最后更新: 2025-06-23 05:23 查看: 66 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

对数留数与辐角原理

本节我们将以留数理论为依据，介绍对数留数与辐角原理，它可帮助我们判断一个方程 $f(z)=0$ 各个根所在的范围，这对研究运动的稳定性往往是有用的．
## 对数留数
**定义** 形如 $\frac{1}{2 \pi i } \oint_C \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} d z$ 的积分称 $f(z)$ 关于 $C$ 的对数留数．
事实上，对数留数就是函数 $f(z)$ 的对数的导数 $\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)}$ 在它位于 $C$ 内的孤立奇点处的留数的代数和．

关于对数留数，我们有下面的一个重要定理：

> **定理5.10** 若 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 的内部除去有限个极点外是解析的，并在 $C$ 上解析且不为零，则有 $\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} d z=N-P ...(5.11) $

其中，$N$ 为 $f(z)$ 在 $C$ 内零点的总个数，$P$ 为 $f(z)$ 在 $C$ 内极点的总个数，在计算零点与极点的个数时，$m$ 阶的零点或极点算作 $m$ 个零点或极点．

证明：略。

## 辐角原理
当 $C$ 是一条简单闭曲线时，我们来说明定理 5.10 的几何意义，为此，将对数留数改写为

$$
\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} d z=\frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{d}{d z}[\ln f(z)] d z .
$$

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} d z & =\frac{1}{2 \pi i}\left\{\left[\ln \left|f\left(z_0\right)\right|+i \varphi_1\right]-\left[\ln \left|f\left(z_0\right)\right|+i \varphi_0\right]\right\} \\
& =\frac{\varphi_1-\varphi_0}{2 \pi}=\frac{\Delta_C \arg f(z)}{2 \pi}
\end{aligned}
$$

其中 $\Delta_C \arg f(z)$ 表示 $z$ 沿 $C$ 之正向绕行一周后 $\arg f(z)$ 的改变量，它是 $2 \pi$ 的整数倍．

![图片](/uploads/2025-06/607652.jpg)
 
 从而可将（5．11）式写成

$$
N-P=\frac{1}{2 \pi} \Delta_C \arg f(z)  ...(5.12)
$$

（5．12）式可表述为：$f(z)$ 在 $C$ 内的零点个数减去极点个数，等于当点 $z$ 沿 $C$正向移动一周时，$z$ 的像 $w=f(z)$（在 $w$ 平面上）绕原点移动的圈数．

特殊情形：若 $f(z)$ 在 $C$ 内解析，则 $P=0$ 。于是（5．12）式成为

$$
N=\frac{1}{2 \pi} \Delta_C \arg f(z) 
$$

我们可以利用（5．12）式计算 $f(z)$ 在 $C$ 内零点的个数，因此，有下面的辐角原理：

定理 5．11（辐角原理）在定理 5.10 的条件下，$f(z)$ 在 $C$ 内部的零点个数与极点个数之差，等于当 $z$ 沿 $C$ 之正向绕行一周后 $\arg f(z)$ 的改变量 $\Delta_C \arg f(z)$ 除以 $2 \pi$ ，即

$$
\begin{aligned}
&N-P=\frac{1}{2 \pi} \Delta_C \arg f(z) .\\
&\text { 特别地，当 } f(z) \text { 在 } C \text { 上及 } C \text { 内部解析且 } f(z) \text { 在 } C \text { 上不为零时，则有 }\\
&N=\frac{1}{2 \pi} \Delta_C \arg f(z) .
\end{aligned}
$$

## 理解：多项式与辐角原理

在[环绕数](h

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