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无质量粒子

1．2．2 无质量粒子
由于质量为零，无质量粒子以光速运动，其固有时总为零，因此无法以固有时作为参数来刻画粒子的世界线．这时，由于并不存在一个优先的选择，参数的选择有较大的任意性．比如，对于一个沿 $x$ 方向以光速运动的粒子，其世界线满足

$$
x=t,
$$

一个参数选择是

$$
x^\mu=b^\mu \lambda, \quad b^\mu=(1,1,0,0)
$$

其中 $\lambda$ 是实数．当然还有其他很多参数化方式，只要满足 $x=t$ 即可，譬如

$$
x^\mu=b^\mu \lambda^3
$$

无论何种参数化方式，粒子的 $4-$ 速度总满足 $\widehat{u} \cdot \widehat{u}=0$ ，其中 $u^\mu=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}$ 。实际上，即使有很大的自由度，我们也希望参数化尽量方便使用．如果参数 $\lambda$ 满足 $\frac{\mathrm{d} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \lambda}=0$ ，则称其为 仿射参数．仿射参数化是一种方便的参数化方式．上面两种参数化方式中，第一种是仿射参数化，而第二种不是．

对无质量粒子，如光子，其能量与波的频率成正比，

$$
E=\hbar \omega,
$$

而粒子的动量 4－矢量为

$$
p^\mu=(E, \boldsymbol{P})=(\hbar \omega, \hbar \boldsymbol{k})=\hbar k^\mu,
$$

其中 $k^\mu$ 称为波 4－矢量．显然

$$
\widehat{p} \cdot \widehat{p}=\widehat{k} \cdot \widehat{k}=0
$$

动量 4－矢量和波 4－矢量都与光子的世界线相切：

$$
\widehat{p}, \widehat{k} \propto \widehat{u}
$$

在仿射参数化中，$\frac{\mathrm{d} \widehat{p}}{\mathrm{~d} \lambda}=0$ ．
下面我们讨论几个与光有关的相对论效应，更多的关于相对论光学的介绍将在下一节中给出．

例 1.3 流体对光的拖曳效应（drag effect）．
在狭义相对论建立之前，基于以太的理论在讨论流体中光的传播问题时碰到了很大的麻烦．考虑一个在长的直管里流动的透明液体，光在其中的传播受到了拖曳． 1851年，菲佐（Fizeau）的实验确认了这一事实．然而，按照以太理论，光的传播媒介是以太，就像声波的传播媒介是空气一样，因此如果光被流体拖曳那就意味着以太被流体拖曳。实验表明，如果存在以太被拖曳的效应，那只是部分地被拖曳。如果光在静止液体中的传播速度是 $u_0$ ，液体相对于管道或者实验室的运动速度是 $v$ ，则光相对于实验室的运动速度是

$$
u=u_0+\left(1-1 / n^2\right) v
$$

其中 $n=c / u_0$ 是液体的折射系数（本例中明显写出了光速 $c$ ）．这个事实很容易通过狭义相对论中的速度叠加原理得到解释：光相对于液体的速度是 $u_0$ ，而液体相对于实验室参考系的速度是 $v$ ，则光相对于实验室参考系的速度为

$$
u=\frac{u_0+v}{1+u_0 v / c^2} \approx\left(u_0+v\right)\left(1-\frac{u_0 v}{c^2}\right) \approx u_0+v\left(1-\frac{u_0^2}{c^2}\right)=u_0+\left(1-1 / n^2\right) v
$$

其中我们忽略了 $v^2 / c^2$ 的项．爱因斯坦在1905年给出了狭义相对论中的速度叠加公式，两年后劳厄（Laue）利用这个公式漂亮地解释了光在流体中的拖曳效应。
例1．4 多普勒频移。
下面我们讨论多普勒频移。如图1．9所示，考虑一个光源，在光源所在的参考系，假定光子沿所有的方向以频率 $\omega$ 发射．假设接收器相对于光源在 $x$ 方向以速度 $v$ 运动．$v>0$ 代表源和接收器相向运动，而 $v<0$ 代表背向运动．如果光子发射时是沿着与 $x$ 轴成 $\alpha$ 角的方向，则接收器接收到的光子与 $x^{\prime}$ 轴成 $\alpha^{\prime}$ 角。假定在观测者静止的参考系 $S^{\prime}$ 中，观测者观测到的光子具有波 4 －矢量

$$
k^{\prime \mu}=\frac{2 \pi}{\lambda^{\prime}}\left(1, \cos \alpha^{\prime}, \sin \alpha^{\prime}, 0\right)
$$

光子在闵氏时空中是以直线运动的，其 4 －动量 $\widehat{k}$ 是一个常矢量，沿着其世界线保持不变．换句话说，$\widehat{k}$ 在观测者接收到光子的事件点和在光源发射光子的事件点是一样的．对光源所在的坐标系而言，发射的光子具有 $4-$ 动量 $k^\mu=\widehat{k} \cdot \widehat{e}^\mu$ ，其中 $\widehat{e}^\mu$ 是光源的局域实验室．因此

$$
k^\mu=\frac{2 \pi}{\lambda}(1, \cos \alpha, \sin \alpha, 0)=\Lambda_\nu^\mu k^{\prime \nu},
$$

