=\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，为求出方程组 $(2.34)$ 满足 $x(0)=0, y(0)=\frac{1}{2}$ 的特解，由（2．37）得到

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(0)=0=C_1-\frac{2}{7} C_2 \\
y(0)=\frac{1}{2}=C_2
\end{array}\right.
$$

于是 $C_1=\frac{1}{7}, C_2=\frac{1}{2}$ ．因此，初值问题的解为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\frac{1}{7} e^{3 t}-\frac{1}{7} e^{-4 t} \\
y(t)=\frac{1}{2} e^{-4 t}
\end{array}\right.
$$

给定初始条件 $x(0)=-\frac{1}{7}, y(0)=\frac{1}{2}$ ．同理，求得方程组（2.34）的解为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=-\frac{1}{7} e^{-4 t} \\
y(t)=\frac{1}{2} e^{-4 t}
\end{array}\right. ...(2.38)
$$

由此得到

$$
y(t)=-\frac{7}{2} x(t) ...(2.39)
$$

尽管 $x(t)$ 图像与 $y(t)$ 图像均为指数函数图像，但在相平面上，对应的轨线却为直线，如图 2.19 所示．

![图片](/uploads/2025-06/f5694c.jpg)

`例`求非自治微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\frac{2}{t} x+y \\
\frac{d y}{d t}=-1
\end{array}\right. ...(2.40)
$$

的解析解．
解 非自治方程组（2．40）为半耦合方程组．由第二个方程得

$$
y(t)=-t+C_1
$$

代入第一个方程得一阶线性微分方程

$$
\frac{d x}{d t}=\frac{2}{t} x-t+C_1 ...(2.41)
$$

由分离变量法知齐次方程

$$
\frac{d x}{d t}=\frac{2}{t} x
$$

的通解为

$$
x=C t^2 ...(2.42)
$$

运用常数变易法求非齐次线性微分方程（2．41）的通解．将 $C$ 看成 $C(t)$ ，微分式 （2．42）得到

$$
\frac{d x}{d t}=\frac{d C(t)}{d t} t^2+2 C(t) t
$$

代入（2．41）得

$$
\frac{d C(t)}{d t}=-\frac{1}{t}+\frac{C_1}{t^2}
$$

积分得

$$
C(t)=-l_n|t|-\frac{C_1}{t}+C_2
$$

从而微分方程（2．41）的通解为

$$
x(t)=t^2\left(-\ln |t|-\frac{C_1}{t}+C_2\right)
$$

其中 $C_1, C_2$ 为任意常数．于是方程组（2．40）的通解为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=t^2\left(-\ln |t|-\frac{C_1}{t}+C_2\right) \\
y(t)=C_1-t
\end{array}\right.
$$
设 $x(1)=1, y(1)=2$ ，则得 $C_1=3, C_2=4$ ，从而得一组特解

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=t^2\left(-\ln |t|-\frac{3}{t}+4\right) \\
y(t)=3-t
\end{array}\right.
$$

## 2.4.2 解析方法 II：猜测－检验方法
讨论有阻尼质点弹簧系统模型（图 2．20）．
设 $y(t)$ 为 $t$ 时刻质点 $m$ 从静止位置到当前位置的位移．弹簧作用在质点 $m$ 上的弹性力为 $-k y(t)$ 。 将作用在质点上的全部阻力合在一起。假定其阻力与质点的运动速度成正比，即阻力为 $-b\left(\frac{d y}{d t}\right)$ ，其中 $b>0$ 为阻力系数，符号＂－＂表明阻力的方向与运动方向相反．

![图片](/uploads/2025-06/580e2a.jpg)
 
设 $v(t)$ 为质点 $m$ 的速度，即 $v=\frac{ d y}{d t}$ ，则由牛顿第二定律有

$$
m \frac{d v}{d t}=-k y-b v
$$

于是得微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v \\
\frac{d v}{d t}=-\frac{k}{m} y-\frac{b}{m} v
\end{array}\right. ...(2.43)
$$

