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狭义相对论的几何诠释

在本章中，我们将用几何语言重新对狭义相对论进行回顾和讨论．我们首先对狭义相对论中的时空观进行分析，引进洛伦兹－菲茨杰拉德（Lorentz－FitzGerald）变换，讨论光锥，有质量粒子、无质量粒子的运动以及一些相关的物理效应，包括尺缩效应、时间延长效应、爱因斯坦（Einstein）质能关系、多普勒（Doppler）效应、光行差效应等。此外，我们将系统讨论狭义相对论中的运动学和动力学，并定义观测者和观测．
1.1 狭义相对论的几何诠释

狭义相对论有不少与我们的直觉相抵触的地方，如果我们简单地利用日常生活中的经验，将很难理解狭义相对论中的物理效应，如尺缩效应、时间延长效应等，并由此产生各种各样的佯谬．这种直觉实际上根植于我们对时间和空间的感觉．我们很容易接受空间具有三个维度，也较容易接受伽利略（Galileo）所提出的相对性原理，即对不同的惯性系而言运动是相对的．在这个直觉背后，很重要的一条假定是：时间是绝对的，即时间具有绝对性的意义，它的流逝对于所有惯性系都是一样的．利用不同的时间我们可以对时空切片，如图1．1所示．这个时间与空间的不平等性贯穿于狭义相对论之前的牛顿（Newton）力学体系中．

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 牛顿力学体系中的伽利略相对性原理，在物理上意味着运动规律与惯性参考系的选择无关。所谓惯性参考系，或者惯性系，指的是一个特别的参考系，一个不受任何外力的物体在其中将做匀速直线运动，即满足牛顿力学第一定律．在牛顿力学和狭义相对论中，总假设有惯性系存在．严格地说，由于引力无处不在，惯性系是不存在的．然而，在很多情况下，可以不严格地在操作意义上认定惯性系存在，比如地球惯性系．如果存在一个基本惯性系，相对于此惯性系做匀速直线运动的另一参考系也是一个惯性系．伽利略相对性原理可以如下表述。

伽利略相对性原理 所有的运动规律在不同的惯性系中具有相同的形式。
如果一个观测者相对于基本惯性系做匀速直线运动，则这个观测者就定义了另一个惯性系，这个观测者称为惯性观测者。如果这个观测者的运动比较复杂，运动速度相对于基础惯性系并非简单的一个常数，则我们无法定义观测者的整体惯性参考系，但仍然可以定义瞬时惯性参考系，这是因为在每一个瞬间，观测者的速度相对于基础惯性系仍然是一个常数。

在伽利略－牛顿力学体系中，时间具有绝对的意义，因此从几何上看，不同的惯性系间通过伽利略变换相联系：

$$
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=H\left(\begin{array}{c}
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
z^{\prime}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
a+u t \\
b+v t \\
c+w t
\end{array}\right),
$$

其中，$H$ 是个常值 $\mathrm{SO}(3)$ 矩阵，代表坐标系空间方向选择的任意性，$(a, b, c)$ 也是常数，代表坐标原点的选择，而常数 $(u, v, w)$ 代表速度的不同分量，表明不同的坐标系间可以差一个常速度．从这个变换中可以很容易看出，在不同坐标系中空间间隔和时间间隔

$$
\begin{aligned}
\Delta r= & \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2} \\
& \Delta t
\end{aligned}
$$

分别是不变的．由于时间的绝对性，时间间隔的不变性是显而易见的．对于空间间隔而言，原点的平移不会改变间隔，而三维空间转动本身也不会改变间隔，如图 1.2 所示。

伽利略相对性原理告诉我们，如果不同观测者之间只相差一个常速度，他们得到的物理规律应该具有相同的形式．实际上，在伽利略－牛顿理论中，同一客体的运动状态，比如速度，对于不同的观测者是不同的．重要的是物理规律对于不同的观测者是相同的，也就是说，物理规律在伽利略变换下应该是不变的．牛顿的三大力学定律在伽利略变换下不变，因此在所有的惯性系中都具有相同的形式．例如牛顿力学第二定律 $\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}$ 对所有的观测者都是一样的，尽管粒子的运动速度对不同的观测者而言有所

