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狭义相对论的几何诠释

在本章中，我们将用几何语言重新对狭义相对论进行回顾和讨论．我们首先对狭义相对论中的时空观进行分析，引进洛伦兹－菲茨杰拉德（Lorentz－FitzGerald）变换，讨论光锥，有质量粒子、无质量粒子的运动以及一些相关的物理效应，包括尺缩效应、时间延长效应、爱因斯坦（Einstein）质能关系、多普勒（Doppler）效应、光行差效应等。此外，我们将系统讨论狭义相对论中的运动学和动力学，并定义观测者和观测．
1.1 狭义相对论的几何诠释

狭义相对论有不少与我们的直觉相抵触的地方，如果我们简单地利用日常生活中的经验，将很难理解狭义相对论中的物理效应，如尺缩效应、时间延长效应等，并由此产生各种各样的佯谬．这种直觉实际上根植于我们对时间和空间的感觉．我们很容易接受空间具有三个维度，也较容易接受伽利略（Galileo）所提出的相对性原理，即对不同的惯性系而言运动是相对的．在这个直觉背后，很重要的一条假定是：时间是绝对的，即时间具有绝对性的意义，它的流逝对于所有惯性系都是一样的．利用不同的时间我们可以对时空切片，如图1．1所示．这个时间与空间的不平等性贯穿于狭义相对论之前的牛顿（Newton）力学体系中．

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 牛顿力学体系中的伽利略相对性原理，在物理上意味着运动规律与惯性参考系的选择无关。所谓惯性参考系，或者惯性系，指的是一个特别的参考系，一个不受任何外力的物体在其中将做匀速直线运动，即满足牛顿力学第一定律．在牛顿力学和狭义相对论中，总假设有惯性系存在．严格地说，由于引力无处不在，惯性系是不存在的．然而，在很多情况下，可以不严格地在操作意义上认定惯性系存在，比如地球惯性系．如果存在一个基本惯性系，相对于此惯性系做匀速直线运动的另一参考系也是一个惯性系．伽利略相对性原理可以如下表述。

伽利略相对性原理 所有的运动规律在不同的惯性系中具有相同的形式。
如果一个观测者相对于基本惯性系做匀速直线运动，则这个观测者就定义了另一个惯性系，这个观测者称为惯性观测者。如果这个观测者的运动比较复杂，运动速度相对于基础惯性系并非简单的一个常数，则我们无法定义观测者的整体惯性参考系，但仍然可以定义瞬时惯性参考系，这是因为在每一个瞬间，观测者的速度相对于基础惯性系仍然是一个常数。

在伽利略－牛顿力学体系中，时间具有绝对的意义，因此从几何上看，不同的惯性系间通过伽利略变换相联系：

$$
\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=H\left(\begin{array}{c}
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
z^{\prime}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
a+u t \\
b+v t \\
c+w t
\end{array}\right),
$$

其中，$H$ 是个常值 $\mathrm{SO}(3)$ 矩阵，代表坐标系空间方向选择的任意性，$(a, b, c)$ 也是常数，代表坐标原点的选择，而常数 $(u, v, w)$ 代表速度的不同分量，表明不同的坐标系间可以差一个常速度．从这个变换中可以很容易看出，在不同坐标系中空间间隔和时间间隔

$$
\begin{aligned}
\Delta r= & \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2} \\
& \Delta t
\end{aligned}
$$

分别是不变的．由于时间的绝对性，时间间隔的不变性是显而易见的．对于空间间隔而言，原点的平移不会改变间隔，而三维空间转动本身也不会改变间隔，如图 1.2 所示。

伽利略相对性原理告诉我们，如果不同观测者之间只相差一个常速度，他们得到的物理规律应该具有相同的形式．实际上，在伽利略－牛顿理论中，同一客体的运动状态，比如速度，对于不同的观测者是不同的．重要的是物理规律对于不同的观测者是相同的，也就是说，物理规律在伽利略变换下应该是不变的．牛顿的三大力学定律在伽利略变换下不变，因此在所有的惯性系中都具有相同的形式．例如牛顿力学第二定律 $\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}$ 对所有的观测者都是一样的，尽管粒子的运动速度对不同的观测者而言有所

![图片](/uploads/2025-11/e83170.jpg)
 
 不同，加速度却是一样的．更一般地，伽利略相对性原理认为不止是牛顿的力学规律对不同的惯性系不变，其他物理规律也应该如此．

19 世纪末，随着麦克斯韦（Maxwell）电磁理论的建立，人们很快认识到麦克斯韦方程组在伽利略变换下并非不变．也就是说，伽利略相对性原理与麦克斯韦理论无法相容．人们提出各种办法来解决这个问题，其中包括历史上曾经受到大家重视的以太假定等。1905年，年轻的爱因斯坦提出了狭义相对论，漂亮地解决了这个问题．爱因斯坦的解决方案中，除了相对性原理以外，还提出了所谓的光速不变原理．

