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初中数学
第十章 概率与统计
方差
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更新:
2025-06-26 10:01
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方差
## 方差的引入 小明、小华两位同学在射击选拔比赛中,各射击10次.他们两个人的最高成绩、平均数、中位数都相同,那么,还可以从哪些方面分析,从而判断选派谁参加比赛更为合适呢? 小明和小华的10次射击成绩如下表所示: {width=500px} 可以发现,他们两个人的最高成绩都是10环,中位数都是7. 5环,经过计算,平均成绩都是7. 5环,也就是说,他们的最高水平和平均水平都相同. 首先,从两个人 10 次射击成绩变化范围的大小看. 小明的成绩变化范围是 最高成绩 - 最低成绩 $=10-4=6$(环); 小华的成绩变化范围是 最高成绩 - 最低成绩 $=10-5=5$(环)。 这说明,小华的成绩变化范围比较小,如果只从成绩的变化范围看,选派小华参加比赛较合适. 通常,我们称一组数据中的最大值减去最小值所得的差为**极差**.极差表示了一组数据变化范围的大小,但由于只考虑了它的两个极端数据的变化,因此用它来表示一组数据的波动还比较粗略. 不难看到,在 10 次射击中,小明的成绩中偏离平均数较大的次数较少,更多的成绩接近于平均数。 我们分别计算两个人的成绩偏离平均数的平均距离,来比较成绩波动的大小.由于每个数据与平均数的差有正有负,它们的平均值是零。因此,要计算每个数据与平均数的差的绝对值的平均值,得 $$ \begin{aligned} & \text { 小明: } \frac{1}{10}(|7-7.5|+|4-7.5|+\cdots+|7-7.5|)=1.1 \text {; } \\ & \text { 小华: } \frac{1}{10}(|7-7.5|+|6-7.5|+\cdots+|6-7.5|)=1.7 \text {. } \end{aligned} $$ 由于 $1.1<1.7$ ,说明小明的成绩偏离平均数的平均距离较小,波动较小,成绩更稳定. 偏离平均数的平均距离比极差更全面地反映了一组数据波动的大小,但是在计
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