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 不同，加速度却是一样的．更一般地，伽利略相对性原理认为不止是牛顿的力学规律对不同的惯性系不变，其他物理规律也应该如此．

19 世纪末，随着麦克斯韦（Maxwell）电磁理论的建立，人们很快认识到麦克斯韦方程组在伽利略变换下并非不变．也就是说，伽利略相对性原理与麦克斯韦理论无法相容．人们提出各种办法来解决这个问题，其中包括历史上曾经受到大家重视的以太假定等。1905年，年轻的爱因斯坦提出了狭义相对论，漂亮地解决了这个问题．爱因斯坦的解决方案中，除了相对性原理以外，还提出了所谓的光速不变原理．

光速不变原理 光在真空中的速度在不同惯性系中保持不变。
光速不变原理通过迈克耳孙－莫雷（Michelson－Morley）实验得到了验证。换句话说，如果我们坚持认为麦克斯韦方程组在不同惯性系下都取相同的形式，因此光的传播速度是不变的，这样我们可以很自然地发现洛伦兹变换（Lorentz transformation），从而建立狭义相对论．

简而言之，爱因斯坦的狭义相对论中仍然坚持相对性原理，即要求物理规律在不同的惯性系之间应该取相同的形式，但是时间的超然地位和绝对意义都失去了．在一个惯性系中两个事件的同时性在另一个惯性系中丢失了．在狭义相对论中，时空观发生了革命性的变化，牛顿力学中的时空观被颠覆，时间和空间是平等的．

1908年，闵可夫斯基（Minkowski）指出，可以利用几何语言很方便地讨论狭义相对论．在这个框架中，很容易建立时间与空间的平等地位，狭义相对论中的时空观得以优美地呈现。更重要的是，几何语言在广义相对论的建立中得到进一步发展并发挥了根本性的作用．下面我们通过几何语言重新梳理爱因斯坦的狭义相对论．对于狭义相对论的深人介绍，可参见文献 $[3,7,25]$ ．

1．1．1 洛伦兹变换
在狭义相对论中时间和空间是平等的，需要一个统一的描述．在这个描述中，我们把时间和空间统称为时空．在一个时空中我们需要定义一些新的概念，譬如事件 （event）和世界线（worldline）．所谓事件，指的是时间和空间中的一个点，在某坐标系下用 $(t, x, y, z)$ 来刻画．所有事件的集合构成了我们的时空．世界线指的是一个点粒子在时空中的轨迹．然而，需要强调的是事件本身与坐标系选择无关，在不同坐标系下事件的坐标是不同的，而两个事件间隔有赖于时空的几何以及这两个事件是如何通过曲线相连的，与坐标系的选择无关．

描述几何的基础是通过微分和积分运算来定义两点间的距离．对于相隔无穷小的两个点，可以认为它们是直线相连，定义线元

$$
\mathrm{d} s^2=\sum_{i, j} g_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j
$$

其中 $i, j$ 取决于时空的维度，$g_{i j}$ 称为度规，其具体形式依赖于坐标的选择．度规相当于我们取定了测量用的尺子和时钟，用来测量两点的长度或者时间间隔．

例1．1 二维欧几里得空间（Euclidean space，简称欧氏空间）$R^2$ ．
（1）在笛卡儿坐标系（Cartesian coordinate）中， $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ ．
（2）在极坐标系中，令 $x=r \cos \phi, y=r \sin \phi$ ，则 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \phi^2$ ．
无论用何种坐标系，线元 $\mathrm{d} s^2$ 是不变的．
在狭义相对论中，时空是平直的，称为闵可夫斯基时空，简称闵氏时空．如果选取直角坐标

$$
x^0=c t, x^1=x, x^2=y, x^3=z
$$

则闵氏时空的线元为

$$
\mathrm{d} s^2=\sum_{\mu, \nu} \eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu, \quad \mu, \nu=0,1,2,3
$$