其中 $\lambda$ 是光子的固有波长，而 $\lambda^{\prime}$ 是观测到的波长，而

$$
\Lambda_\nu^\mu=\left(\begin{array}{cccc}
\gamma & -v \gamma & 0 & 0 \\
-v \gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
$$

由此我们得到

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda} & =\gamma\left(1-v \cos \alpha^{\prime}\right), \\
\tan \alpha & =\frac{\tan \alpha^{\prime}}{\gamma\left(1-v \sec \alpha^{\prime}\right)} .
\end{aligned}\\
&\text {（1．80）式实际上就是多普勒效应的公式，换作频率会更加清楚：}\\
&\nu^{\prime}=\frac{\nu}{\gamma\left(1-v \cos \alpha^{\prime}\right)} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-11/190622.jpg)
 
 我们先来看接收到的光子频率：

$$
\nu^{\prime}=\nu \frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v \cos \alpha^{\prime}}
$$

如果 $v \ll 1$ ，则有

$$
\nu^{\prime} \approx \nu\left(1+v \cos \alpha^{\prime}\right)
$$

由于 $\left|\alpha^{\prime}\right| \leqslant \pi / 2$ ，因此
（1）如果 $v>0$ ，相向运动时接收器接收到的光线频率变高，即发生蓝移，$\Delta \nu= v \nu \cos \alpha^{\prime}$ ，
（2）如果 $v<0$ ，背向运动时接收到的光线频率变低，即发生红移，$\Delta \nu=-|v| \nu \cos \alpha^{\prime}$ ，
（3）如果 $\alpha^{\prime}=\frac{\pi}{2}$ ，接收到的光线频率变低，仍是红移，$\Delta \nu \propto v^2$ ，此时，它是横向多普勒频移，完全由时间延长效应导致。

可见，光的多普勒频移与声波的多普勒频移类似：当光与接收器互相接近时，接收到的光子频率变高，而互相远离时，接收到的光子频率变低．但与声波的多普勒效应不同的是，由于时间延长效应，即使是横向移动，仍然会导致频率改变．不难发现，多普勒频移的效应是一阶相对论性效应，正比于 $v$ ，而时间延长效应是二阶相对论性效应，正比于 $v^2$ 。

特别地，当 $\alpha^{\prime}=0$ 时，有

$$
\nu^{\prime}=D \nu
$$

其中 $D$ 是所谓的多普勒因子，

$$
D=\left(\frac{1+v}{1-v}\right)^{1 / 2}
$$

对于一般的情形，有

$$
\nu^{\prime}=\frac{\nu}{1+z}
$$

其中 $z$ 是红移因子，定义为

$$
z=\frac{\lambda_{\mathrm{r}}-\lambda_{\mathrm{e}}}{\lambda_{\mathrm{e}}}
$$

$\lambda_{\mathrm{r}}$ 和 $\lambda_{\mathrm{e}}$ 分别是接收时和发射时的光子波长．

对于横向多普勒效应，$\alpha^{\prime}=\pi / 2$ ，频率的变化为 $\nu^{\prime}=\nu / \gamma$ ．注意在观测者的参考系中光子的运动方向与观测者的速度垂直，如果用发射器参考系中的角度，则上面的公式变为

$$
\nu^{\prime}=\nu \frac{1+v \cos \alpha}{\sqrt{1-v^2}}
$$

在静止参考系中考虑以角速度 $\omega$ 转动的圆盘，光源在中心，而观测者在圆盘的边缘．此时，在静止参考系中看来，观测者的速度总是与径向方向垂直，或者说是与光子的运动方向垂直，$\alpha=\pi / 2$ 。比如说，假设观测者运动到 $x=0$ 时，其运动方向刚好是沿 $x$ 轴，此时光子的运动是沿 $y$ 轴的．观测者测量到的光子频率为

$$
\nu=\nu_0 \gamma
$$

其中 $\nu_0$ 是光子的固有频率，而 $\gamma$ 中的速度是在圆盘边缘处的线速度 $v=\omega r_0$ ．也就是说光子的频率变大了，光子被蓝移了。这个效应完全来自时间延长效应。1960年，海伊 （Hay）等人利用穆斯堡尔（Mössbauer）共振测量了这个效应，理论与实验的偏离只有百分之几．

更一般地，我们可以假定在圆盘上光源 $P_0$ 所在的位置是半径为 $r_0$ 的地方，探测器 $P_1$ 在 $r_1$ 的位置，且它们的连线是在径向方向．由于在圆盘上光子的运动是直线，因此每一个从 $P_0$ 到 $P_1$ 的信号都经过相同的时间，也就是说在实验室参考系中，在发射器和接收器上的两个连续信号有相同的时间间隔 $\Delta t$ ．由于光子的运动严格沿着径向方向，与发射器和探测器的线速度方向垂直，我们只需要考虑时间延长效应，因此，在 $P_0$ 上看到的时间间隔为 $\Delta t \gamma_0$ ，在 $P_1$ 上看到的时间间隔为 $\Delta t \gamma_1$ ，其中

$$
\gamma_i=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\omega r_i\right)^2}}, \quad i=0,1
$$