光速不变原理 光在真空中的速度在不同惯性系中保持不变。
光速不变原理通过迈克耳孙－莫雷（Michelson－Morley）实验得到了验证。换句话说，如果我们坚持认为麦克斯韦方程组在不同惯性系下都取相同的形式，因此光的传播速度是不变的，这样我们可以很自然地发现洛伦兹变换（Lorentz transformation），从而建立狭义相对论．

简而言之，爱因斯坦的狭义相对论中仍然坚持相对性原理，即要求物理规律在不同的惯性系之间应该取相同的形式，但是时间的超然地位和绝对意义都失去了．在一个惯性系中两个事件的同时性在另一个惯性系中丢失了．在狭义相对论中，时空观发生了革命性的变化，牛顿力学中的时空观被颠覆，时间和空间是平等的．

1908年，闵可夫斯基（Minkowski）指出，可以利用几何语言很方便地讨论狭义相对论．在这个框架中，很容易建立时间与空间的平等地位，狭义相对论中的时空观得以优美地呈现。更重要的是，几何语言在广义相对论的建立中得到进一步发展并发挥了根本性的作用．下面我们通过几何语言重新梳理爱因斯坦的狭义相对论．对于狭义相对论的深人介绍，可参见文献 $[3,7,25]$ ．

1．1．1 洛伦兹变换
在狭义相对论中时间和空间是平等的，需要一个统一的描述．在这个描述中，我们把时间和空间统称为时空．在一个时空中我们需要定义一些新的概念，譬如事件 （event）和世界线（worldline）．所谓事件，指的是时间和空间中的一个点，在某坐标系下用 $(t, x, y, z)$ 来刻画．所有事件的集合构成了我们的时空．世界线指的是一个点粒子在时空中的轨迹．然而，需要强调的是事件本身与坐标系选择无关，在不同坐标系下事件的坐标是不同的，而两个事件间隔有赖于时空的几何以及这两个事件是如何通过曲线相连的，与坐标系的选择无关．

描述几何的基础是通过微分和积分运算来定义两点间的距离．对于相隔无穷小的两个点，可以认为它们是直线相连，定义线元

$$
\mathrm{d} s^2=\sum_{i, j} g_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j
$$

其中 $i, j$ 取决于时空的维度，$g_{i j}$ 称为度规，其具体形式依赖于坐标的选择．度规相当于我们取定了测量用的尺子和时钟，用来测量两点的长度或者时间间隔．

例1．1 二维欧几里得空间（Euclidean space，简称欧氏空间）$R^2$ ．
（1）在笛卡儿坐标系（Cartesian coordinate）中， $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ ．
（2）在极坐标系中，令 $x=r \cos \phi, y=r \sin \phi$ ，则 $\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \phi^2$ ．
无论用何种坐标系，线元 $\mathrm{d} s^2$ 是不变的．
在狭义相对论中，时空是平直的，称为闵可夫斯基时空，简称闵氏时空．如果选取直角坐标

$$
x^0=c t, x^1=x, x^2=y, x^3=z
$$

则闵氏时空的线元为

$$
\mathrm{d} s^2=\sum_{\mu, \nu} \eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu, \quad \mu, \nu=0,1,2,3
$$

其中的度规 $\eta_{\mu \nu}$ 取如下对角的形式 ${ }^{(1)}$ ：

$$
\eta_{\mu \nu}=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

在本书后面的很多讨论中，我们不加声明地取所谓的自然单位制，令 $c=1$ ．必要时，我们通过量纲分析可以把光速放回物理量中。

在本书中，我们使用爱因斯坦求和规则：当同一个指标出现在关系式或者方程的同一侧两次时，默认对这个指标求和．更准确地说，求和的这两个指标应该一个是上指标，一个是下指标，但对于平直欧氏空间指标求和时，在直角坐标系中人们也允许两个指标都在上或下。由此规则，（1．5）式的线元可简写为

$$
\mathrm{d} s^2=\eta_{\mu \nu} \mathrm{d} x^\mu \mathrm{d} x^\nu .
$$

此外我们约定：使用希腊字母标记指标时，指标的取值包括时间方向，如 $\mu=0,1,2,3$ ，其中 $\mu=0$ 代表时间方向；而使用拉丁字母标记指标时，指标取值只包含空间方向，如 $i=1,2,3$ ．

在狭义相对论中，两个惯性系是通过洛伦兹变换而非伽利略变换相联系．如前所述，两个相邻事件点如果以直线相连，则它们的时空间隔为

$$
\Delta s^2=-\Delta t^2+\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2
$$

与惯性系的选择无关，因此在洛伦兹变换下不变．用几何语言，选择惯性系就是选择直角坐标系，不同的惯性系之间的变换相当于不同直角坐标系间的变换。由于时空间隔与坐标系选择无关，我们来看看什么样的坐标变换是允许的．利用上面的平直度规，时空间隔可以写作

$$
\Delta s^2=\eta_{\mu \nu}\left(\Delta x^\mu\right)\left(\Delta x^\nu\right)
$$

如果写成矩阵乘法，时空间隔应该为

$$
\Delta s^2=(\Delta x)^{\mathrm{T}} \cdot \eta \cdot \Delta x

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