最后更新: 2025-06-11 15:39 查看: 115 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数学竞赛-多项式的可约性

现在，我们来学习一个称为可约性的概念．具有整数系数的多项式，称为可约的，如果它可以表示为两个非常数的也是用整数系数表示的多项式的乘积；如果不能用这种方式来表达，就称为不可约的．

使用记号 $K[x]$ 表示系数在集合 $K$ 中取值的多项式的集合．例如，记号 $Z [x]$ 表示整系数多项式的集合，也称为整多项式。

需要注意，每一个线性多项式都是不可约的．$K[x]$ 中的二次多项式和三次多项式是不可约的，当且仅当在 $K[x]$ 中它们没有线性因子，即它们在 $K$ 中没有根（注意，没有线性因子是一个很强的条件，例如，在 $K= Z$ 的情况，没有线性因子就意味着在 $Q$ 中没有根）。为了证明四次多项式的不可约性，必须验证它不能用线性因子乘以三次多项式或者两个二次多项式的乘积来表示．

注 涉及整数可约性的许多结果也适用于有理数．目前，我们讨论整数的情况．
像素数一样，如果一个多项式 $F(x)$ 在 $K[x]$ 中是不可约的，且 $F(x) \mid G(x) H(x)$ ，其中多项式 $G(x), H(x) \in K[x]$ ，则 $F(x) \mid G(x)$ 或者 $F(x) \mid H(x)$（或者两者）．另外，每一个非常数多项式 $F(x) \in K[x]$ 都可以表示为 $K[x]$ 中有限多个不可约多项式的乘积．这个表达式在不变的乘数中是唯一的，这些事实非常直观，我们把它作为练习留给读者进行严格的证明．

例 2.1 证明：$x^4+1$ 在 $Z [x]$ 上是不可约的．
证明 因为 $x^4+1 \geqslant 1>0$ ，所以多项式 $x^4+1$ 没有有理（甚至实数）根（由有理根定理可知，没有有理根）。这样一来，多项式 $x^4+1$ 不可能是一个线性多项式和一个三次多项式的乘积．所以，基于这个事实，它必定是两个二次多项式的乘积，假设 $x^4+1=$

$\left(a x^2+b x+c\right)\left(d x^2+e x+f\right)$ ，其中 $a, b, c, d, e, f$ 都是整数．观察首项和常数项，我们发现 $a d=1, c f=1$ ，这样，$a=d= \pm 1, c=f= \pm 1$ 。因为我们总可以用 -1 乘以两个因式，所以，可以假设 $a=d=1, c=f= \pm 1$ ．之后，展开有

$$
\begin{aligned}
x^4+1 & =\left(a x^2+b x+c\right)\left(d x^2+e x+f\right) \\
& =x^4+(b+e) x^3+(b e \pm 2) x^2 \pm(b+e) x+1
\end{aligned}
$$

比较 $x$ 和 $x^3$ 的系数，我们得到 $b+e=0$ ，即 $e=-b$ ．比较 $x^2$ 的系数，得到 $b^2= \pm 2$ ，由此可见，对于整数 $b$ 这是不可能的，所以没有这样的分解存在．

例 2.2 设 $r_1, r_2, \cdots, r_n$ 是正整数，又设 $P(x)=\left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right) \c

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