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柯西-黎曼方程的极坐标形式

## 直角坐标系(笛卡尔)下的CR形式
考虑一个依实轴和虚轴方向排列的非常细的正方形网格.见图5-1左上图,在解析映射下,每一个无穷小正方形经伸扭而产生的象仍为正方形. 我们要说明CR方程只不过是把这个几何事实用符号和式子来表述

![图片](/uploads/2025-06/3bfc8f.jpg){width=500px}
 
 把单个小正方形及其象都放大，如图 5－1 底部那样．设起始的正方形边长为 $\varepsilon$ ，如图。如果我们由 $z$ 出发并沿 $x$ 方向运动 $\varepsilon$ ，则象将沿一个复数运动，这个运动可由下式给出：
（ $x$ 的变化）•（象 $f$ 对 $x$ 的变化率 $)=\varepsilon \partial_x f$ ．
类似地，若点沿铅直边运动，即在 $y$ 方向上运动 $\varepsilon$ ，则它的象将做运动 $\varepsilon \partial_y f$ ．又因为这两个象向量张成一个正方形，所以它们之间必定简单地由一个旋转 $\pi / 2$ 相关，也即是有乘以 i 的关系。消去 $\varepsilon$ 后我们就有

$$
i \partial_x f=\partial_y f
$$

至此大功告成！只要再把 $f=u+ i v$ 放进去即知，它不过就是 CR 方程

$$
i \partial_x(u+i v)=\partial_y(u+i v)
$$

的比较紧凑的形式．令双方实部和虚部分别相等就给出
$$
\partial_x u=\partial_y v \quad \text { 以及 } \quad \partial_x v=-\partial_y u, ...(5.1)
$$

这和前面得出的一样。为了得出伸扭本身，我们要记住，每个无穷小箭头在乘以 $f^{\prime}$后就得出其象。现在因为我们已知对于正方形的两边其象各为什么，于是可以得出

$$
\begin{aligned}
\varepsilon \mapsto \varepsilon f^{\prime}=\varepsilon \partial_x f & \Rightarrow \quad f^{\prime}=\partial_x f \\
i \varepsilon \mapsto i \varepsilon f^{\prime}=\varepsilon \partial_y f & \Rightarrow \quad f^{\prime}=-i \partial_y f .
\end{aligned}
$$

## 极坐标形式
 CR 极坐标方式见图 5－2．若从 $z$ 开始让 $r$ 增加 $d r$ ，于是得到此正方形的径向边 $e ^{ i \theta} d r$ 。如果我们另让 $\theta$ 增加 $d \theta$ ，则此点在一个垂直的方向上运动，此方向的单位向量是 $ie ^{ i \theta}$ 。当 $d \theta$ 趋于 0 时，此方向上运动的大小是 $r d \theta$ ，所以描述这个运动的复数是 $i e^{ i \theta} r d \theta= i z d \theta$ ．从图上看得很清楚

$$
\text { 开始为正方形 } \Longleftrightarrow d r=r d \theta ...(5.2)
$$

现在来看它的象，和前面一样，若将 $r$ 增加 $d r$ ，则象将要移动 $d r \cdot \partial_r f$ 。类似地，把 $\theta$ 变动 $d \theta$ ，则象将运动 $d \theta \cdot \partial_\theta f$ 。如果映射是解析的，那么它们仍张成一个正方形，所以后一个边等于 i 乘第一个边：

$$
d \theta \cdot \partial_\theta f=id r \cdot \partial_r f
$$

![图片](/uploads/2025-06/c265b2.jpg)
 
 以（5．2）代入此式，消去 $d \theta$ 后即有

$$
\partial_\theta f=i r \partial_r f
$$

这就是 CR 的新的紧凑形式。再以 $f=u+ i v$ 代入，读者容易看到（5．3）等价于下面这一对 Polar－Cart．方程：

$$
\begin{aligned}

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