其中的度规 $\eta_{\mu \nu}$ 取如下对角的形式 ${ }^{(1)}$ ：

$$
\eta_{\mu \nu}=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

在本书后面的很多讨论中，我们不加声明地取所谓的自然单位制，令 $c=1$ ．必要时，我们通过量纲分析可以把光速放回物理量中。

在本书中，我们使用爱因斯坦求和规则：当同一个指标出现在关系式或者方程的同一侧两次时，默认对这个指标求和．更准确地说，求和的这两个指标应该一个是上指标，一个是下指标，但对于平直欧氏空间指标求和时，在直角坐标系中人们也允许两个指标都在上或下。由此规则，（1．5）式的线元可简写为

$$
\mathrm{d} s^2=\eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu .
$$

此外我们约定：使用希腊字母标记指标时，指标的取值包括时间方向，如 $\mu=0,1,2,3$ ，其中 $\mu=0$ 代表时间方向；而使用拉丁字母标记指标时，指标取值只包含空间方向，如 $i=1,2,3$ ．

在狭义相对论中，两个惯性系是通过洛伦兹变换而非伽利略变换相联系．如前所述，两个相邻事件点如果以直线相连，则它们的时空间隔为

$$
\Delta s^2=-\Delta t^2+\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2
$$

与惯性系的选择无关，因此在洛伦兹变换下不变．用几何语言，选择惯性系就是选择直角坐标系，不同的惯性系之间的变换相当于不同直角坐标系间的变换。由于时空间隔与坐标系选择无关，我们来看看什么样的坐标变换是允许的．利用上面的平直度规，时空间隔可以写作

$$
\Delta s^2=\eta_{\mu \nu}\left(\Delta x^\mu\right)\left(\Delta x^\nu\right)
$$

如果写成矩阵乘法，时空间隔应该为

$$
\Delta s^2=(\Delta x)^{\mathrm{T}} \cdot \eta \cdot \Delta x,
$$

即 $\Delta x$ 是一个列矢量，$\eta$ 是一个 $4 \times 4$ 矩阵，而 $(\Delta x)^{\mathrm{T}}$ 是一个行矢量，上指标 T 代表矩阵的转置．首先，这个间隔在时空平移 $x^\mu \rightarrow x^{\mu \prime}=x^\mu+a^\mu$（其中 $a^\mu$ 是常数）下不变，该变换相当于时空原点的选择不同．其次，考虑在一个转动下

$$
x^{\mu^{\prime}}=\Lambda^{\mu^{\prime}}{ }_\nu x^\nu,
$$

无穷小位移矢量变换为 $\Delta x^{\mu^{\prime}}=\Lambda^{\mu^{\prime}}{ }_\nu \Delta x^\nu$ ．注意这里的转动矩阵是常数矩阵．为了使时空间隔不变，必须要求

$$
\eta_{\rho \sigma}=\Lambda_\rho^{\mu^{\prime}} \Lambda_\sigma^{\nu^{\prime}} \eta_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}} .
$$

用矩阵语言，上式可紧凑地记为

$$
\Lambda^{\mathrm{T}} \eta \Lambda=\eta
$$

这非常类似于在三维欧氏空间 $R^3$ 中的正交群 $\mathrm{O}(3)$ 满足的关系式

$$
I=R^{\mathrm{T}} I R
$$

其中 $I$ 是一个单位矩阵．
简单地说，一个群是包含单位元的某些元素的集合，这些元素在乘积运算下封闭且每一个元素都有逆．保持时空间隔不变的转动（1．12）称为洛伦兹转动或者齐次洛伦兹变换，它们的集合构成一个群，记作 $\mathrm{O}(1,3)$ ．从（1．12）式中可以发现，转动矩阵的行列式可以是 $\pm 1$ ．

