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无质量粒子

1．2．2 无质量粒子
由于质量为零，无质量粒子以光速运动，其固有时总为零，因此无法以固有时作为参数来刻画粒子的世界线．这时，由于并不存在一个优先的选择，参数的选择有较大的任意性．比如，对于一个沿 $x$ 方向以光速运动的粒子，其世界线满足

$$
x=t,
$$

一个参数选择是

$$
x^\mu=b^\mu \lambda, \quad b^\mu=(1,1,0,0)
$$

其中 $\lambda$ 是实数．当然还有其他很多参数化方式，只要满足 $x=t$ 即可，譬如

$$
x^\mu=b^\mu \lambda^3
$$

无论何种参数化方式，粒子的 $4-$ 速度总满足 $\widehat{u} \cdot \widehat{u}=0$ ，其中 $u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}$ 。实际上，即使有很大的自由度，我们也希望参数化尽量方便使用．如果参数 $\lambda$ 满足 $\frac{\mathrm{d} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \lambda}=0$ ，则称其为 仿射参数．仿射参数化是一种方便的参数化方式．上面两种参数化方式中，第一种是仿射参数化，而第二种不是．

对无质量粒子，如光子，其能量与波的频率成正比，

$$
E=\hbar \omega,
$$

而粒子的动量 4－矢量为

$$
p^\mu=(E, \boldsymbol{P})=(\hbar \omega, \hbar \boldsymbol{k})=\hbar k^\mu,
$$

其中 $k^\mu$ 称为波 4－矢量．显然

$$
\widehat{p} \cdot \widehat{p}=\widehat{k} \cdot \widehat{k}=0
$$

动量 4－矢量和波 4－矢量都与光子的世界线相切：

$$
\widehat{p}, \widehat{k} \propto \widehat{u}
$$

在仿射参数化中，$\frac{\mathrm{d} \widehat{p}}{\mathrm{~d} \lambda}=0$ ．
下面我们讨论几个与光有关的相对论效应，更多的关于相对论光学的介绍将在下一节中给出．

例 1.3 流体对光的拖曳效应（drag effect）．
在狭义相对论建立之前，基于以太的理论在讨论流体中光的传播问题时碰到了很大的麻烦．考虑一个在长的直管里流动的透明液体，光在其中的传播受到了拖曳． 1851年，菲佐（Fizeau）的实验确认了这一事实．然而，按照以太理论，光的传播媒介是以太，就像声波的传播媒介是空气一样，因此如果光被流体拖曳那就意味着以太被流体拖曳。实验表明，如果存在以太被拖曳的效应，那只是部分地被拖曳。如果光在静止液体中的传播速度是 $u_0$ ，液体相对于管道或者实验室的运动速度是 $v$ ，则光相对于实验室的运动速度是

$$
u=u_0+\left(1-1 / n^2\right) v
$$

其中 $n=c / u_0$ 是液体的折射系数（本例中明显写出了光速 $c$ ）．这个事实很容易通过狭义相对论中的速度叠加原理得到解释：光相对于液体的速度是 $u_0$ ，而液体相对于实验室参考系的速度是 $v$ ，则光相对于实验室参考系的速度为

$$
u=\frac{u_0+v}{1+u_0 v / c^2} \approx\left(u_0+v\right)\left(1-\frac{u_0 v}{c^2}\right) \approx u_0+v\left(1-\frac{u_0^2}{c^2}\right)=u_0+\left(1-1 / n^2\right) v
$$

其中我们忽略了 $v^2 / c^2$ 的项．爱因斯坦在1905年给出了狭义相对论中的速度叠加公式，两年后劳厄（Laue）利用这个公式漂亮地解释了光在流体中的拖曳效应。
例1．4 多普勒频移。
下面我们讨论多普勒频移。如图1．9所示，考虑一个光源，在光源所在的参考系，假定光子沿所有的方向以频率 $\omega$ 发射．假设接收器相对于光源在 $x$ 方向以速度 $v$ 运动．$v>0$ 代表源和接收器相向运动，而 $v<0$ 代表背向运动．如果光子发射时是沿着与 $x$ 轴成 $\alpha$ 角的方向，则接收器接收到的光子与 $x^{\prime}$ 轴成 $\alpha^{\prime}$ 角。假定在观测者静止的参考系 $S^{\prime}$ 中，观测者观测到的光子具有波 4 －矢量

$$
k^{\prime \mu}=\frac{2 \pi}{\lambda^{\prime}}\left(1, \cos \alpha^{\prime}, \sin \alpha^{\prime}, 0\right)
$$

光子在闵氏时空中是以直线运动的，其 4 －动量 $\widehat{k}$ 是一个常矢量，沿着其世界线保持不变．换句话说，$

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