所以，我们发现发射器和接收器观测到的光子频率之比为

$$
\frac{\nu_0}{\nu_1}=\frac{\gamma_0}{\gamma_1}
$$

利用光源和观测者间的相对运动可以检验时间延长效应．然而在其中，由于普通多普勒效应是一级效应，经常掩盖了时间延长效应，因此，我们需要想办法去除多普勒效应的影响。1938年，伊维斯（Ives）和斯提瓦尔（Stilwell）利用来回运动的离子，抵消了多普勒效应的影响，对时间延长效应进行了实验检验．1985年，凯沃洛（Kaivolo）等人（3）利用同样的思想，通过运动的镍原子束以及激光等技术，检验了时间延长效应，理

论和实验的偏差是 $4 \times 10^{-5}$ 。进一步地，1994年，格里泽（Grieser）等人（4）把精度提高到 $7 \times 10^{-7}$ 。

例1．5 相对论视差和聚光（beaming）效应。
下面我们考虑一下由于相对论效应导致的聚光现象．依然利用前面的图1．9，假定光子发射时与 $x$ 轴成 $\alpha$ 角，因此

$$
\cos \alpha=k^x / \omega
$$

其中 $k^x$ 是波矢的 $x$ 分量．而对观测者而言，有

$$
\cos \alpha^{\prime}=k^{\prime x} / \omega^{\prime}
$$

由 $\left(\omega, k^x\right)$ 与 $\left(\omega^{\prime}, k^{\prime x}\right)$ 间的洛伦兹变换可以导出（1．81）式。它说明观测到的光子方向与发射时的方向是有差异的，这称为相对论视差公式．它实际上可以写作

$$
\cos \alpha^{\prime}=\frac{\cos \alpha+v}{1+v \cos \alpha}
$$

或者

$$
\tan \frac{\alpha^{\prime}}{2}=\left(\frac{1-v}{1+v}\right)^{1 / 2} \tan \frac{\alpha}{2}
$$

如果源与观测者相对运动，而且光源有一定的大小分布，比如说一颗恒星，其不同部位发射的光子都有可能被我们观测到。如果 $v>0$ ，则 $\alpha^{\prime}<\alpha$ ，而如果 $v<0$ ，则 $\alpha^{\prime}>\alpha$ ．假定光源相对于观测者是迎面而来的，在其边缘处发射的光子是向前光子（ $|\alpha|<\pi / 2$ ），这些光子被观测者看到时与 $x$ 轴的夹角变小了，而整个光源相对于观测者所张的角也变小了，$\left|\alpha^{\prime}\right|<\arccos v$ ．当相对运动速度接近光速时 $v \approx 1$ ，这个张角将非常小．因此，不同方向传播的光子都被源与观测者间的相对运动调在一个方向上了．这就是所谓的头灯效应（headlight effect）：一个在其共动参考系中各向同性发射光子的源在高速运动时其所有的辐射看起来就像在一个很窄的锥中．即使发射并非各向同性的，这个效应也存在。这个效应在高加速度带电粒子形成的同步辐射（synchrotron radiation）中表现得非常明显。

经验告诉我们，运动的车辆和人感觉到垂直下落的雨和雪并非垂直下落而是迎面而来．上面的（1．96）式告诉我们：两个运动速度不同的观测者看到光，会出现视差．这就是光行差效应。历史上，布拉得雷（Bradley）早在 1728 年就发现了星光的视差：对不同速度的观测者，他们看到的光线夹角是不同的．这验证了哥白尼（Copernicus）的论断：地球是绕太阳运动的，地球上的人相对于恒星有相对运动，造成了光行差．
另一方面，由多普勒频移，相对运动的光子频率被蓝移，而相背运动的光子频率被红移，因此，相对运动时辐射的强度更加集中在运动方向上。一个均匀辐射的物体，当它相对你运动时，看起来要亮一些，而相背你运动时，看起来要暗一些．这就是相对论聚光效应。更准确地，从上面的讨论中知道，如果考虑源的静止系中一个无穷小角度，在实验室观测时会发现该角度变为

$$
\delta \alpha \approx D \delta \alpha^{\prime}
$$

由于实验室中的向前光子的角度变小，而光子数不变，因此光子的密度增加一个 $D^2$ 因子．此外，考虑到多普勒运动造成的光子能量提高至 $D$ 倍，而单位时间到达的光子数增加至 $D$ 倍，最终我们发现源的亮度（由能量流给出）增加至 $D^4$ 倍：

$$
\mathcal{E}=\left(\frac{1+v}{1-v}\right)^2 \mathcal{E}_0
$$

因此当光源与我们相向运动时，观测到的光显得特别刺眼．更一般地，如果考虑观测者的运动（如地球的转动），则亮度的变化是

$$
\mathcal{E}=\left(\frac{1}{1+z}\right)^4 \mathcal{E}_0
$$

其中 $z$ 是单色光的红移因子．

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