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庞加莱猜想

## 庞加莱猜想
所谓庞加莱猜想就是这样一个命题：一个紧单连通的光滑 $n$ 维流形 必然同胚于 $n$ 维球面 $S^n$ ．我们可以把一个紧流形想象为对于位于 $R ^m(m$是某个正整数）的有限部分内而且没有边缘的流形，例如二维球面和环面都是位于 $R ^3$ 内的紧流形，而单位圆盘或无限长的柱面则不是（单位圆盘没有内蕴意义下的边缘，但是它作为集合 $\left\{(x, y): x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ 的实现，却以集合 $\left\{(x, y): x^2+y^2=1\right\}$为边缘）．一个流形称为单连通的，就是指流形上任意闭的环路都可以连续收缩为一个点。例如，维数大于 1 的球面是单连通的，但是环面则不是（因为一个＂绕着＂环面的环路，不论把它怎样连续变形，总还是＂绕着＂环面的）．这样，庞加莱猜想就是问是否球面的这两个简单的性质就足以刻画球面。

当 $n=1$ 时，庞加莱猜想是没有意义的，因为实数直线不是紧的，而圆周则不是单连通的，所以庞加莱猜想的条件不可能满足．庞加莱［VI．61］自己在 20 世纪初就解决了 $n=2$ 的情形．他对 2 维的紧流形作了完全的分类，而且注意到在列出的清单里面只有 2 维球面是单连通的．在一段时间里，他以为 3 维的情况也解决了，

但是后来发现，在他的证明中，一个主要的论断有反例． 1961 年，斯梅尔（Stephen Smale）对于 $n \geqslant 5$ 的情况证明了这个猜想，而 Michael Freedman 在 1982 年又证明了 $n=4$ 时的庞加莱猜想．于是，只留下三维问题有待解决．

也是在 1982 年，瑟斯顿（William Thurston）提出了著名的几何化猜想，这是他关于 3 维流形所建议的一种分类。这个猜想断言，每一个紧的 3 维流形都可以切割成一些有度量［III．56］的子流形，而这个度量把它们变成八种有特殊的对称性的几何结构之一。其中的三个正是 3 维的欧几里得几何、球面几何和双曲几何的 3 维版本（见［I．3§6］）。另一个是无穷＂柱面＂$S_2 \times R$ ，即 2 维球面和无穷直线的乘积（它不是紧的，这是因为流形分割成的小块可能有边界并不包括在小块之内）．类似地，可以作双曲平面和无穷直线的乘积而给出第五个结构。其余三个因为比较复杂，这里就不能描述了．瑟斯顿也给出了他的猜想的有意义的证据，

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