除了上面的平移和洛伦兹转动以外，时空间隔在时间反演 $t \rightarrow-t$ 或者空间反射 $x^i \rightarrow-x^i$ 下也是不变的．利用这个任意性，我们只考虑所谓的＂固有洛伦兹变换＂ （proper Lorentz transformation）

$$
\Lambda_0^0 \geqslant 1, \quad \operatorname{Det}(\Lambda)=1 .
$$

可以证明这些变换的集合构成一个群，记作 $\operatorname{SO}(1,3)$ ，称作固有洛伦兹群，常简称为洛伦兹群．实际上，从前面对洛伦兹转动的定义可知，

$$
\left(\Lambda_0^0\right)^2=1+\sum_i\left(\Lambda_0^i\right)^2,
$$

因此，$\left|\Lambda_0^0\right| \geqslant 1$ ，即 $\Lambda_0^0 \geqslant 1$ 或者 $\Lambda_0^0 \leqslant-1$ ．由于 $\Lambda_0^0=1$ 代表恒等变换，连续性要求 $\Lambda_0^0 \geqslant 1$ ．而另一支 $\Lambda_0^0 \leqslant-1$ 对应着与时间反演相关的变换．同样， $\operatorname{Det}(\Lambda)=1$ 说明与恒等变换相连，由连续性自然地要求 $\operatorname{Det}(\Lambda)=1$ ．物理上，上面的第一个条件意味着不做时间反演，而第二个条件可以保持光锥条件．

固有洛伦兹群中包含以下元素．首先，它包含着通常意义上的洛伦兹变换，即所谓的洛伦兹 boost．这种变换牵涉到时间与空间的转动，对应着不同惯性系间的变换．比如，我们考虑 $t$ 方向与 $x$ 方向间的变换，则转动矩阵为

$$
\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}
\cosh \phi & -\sinh \phi & 0 & 0 \\
-\sinh \phi & \cosh \phi & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

由此得

$$
\begin{aligned}
t^{\prime} & =t \cosh \phi-x \sinh \phi \\
x^{\prime} & =-t \sinh \phi+x \cosh \phi \\
y^{\prime} & =y \\
z^{\prime} & =z
\end{aligned}
$$

用大家更熟悉的语言，这个变换实际上就是通常的洛伦兹变换

$$
\begin{aligned}
t^{\prime} & =\gamma(t-v x), \\
x^{\prime} & =\gamma(x-v t), \\
y^{\prime} & =y, \\
z^{\prime} & =z,
\end{aligned}
$$

其中

$$
v=\tanh \phi, \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}
$$

$\phi$ 称为快度（rapidity）参数，$\gamma$ 称为洛伦兹因子。如果令 $\phi \rightarrow-\phi$ ，则我们得到了上述洛伦兹变换的逆变换，也就是说让速度反向。如图1．3所示，对于参考系 $S$ 中的观测者而言，另一个参考系 $S^{\prime}$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴正向运动，则上面的关系告诉我们坐标是如何

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 联系的．反过来，对于参考系 $S^{\prime}$ 中的观测者，参考系 $S$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴负向运动，则坐标间的关系仍然由洛伦兹变换给出，只不过速度的符号相反，即

$$
\begin{aligned}
& t=\gamma\left(t^{\prime}+v x^{\prime}\right), \\
& x=\gamma\left(x^{\prime}+v t^{\prime}\right), \\
& y=y^{\prime}, \\
& z=z^{\prime},
\end{aligned}
$$

这时的洛伦兹变换矩阵记作 $\Lambda_{\mu^{\prime}}{ }^\nu$ ，是原来的洛伦兹变换的逆：

$$
\Lambda_\nu^{\mu^{\prime}} \Lambda_{\mu^{\prime}}^\sigma=\delta_\nu^\sigma
$$

$\delta_\nu^\sigma$ 是克罗内克（Kronecker）$\delta$ 函数，定义为

$$
\delta_\nu^\sigma= \begin{cases}1, & \text { 如果 } \sigma=\nu, \\ 0, & \text { 如果 } \sigma \neq \nu .\end{cases}
$$

