最后更新: 2025-06-13 10:21 查看: 135 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数学竞赛：多项式基本性质

在本节中，我们从涵盖多项式的底层理论开始，然后继续讨论概念的标准化和唯一性两方面的应用．我们定义一个多项式为有限多个单项式的和，记为

$$
P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0
$$

多项式最高次数记做 deg。

一个单项式定义为一个系数 $a_i$ 与一个变量 $x$ 的幂的乘积．系数可以是实数或复数，在此我们只讨论实系数的情况。下面是多项式的某些基本性质：
（1）两个多项式相等，当且仅当它们的对应系数相等；
（2）如果 $a_n \neq 0$ ，那么我们说 $P(x)$ 的次数是 $n$ ，记为 $\operatorname{deg}(P(x))=n$ 或 $\operatorname{deg}(P)=n$ ；
（3） $\operatorname{deg}(P(x)+Q(x)) \leqslant \max \{\operatorname{deg}(P(x)), \operatorname{deg}(Q(x))\}$ ；
（4） $\operatorname{deg}(P(x) Q(x))=\operatorname{deg}(P(x))+\operatorname{deg}(Q(x))$ ．
注 如果 $\operatorname{deg}(P(x)) \neq \operatorname{deg}(Q(x))$ ，那么性质（3）仍然成立，另外，在本书中，我们约定零多项式 $(P(x)=0)$ 的次数为 $-\infty$ ，这主要是为了保持上述性质（3）。
$x^n$ 项的系数 $a_n$ 称为多项式的首项系数．如果这个首项系数是 1 ，那么这个多项式称为首一的．另外，一次多项式称为线性，二次多项式称为二次，三次多项式称为三次，四次多项式称为四次，等等．

我们可以通过组合具有相同变量部分的项来添加或减去一个多项式，例如

$$
\left(x^3+4 x+2\right)+\left(5 x^3-x^2-x\right)=6 x^3-x^2+3 x+2
$$

我们还可以通过将因子中每对项的所有乘积相加来对它们进行乘法运算（按层次合理地使用分布律）．例如

$$
\begin{aligned}
& \left(x^3+4 x+2\right)\left(5 x^3-x^2-x\right) \\
= & x^3\left(5 x^3-x^2-x\right)+4 x\left(5 x^3-x^2-x\right)+2\left(5 x^3-x^2-x\right) \\
= & 5 x^6-x^5-x^4+20 x^4-4 x^3-4 x^2+10 x^3-2 x^2-2 x \\
= & 5 x^6-x^5+19 x^4+6 x^3-6 x^2-2 x
\end{aligned}
$$

多项式除法与整数的除法是非常相似的．
定理1．1（**多项式除法**）对于任意两个多项式 $P(x)$ 和 $D(x)$ ，且 $D(x)$ 非零，则存在两个唯一的多项式 $Q(x)$ 和 $R(x)$ ，且 $\operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(D)$ ，满足关系

$$
P(x)=Q(x) D(x)+R(x)
$$

证明 设 $n=\operatorname{deg}(P), m=\operatorname{deg}(D)$ 。如果 $n<m$ ，为使 $\operatorname{deg}(R)<\operatorname{deg}(D)$ 成立，我们取 $Q(x)=0$ ，从而 $R(x)=P(x)$ ；否则， $\operatorname{deg}(Q)=n-m$ 。然后观察到 $P(x)$ 中 $x^n$ 的系数由 $D(x)$ 中 $x^m$ 的系数和 $Q(x)$ 中 $x^{n-m}$ 的系数的乘积定义，所以 $x^{n-m}$ 的系数就唯一确定了。类似的，$Q(x)$ 中 $x^{n-m-1}$ 的系数由 $P(x)$ 中 $x^{n-1}$ 的系数和 $D(x)$ 中 $x^m$ 的系数定义，一直到 $Q(x)$ 中 $x^0$ 的系数由 $P(x)$ 中 $x^m$ 的系数和 $D(x)$ 中 $x^m$ 的系数定义．这样一来，$Q(x)$ 中所有系数都确定了，这确定了唯一的 $Q(x)$ ．那么剩余项具有 $m-1$ 或更低的次数归于 $R(x)$ ，除法的唯一性得证．

注 请注意，所有系数可以是 $Q , R$ 或 $C$ 之一，对于熟悉抽象代数的读者，可以将其扩展到任何数域的系数，为了将这个定理扩展到整数系数，我们要求 $D(x)$ 是首一的，将此作为练习留给读者。

就像整数一样，多项式 $P(x)$ 除以 $D(x)$ 时，我们称 $Q(x)$ 和 $R(x)$ 为商和余数．如果 $R(x)=0$ ，那么 $D(x)$ 被称为 $P(x)$ 的除数或因子（记为 $D(x) \mid P(x)$ ，读作＂$D(x)$ 整除 $P(x) ") ; P(x)$ 称为 $D(x)$ 的倍数．另外，如果存在某些数 $r$ 使得 $P(r)=0$ ，那么称 $r$ 是 $P(x)$ 的一个根、解或者零点．

定理 1．2（**根因式定理**）一个数 $c$ 是 $P(x)$ 的一个根，当且仅当 $(x-c) \mid P(x)$ ．
证明 首先，将 $P(x)$ 写成形式

$$
P(x)=Q(x)(x-c)+R(x)
$$

如果 $c$ 是 $P(x)$ 的一个根，那么

$$
P(c)=Q(c)(c-c)+R(c)
$$

即 $R(c)=0$ ．因为 $R(x)$ 必须是常数（因为其次数小于 $\operatorname{deg}(x-c)=1$ ），所以多项式 $R(x)$ 必定是零，这就是说，$(x-c) \mid P(x)$ ．此外，如果 $(x-c) \mid P(x)$ ，那么 $R(x)=0$ ，所以，$P(c)=Q(c)(c-c)+R(c)=0$ ，因此，$c$ 是 $P(x)$ 的一个根，证毕。

这直接关系到多项式最重要的定理之一：代数学基本定理．它的证明超出了本书的范围，所以我们在这里没有提及它的证明．

定理 1.3 （**代数学基本定理**）每个具有复数系数的非零单变量 $n$ 次多项式，正好有 $n$个根（按重数计数）。

注 因式 $x-a$ 出现在完整因式分解中的次数称为根 $a$ 的重数．值得注意的是，多项式的 $n$ 个

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