设 $p=\frac{b}{m}, q=\frac{k}{m}$ ，则方程组（2．43）化为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v \\
\frac{d v}{d t}=-q y-p v
\end{array}\right. ...(2.44)
$$

方程组（2．44）为**有阻尼简谐振动模型**．
下面假定 $p=6, q=8$ ，则方程组（2．44）化为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v \\
\frac{d v}{d t}=-8 y-6 v
\end{array}\right. ...(2.45)
$$

因为变量 $v$ 的变化率依赖于变量 $y$ 与变量 $v$ ，而变量 $y$ 的变化仅依赖于变量 $v$ ．将变量 $v$ 从方程组中消去得二阶微分方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+6 \frac{d y}{d t}+8 y=0 ...(2.46)
$$

二阶微分方程（2．46）的解必须满足如下的条件：$y(t)$ 的二阶导数 $y^{\prime \prime}(t)$ 可表示成 $y^{\prime}(t)$ 与 $y(t)$ 的线性组合．满足此条件的基本初等函数只有指数函数．

猜测 $y(t)= e ^{s t}$ ，其中 $s$ 为待定常数．将 $y(t)= e ^{s t}$ 代入微分方程（2．46）得

$$
0=\frac{d^2 y}{d t^2}+6 \frac{d y}{d t}+8 y=\left(s^2+6 s+8\right) e^{s t}
$$

由于 $e^{s t} \neq 0$ ，所以一定有

$$
s^2+6 s+8=0
$$

解得 $s_1=-2, s_2=-4$ ．因此得到

$$
y_1(t)=e^{-2 t}, \quad y_2(t)=e^{-4 t}
$$

由 $y_1(t)= e ^{-2 t}$ 得 $v_1(t)=y_1^{\prime}(t)=-2 e ^{-2 t}$ ．再由 $y_2(t)= e ^{-4 t}$ 得 $v_2(t)=-4 e ^{3 t}$ ．于是得到

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1(t)=e^{-2 t} \\
v_1(t)=-2 e^{-2 t}
\end{array}\right. ...(2.47)
$$

与

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_2(t)=e^{-4 t} \\
v_2(t)=-4 e^{-4 t}
\end{array}\right. ...(2.48)
$$

检验 首先有

$$
\frac{d}{d t}\binom{y_1(t)}{v_1(t)}=\binom{-2 e^{-2 t}}{4 e^{-2 t}}
$$

且

$$
\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-8 & -6
\end{array}\right)\binom{y_1(t)}{v_1(t)}=\binom{-2 e^{-2 t}}{-8 e^{-2 t}+12 e^{-2 t}}=\binom{-2 e^{-2 t}}{4 e^{-2 t}}
$$

因此，

$$
\frac{d}{d t}\binom{y_1(t)}{v_1(t)}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-8 & -6
\end{array}\right)\binom{y_1(t)}{v_1(t)}
$$

于是 $Y _1(t)=\left( e ^{-2 t},-2 e ^{-2 t}\right)$ 为一阶二维微分方程组

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-8 & -6
\end{array}\right) Y  ...（2.49）
$$

的解，并且

$$
Y _1(0)=(1,-2)
$$
同样， $Y _2(t)=\left( e ^{-4 t},-4 e ^{-4 t}\right)$ 也为 $(2.49)$ 的解，并且 $Y _2(0)=(1,-4)$ ．显然，方程组 （2．49）即为方程组（2．45）．

下面绘出方程组（2．45）以上两组解的轨线及 $y(t)$ 图像与 $x(t)$ 图像（图 2．21，图 2．22）．由（2．47）及（2．48）得到 $v_1(t)=-2 y_1(t)$ 且 $v_2(t)=-4 y_2(t)$ ．

![图片](/uploads/2025-06/f032d8.jpg)
 
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