此外，固有洛伦兹群中还包含只有空间转动的子群 $\mathrm{SO}(3)$ ，来自不同空间方向间的变换．因此，固有洛伦兹群共有 6 个生成元，即三个洛伦兹变换，来自 $(t, x),(t, y),(t, z)$间的变换，以及三个空间转动，来自 $(x, y),(x, z),(y, z)$ 间的变换，与三个欧拉（Euler）角一一对应 ${ }^{(2)}$ 。实际上，如果忽略时间方向的特殊性， $\operatorname{SO}(1,3)$ 群与 $\operatorname{SO}(4)$ 群的生成元数目相同．一般而言，对于一个 $\mathrm{SO}(n)$ 群，其生成元的数目为 $n(n-1) / 2$ 。

洛伦兹变换间一般是不可对易的．换句话说，两个洛伦兹变换的作用顺序不同，效果也不同．这与三维欧氏空间中的转动类似．用数学的语言，这意味着洛伦兹群是非阿贝尔的（non－Abelian）．此外，洛伦兹群加上时空平移构成一个新的群，称为庞加莱 （Poincaré）群．对洛伦兹群的更多讨论参见本章末的附录．

对于一个沿空间任意方向运动导致的洛伦兹变换，变换矩阵为

$$
\begin{aligned}
\Lambda_0^{0^{\prime}} & =\gamma \\
\Lambda_i^{0^{\prime}} & =\Lambda_0^{i^{\prime}}=-\gamma v^i, \\
\Lambda_j^{i^{\prime}} & =\Lambda_i^{j^{\prime}}=(\gamma-1) \frac{v^i v^j}{|\boldsymbol{v}|^2}+\delta^{i j},
\end{aligned}
$$

其中的洛伦兹因子 $\gamma=1 / \sqrt{1-|\boldsymbol{v}|^2}$ ．这个变换的逆矩阵可以通过使 $\boldsymbol{v} \rightarrow-\boldsymbol{v}$ 来得到．
1．1．2 光锥与因果性
利用几何语言可以很容易理解狭义相对论中的各种物理效应．首先我们来看狭义相对论中的同时性丢失。在图1．4中，两个事件 $A$ 和 $B$ 在参考系 $(t, x)$ 中是同时的，由一条垂直于 $t$ 轴的直线相连，但在参考系 $\left(t^{\prime}, x^{\prime}\right)$ 中这两个事件不再是同时的。为简单起见，我们只画出了 $(t, x)$ 两个方向，并假设洛伦兹变换正好在这两个方向上，即由 $(t, x) \rightarrow\left(t^{\prime}, x^{\prime}\right)$ ．此外，我们也可以从图 1.4 中看到，在不同的惯性系中，距离和时间间隔是不同的．仔细的讨论将发现存在时间延长效应和尺缩效应．然而，在两个惯性系中，光速总是一样的：

$$
x= \pm t \rightarrow x^{\prime}= \pm t^{\prime}
$$

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 由于类光曲线在不同惯性系中都是一样的，我们可以利用它们来定义光锥．简单地说，在某一事件点处的光锥是由所有的穿过该事件点的光线形成的曲面．利用对称性选择球坐标，我们只须考虑 $(t, r)$ 两个方向．假定两个事件点间直线传递信号，即 $\Delta r=v \Delta t$ ，其中 $v$ 是传播速度．由线元 $\Delta s^2=-\Delta t^2+\Delta r^2$ 可知，这两个事件是：
（1）类空相连的，如果 $\Delta s^2>0$ ．这意味着 $v>1$ ，即信息传播速度需要超过光速，这是不可能的，所以这两个事件间没有因果关联．
（2）类时相连的，如果 $\Delta s^2<0$ ．这意味着 $v<1$ ．
（3）类光相连的，或者称为间隔是零的（null），如果 $\Delta s^2=0$ ．这意味着 $v=1$ ，即为光速．

因此，光锥定义了事件间的因果关系．如果两个时空点是类空相连的，那么互相之间没有因果关系．而如果两个时空点是类时相连的，则存在因果关联．如图 1.5 所示，对于观测者而言，有未来光锥和过去光锥，在其中的事件点都和他有因果关联，而在光锥以外的事件点和他没有因果关联。

