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分式线性映射概述（默比乌斯变换）

> **关键点1**： 分式线性映射在复变函数里是个重点概念，初看分式线性映射很复杂，但是其实理解起来没那么困难。你可以把分式线性映射详细为摄影常用的鱼眼镜头——它把直线拍成曲线，把平面扭曲成球形。这样无论多复杂的映射，**本质上都是平移/旋转/放缩/反演的组合**

> **关键点2**：**一个分式线性映射由它在三个不同点上的映射结果唯一确定**。想象你想定制一个橡皮膜变形。你指定原始膜上的三个点$ A、B、C$，再指定变形后膜上你想让它们分别到达的位置 $A'、B'、C'$。那么，有且只有一个分式线性映射能完美地实现这个“三点搬家”任务。膜上其他所有点都会根据这个规则自动被映射到确定的位置。

> **关键点3**： 在关键点2的基础上进一步扩展理解，对同一平面图形从两个不同视角进行拍照, 那么这两张照片的相应点一一对应.可以证明,**这个对应可以写为一个分式函数,而且这个分式函数是唯一的**。

## 默比乌斯变换（分式线性映射）的定义和意义
默比乌斯变换就是以下形状的映射：

$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} ...(3.1)
$$

其中 $a, b, c, d$ 是复数。这些变换有许多美丽的性质，而且在整个复分析中有极其多样的应用．

默比乌斯变换尽管看来简单，却处于现代数学研究中好几个活跃领域的核心．这在很大程度上是由于这些领域与各种非欧几何有密切的且多少有点奇迹似的联系．非欧几何已在第 1 章中隐约地提到．这些变换又与爱因斯坦的相对论紧密相关！

这样，虽然自从默比乌斯第一次研究现在以他命名的变换已经超过 150 年了，但可以公正地说，他由此展现给我们的知识血脉之丰富，现在仍远未穷尽．所以我们要以比通常大得多的深度来探讨默比乌斯变换．

##  与爱因斯坦相对论的联系 
想要详细地探索这种联系，既不必要也办不到，但我们至少可以简要地指出默比乌斯变换是怎样与爱因斯坦的相对论联系起来的。

在这个理论中，一个事件的时刻 $T$ 及其三维笛卡儿坐标 $(X, Y, Z)$ 合成了四维时空中的单个四维向量（ $T, X, Y, Z$ ）。当然，这个向量的空间成分没有绝对的意义：对于空间中的同一个点，旋转坐标轴就会给出不同的坐标 $(\widetilde{X}, \widetilde{Y}, \widetilde{Z})$ 。但是若令两个人各取不同的坐标轴，他们仍然会得到同样的 $\widetilde{X}^2+\widetilde{Y}^2+\widetilde{Z}^2=X^2+Y^2+Z^2$ ，因为这个公共值表示的是由原点到此点距离的平方．

与此形成对照的是：我们习惯上总以为时间成分 $T$ 确有绝对的意义．然而，爱因斯坦的理论——它已经由无数的实验所证实——却告诉我们并非如此。如果两个观察者（设在某一瞬间处于同一场所）以匀速做相对运动，则他们对事件是否同时发生会有不同意见，即是说他们不会有同样的同时性概念。此外，他们也不会有 $\left(X^2+Y^2+Z^2\right)$ 的相同值——这就是著名的**洛仑兹收缩**，对于 $T^2$ 之值同样也不会取得一致，这就是洛仑兹的时钟变慢。那么时－空是否还有绝对的方面使得互相作匀速相对运动的这两个观察者必须取得一致呢？有的：选一个方便的单位制使光速在其中为 1 ，爱因斯坦发现，这两个观察者对**下式的值必然一致**：

$$
\widetilde{T}^2-\left(\widetilde{X}^2+\widetilde{Y}^2+\widetilde{

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