最后更新: 2025-06-24 17:08 查看: 110 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平均数、众数与中位数

## 平均数
**定义**：把一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫做这组数据的算术平均数，简称平均数。

> 平均数是表示一组数据集中趋势的量数。

一组数据的算术平均数的计算公式如下：
设 $n$ 个数据分别为 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ ，它们的算术平均数为 $\bar{x}$ ，那么

$$
\boxed{ \bar{x}=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n\right) .
}
$$

简化计算法的计算公式如下：
设接近平均数的常数为 $a, n$ 个数据与 $a$ 的差分别为 $x_1-a, x_2-a, x_3-a$ ， $\cdots, x_n-a$ ，这些数据的算术平均数为 $\overline{x^{\prime}}$ ，那么 $n$ 个数据的算术平均数 $\bar{x}$ 为：

$$
\boxed{
\bar{x}=\overline{x^{\prime}}+a .
}
$$

`例`求数据 $102,104,106,108,103,107$ 的算术平均数

解法1 ：$\frac{1}{6} \times(102+104+106+108+103+107)$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{1}{6} \times 630 \\
& =105 ;
\end{aligned}
$$

解法2 ：$\frac{1}{6} \times(102+104+106+108+103+107)$

$$
\begin{aligned}
= & \frac{1}{6} \times[(100+2)+(100+4)+(100+6)+(100+8)+(100+3)+ \\
& (100+7)] \\
= & \frac{1}{6} \times(600+30) \\
= & 100+5 \\
= & 105 .
\end{aligned}
$$

在解法 2 中，由于各数据都很接近 100 ，因此把 100 作为一个基数，再求出每个数据与 100 的差，求出差 $2,4,6,8,3,7$ 的算术平均数，然后再加上 100 就可以了，这种求算术平均数的方法称为**简化计算法**．

## 加权平均数
 在一次有 20 人参加的数学竞赛中，其中得 90 分的有 3 人，得85 分的有 6 人，得 80 分的有 5 人，得 75 分的有 4 人，得 70 分的有 2 人．计算这些同学数学竞赛的平均成绩．

解：

$$
\begin{aligned}
\bar{x} & =\frac{3 \times 90+6 \times 85+5 \times 80+4 \times 75+2 \times 70}{3+6+5+4+2} \\
& =\frac{1620}{20} \\
& =81(\text { 分 })
\end{aligned}
$$

即这些同学数学竞赛的平均成绩是 81 分．
在一组数据中，数据重复出现的次数 $f$ 叫做这个数据的权数，简称为这个**数据的权**．按照这种方法求出的平均数，叫做**加权平均数**．

加权平均数的计算公式为：
如果数据 $x_1$ 出现 $f_1$ 次，$x_2$ 出现 $f_2$ 次，$x_3$ 出现 $f_3$ 次 $\cdots \cdots x_k$ 出现 $f_k$ 次，这组数据的平均数为 $\bar{x}$ ，那么

$$
 \bar{x}=\frac{1}{n}\left(f_1 x_1+f_2 x_2+f_3 x_3+\cdots+f_k x_k\right)
$$

（其中 $n=f_1+f_2+f_3+\cdots+f_k$ ）

### 几何平均数

$$
\sqrt[n]{x_1 x_2 \

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