一般来说，简单比较两个事件的先后是没有意义的．如果两个事件通过类空曲线相联系，则在不同惯性系中这两个事件的先后会有差别．这与同时性的丢失是同样的道理．但如果这两个事件是通过类时曲线相连，则事件的先后，即因果性是确定的，并不会随着惯性系的改变而改变．这是因为光锥的内外是时空几何的性质，与惯性系选择无关．在光锥内部，我们可以比较时间上的先后，而在光锥外面则不行．

一个粒子在时空中的运动轨迹称为世界线，在世界线上每一点的切矢量代表着该

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 时刻粒子运动的速度．对于一个有质量粒子而言，为了保持因果性，其世界线必须时刻在其光锥中．换句话说，其世界线上每点的切矢量都在该点的光锥中．这样的曲线是类时曲线．类时曲线定义为曲线上任一点的切矢量都是类时矢量．如果我们用 $x^\mu(\lambda)$来刻画曲线，其在某点 $\lambda_0$ 的切矢量为

$$
V^\mu\left(\lambda=\lambda_0\right)=\left.\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}\right|_{\lambda=\lambda_0}
$$

则类时曲线意味着在曲线的任一点上都有

$$
\eta_{\mu \nu} V^\mu V^\nu<0
$$

而对于无质量粒子，其世界线上的任意两个事件的时空间隔都是零，即它总是以光速运动．这样的世界线称为零曲线或者类光曲线，在其上的切矢量满足

$$
\eta_{\mu \nu} V^\mu V^\nu=0
$$

此外，在时空中还存在着类空曲线，它定义为切矢量总是类空矢量的曲线，即

$$
\eta_{\mu \nu} V^\mu V^\nu>0
$$

如图1．6所示，曲线1代表有质量粒子的世界线，而曲线 2 是无质量粒子的世界线。
上面对因果性的讨论看起来是基于两个事件点通过直线相连，然而这只是为了讨论方便起见，实际上在闵氏时空中如果两个事件是有因果性的，则无论用何种连续曲

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 1．1．3 固有时
在学习狭义相对论中的运动学之前，我们先回顾一下通常矢量的定义．在三维欧氏空间中的一个矢量 $\boldsymbol{a}$ 定义为从起点到终点的线段，具有长度和方向．同样在闵氏时空 $R^{1,3}$ 中的一个 4－矢量 $\widehat{a}$ 也是从一个事件点到另一个事件点．显然，无论是矢量还是4－矢量，它们都与坐标的选择无关．但通常为了描述方便，我们可以选定一个坐标系，定义沿不同坐标轴的基矢

$$
\widehat{e}_t, \widehat{e}_x, \widehat{e}_y, \widehat{e}_z
$$

在此坐标系中，4－矢量 $\hat{a}$ 可以通过其在不同坐标轴上的投影来刻画，即 $\hat{a}=a^\mu \widehat{e}_\mu, \mu= 0,1,2,3$ ，其中 $a^\mu$ 称为 4－矢量的分量。再次强调：基矢 $\widehat{e}_\mu$ 依赖于坐标系（惯性系），而 $\widehat{a}$不依赖．

通常三维矢量的运算，除了叉乘以外，都可以在 4－矢量上定义．我们常用的标量积满足
（1）$\widehat{a} \cdot \widehat{b}=\widehat{b} \cdot \widehat{a}$ ，
（2）$\widehat{a} \cdot(\widehat{b}+\widehat{c})=\widehat{a} \cdot \widehat{b}+\widehat{a} \cdot \widehat{c}$ ，
（3）$(c \widehat{a}) \cdot \widehat{b}=c(\widehat{a} \cdot \widehat{b})$ ，这里 $c$ 是一个常数．
在某坐标系下写成分量的形式，有
 $$
\widehat{a} \cdot \widehat{b}=\left(a^\mu \widehat{e}_\mu\right) \cdot\left(b^\nu \widehat{e}_\nu\right)=a^\mu b^\nu\left(\widehat{e}_\mu \cdot \widehat{e}_\nu^{\prime}\right)
$$

