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黎曼猜想

## 黎曼猜想
从 1 到 $n$ 有多少素数？对于这个问题的第一个自然的反应是定义函数 $\pi(n)$ 为从 1 到 $(\leqslant) n$ 的素数的个数，然后来找 $\pi(n)$ 的公式．然而，素数的集合并没有明显的图样，而且已经清楚了这样的公式是不存在的（除非愿意把高度人为的对于计算 $\pi(n)$ 没有实际帮助的＂公式＂也算作公式的话）．

数学家对于这种情况标准的反应是转而寻求好的估计．换句话说，就是试着去找一个定义简单的函数 $f(n)$ ，而对这个函数，可以证明 $f(n)$ 总是 $\pi(n)$ 的好的近似．素数定理的现代的形式首先是由高斯猜测的（虽然勒让德比他早几年就提出过一个密切相关的猜测）。高斯仔细观察了数字的证据，这些证据向他建议 $n$ 附近的素数的＂密度＂大约是 $1 / \log n$ ，这句话的意思是在 $n$ 附近随机地选取一个整数，则这个整数是素数的概率大概是 $1 / \log n$ ，这就引导他猜测 $\pi(n)$ 的近似式为 $n / \log n$ ，或者是比较精密的近似

$$
\pi(n) \simeq \int_0^n \frac{d x}{\log x}
$$

用上式右方的积分来定义的函数称为 $\operatorname{li}(n)$（表示 $n$ 的＂对数积分＂）．这里对于积分的解释需要小心一点，因为被积式的分母有 $\log 1=0$ ．但是可以把积分区间改成从 2 到 $n$ ，这样就避开了这个问题，而无非是对此函数加上了一个常数而已．

1896 年，阿达玛 和德 • 拉 • 瓦莱 • 布散 独立地证明了素数定理，指出 $\operatorname{li}(n)$ 确实是 $\pi(n)$ 的好的近似，意思是当 $n$ 趋近无穷时，这两个函数的比趋于 1 。

这个结果被认为在所有的时代都是最好的结果之一，但是它并不是故事的结尾，阿达玛和德•拉•瓦莱•布散的证明利用了黎曼 $\varsigma$ 函数［IV．2§3］$\varsigma(s)$ ．当 $s$ 是一个实部大于 1 的复数时黎曼 $\varsigma$ 函数定义为 $1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\cdots$ ，这个表达式定义了一个全纯函数［I．3§5．6］，而可以解析拓展到整个复平面上，只是在 1 处有一个极点。每一个负偶数都是这个函数的零点，称为＂平凡零点＂．黎曼证明了素数定理就等价于这样一个命题，即它的所有零点都位于＂临界带形＂（就是实部严格地位于 0 和 1 之间的复数的集合， $0<\operatorname{Re} s<1$ ）内。他还提出了时常被认为是数学中最重要的未解决问题的黎曼假设，就是黎曼 $\varsigma$ 函数的所有非平凡的零点的实部都等于 $\frac{1}{2}$ ，也就是都位于直线 $\operatorname{Re} s=\frac{1}{2}$ 上。这个关于黎曼 $\varsigma$ 函数的假设已经被证明等价于素数定理的强形式，即 $\pi(n)

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