定义在此坐标系下的度规为

$$
\eta_{\mu \nu} \equiv \widehat{e}_\mu \cdot \widehat{e}_\nu,
$$

则

$$
\widehat{a} \cdot \widehat{b}=\eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu
$$

由此可见，两个矢量的标量积需要通过度规张量来定义．正如我们所熟知的，三维中两个矢量的标量积只依赖于矢量的大小和方向，与坐标系的选择无关．有时候，我们也用记号 $<\widehat{a}, \widehat{b}>$ 来表示矢量 $\widehat{a}$ 和 $\widehat{b}$ 的标量积．

例如，对于前面定义的时空间隔，我们可以把它看作两个无穷小位移4－矢量 $\Delta \widehat{x}$的标量积：$(\Delta s)^2=\Delta \widehat{x} \cdot \Delta \widehat{x}$ ，即 $\mathrm{d} s^2=\eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu$ ．

与三维情形类似，一旦定义了 4－矢量的标量积，我们就可以讨论与矢量相关的一些概念：

（1）矢量的大小．这由矢量的＂模长＂平方确定，$\|\widehat{a}\|^2 \equiv \widehat{a} \cdot \widehat{a}$ ．
（2）在四维闵氏时空中，矢量的大小还可以刻画 4－矢量的本性：模长平方如果为正，4－矢量是类空的；模长平方如果为负，4－矢量是类时的；模长平方如果为零，4－矢量是类光的，或称为零的（null）．
（3）两个矢量 $\widehat{a}, \widehat{b}$ 称为正交的，如果 $\widehat{a} \cdot \widehat{b}=0$ ．因此，零矢量与其自身正交．
在测量中，尺子是测量类空距离的工具，而时钟是测量类时＂距离＂的工具。一个观测者携带时钟沿着世界线运动，时钟测得的＂距离＂就是观测者的固有时（proper time）．通常在讨论有质量粒子的运动时，假想有一个时钟伴随着粒子，从而可以测到这个粒子的固有时．假定两个事件间通过某类时世界线相连，两个事件点间的固有时就是一个观测者沿着世界线从一个事件点出发到达另一个事件点所花的时间．

为了更好地理解固有时，我们需要引进瞬时静止参考系（instantaneous rest frame，简记为 IRF）的概念．对于粒子而言，它的运动不见得一定是匀速直线运动，而可以是时空中任意一条类时曲线．通常由于粒子的速度随时变化，我们无法对这个粒子定义一个整体的静止参考系．然而对于粒子而言，在某一个时刻或者瞬间，它的速度可以看作常数，因此可以定义一个瞬时静止参考系，也称为共动参考系（comoving frame）．瞬时静止参考系中粒子总是静止的，时间的流逝就由固有时来给出．

考虑时空中的一条曲线，这条曲线由一个参数 $\lambda$ 来刻画．在坐标系 $\left\{x^\mu\right\}$ 中，这条曲线或者路径由函数 $x^\mu(\lambda)$ 来描述．对无穷小位矢而言，

$$
\mathrm{d} x^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \mathrm{~d} \lambda
$$

因此，由一条类空曲线连接的两点 $A$ 和 $B$ 的距离为

$$
\Delta s=\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{\eta_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}} \mathrm{~d} \lambda
$$

而由类时曲线连接的两点间的固有时为

$$
\Delta \tau=\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \sqrt{-\eta_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}} \mathrm{~d} \lambda
$$

这里 $\lambda_A, \lambda_B$ 分别是事件点 $A, B$ 在世界线上对应的参数．显然，通过世界线相连的两个事件点的时空间隔无论类空还是类时都与坐标系的选择无关，也与刻画世界线的参数 $\lambda$ 的选择无关．也就是说在变换 $\lambda \rightarrow f(\lambda)$ 下（其中 $f(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的任意函数），时空间隔是不变的．这个不变性称为世界线的重参数化不变性（reparametrization invariance）．它来自无论是事件点，还是世界线，都独立于坐标系而存在．

我们可以一般性地讨论时间延长效应和尺缩效应．这里我们讨论时间延长效应．这要求我们比较固有时和坐标时的关系．不管取什么坐标系，总有

$$
\begin{aligned}
\tau_{A B}=\int_A^B \mathrm{~d} \tau & =\int_A^B\left[\mathrm{~d} t^2-\mathrm{d} r^2 / c^2\right]^{1 / 2} \\
& =\int_{t_A}^{t_B} \mathrm{~d} t^{\prime}\left[1-v^2\left(t^{\prime}\right) / c^2\right]^{1 / 2}
\end{aligned}
$$

其中 $v$ 是坐标系 $(t, r)$ 中粒子的速度（这里为直观，明显写出了光速 $c$ ），显然，

$$
\tau_{A B}<t_B-t_A .
$$
因此，除非在与粒子共动的参考系中，我们发现坐标时总是大于固有时．这在粒子物理实验中有广泛的应用．也就是说，在实验室中看到的粒子寿命总比它的固有寿命要长．这个事实每天都在宇宙线和加速器实验中通过测量高速不稳定粒子的寿命得到验证．

对于某种不稳定粒子，其固有寿命 $\tau_{\mathrm{p}}$ 是其内禀（intrinsic）性质，可以通过正确的理论计算得到．考虑大量此种粒子的集合，经过时间 $t$ 以后，其中一部分衰变掉了，衰变的粒子数占总粒子数的比例是 $1-\exp \left(-t / \tau_{\mathrm{p}}\right)$ ．如果这种粒子相对于实验室惯性系以速度 $v$ 运动，则实验室中测得的寿命为

$$
\tau_{\mathrm{p}}(\gamma)=\gamma \tau_{\mathrm{p}}
$$

其中 $\gamma=\left(1-v^2 / c^2\right)^{-1 / 2}$ 是洛伦兹因子．下面我们以 $\mu$ 子（muon）为例来说明这个现象．

例 $1.2 \mu$ 子寿命实验．
$\mu$ 子的主要衰变道是衰变到电子和中微子：

$$
\mu^{-} \rightarrow v_\mu+\mathrm{e}^{-}+\bar{v}_{\mathrm{e}}
$$

其固有寿命为 $\tau_\mu=2.2 \mu \mathrm{~s}$ 。20世纪70年代末，在欧洲核子研究中心（CERN）的对撞机上产生了大量的高速 $\mu$ 子，其速度接近光速，$v / c \approx 0.9994$ ，相应的洛伦兹因子为 $\gamma \approx 29.3$ ．探测器中测得的 $\mu$ 子寿命为

$$
\tau_\mu^{+}=(64.419 \pm 0.058) \mu \mathrm{s}, \quad \tau_\mu^{-}=(64.368 \pm 0.029) \mu \mathrm{s}
$$

对于反 $\mu$ 子 $\left(\mu^{+}\right)$，

$$
\left[\tau_\mu^{+}(1)-\tau_\mu^{+}(\gamma) / \gamma\right] / \tau_\mu^{+}(1)=(2 \pm 9) \times 10^{-4}
$$

这与狭义相对论的预言高度一致．
在结束本节之前，我们讨论一下所谓的＂双生子佯谬＂．这个佯谬的简单表述如下：有一对孪生子 $A$ 和 $B$ 。假设 $A$ 一直待在家里不动，而 $B$ 乘坐飞船出外旅行，如图 1.7所示．假定他们的饮食、日常生活都完全一样，只须考虑他们度过的日子．他们在离开时对好表，经过若干年后他们重逢，谁更年轻？实际上这只需要比较他们相逢时，各自的表走了多少时间即可，也就是说比较他们各自的固有时．由于这时我们考虑的是类时曲线，两个事件点间曲线比直线的＂长度＂更短．这是因为我们考虑的是时间，而非空间距离，所以与通常欧氏空间中＂两点之间直线最短＂相反，这里是＂两点之间直线时间间隔最长＂．待在家里不动的 $A$ ，其世界线是一条沿时间轴的直线，因此相逢时他度过的岁月更多．简而言之，＂运动使人年轻＂．

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