最后更新: 2025-06-27 05:02 查看: 59 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

不动点定理

## 不动点定理

> 不动点定理是数学中研究映射是否存在不动点（即$f(x)=x$的解）的一类重要定理，在分析学、拓扑学、经济学和计算机科学中有广泛应用。

下面是一个著名数学谜题的变形．有一个人在从伦敦到剑桥的火车上，拿了一瓶水．证明在他的旅程中，至少有一个时刻，瓶中的空气所占瓶的体积的比恰好等于他已经走完的路程占全程的比（举例来说，正当他走完伦敦到剑桥的路程的五分之三时，瓶中还有五分之二是满的水，而空气占了五分之三．注意，我们并没有假设在出发时瓶里的水是满的，也没有假设到达时瓶已经空了）．

如果您过去没有看见过这类问题的话，它的解答是惊人的简单．对于 0 和 1 之间的每个 $x$ ，用 $f(x)$ 来表示当已经走完的旅程占全程的比为 $x$ 时瓶中空气所占的比．于是，对于每个 $x, 0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ，因为瓶中的空气体积既不可能是负的，也不可能超过瓶的体积．如果现在设 $g(x)$ 为 $x-f(x)$ ，则 $g(0) \leqslant 0$ ，而 $g(1) \geqslant 0$ ．因为 $g(x)$ 随 $x$ 连续变动，必定有某个时刻 $g(x)=0$ ，即 $f(x)=x$ ．这就是要求证明的．

刚才证明的就是一个最简单的不动点定理的稍稍的变形，我们可以把它比较形式地陈述如下：如果 $f(x)$ 是从闭区间 $[0,1]$ 到其自身的连续映射，则必存在一点 $x$ 使 $f(x)=x$ ，这个点就叫做 $f$ 的不动点（我们是从分析的一个基本结果中间值定理导出它来的，这个中间值定理宣称，如果 $g$ 是由 $[0,1]$ 到 $R$ 的连续函数，而且 $g(0) \leqslant 0, g(1) \geqslant 0$ ，则一定存在某个 $x$ 使 $g(x)=0$ ）．

一般说来，一个不动点定理就是断定一个满足某些条件的函数必有不动点存在的定理，这种定理有许多，本文中，我们只讨论它们的一个小小的样本．整体说来，这些不动点定理具有非构造的特点：它们只确定不动点的存在，而不去定义出不动点来，也没有告诉您怎样去找出不动点来．这正是这类定理重要的部分理由，因为有许多方程的例子，对于它们只需要证明解的存在，哪怕我们还不能显式地解出来．我们将会看到，着手处理一个方程的办法之一是把方程重写为 $f(x)=x$ 的形式，再来应用不动点定理．

2．布劳威尔不动点定理
我们刚才证明的不动点定理就是布劳威尔不动点定理（关于布劳威尔请参阅条目布劳威尔［VI．75］）的 1 维的形式．这个定理指出，如果 $B^n$ 是 $R ^n$ 中的单位球体 （就是所有适合不等式 $x_1^2+\cdots+x_n^2 \leqslant 1$ 的点 $\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的集合），而 $f$ 是由 $B^n$到 $B^n$ 的连续函数，则 $f$ 必定有不动点．集合 $B^n$ 是一个 $n$ 维的立体球体，但是在这里真正起作用的是它的拓扑特性，所以我们可以让它取别的形状，例如 $n$ 维立方体或 $n$ 维单形．

在 2 维情况，这个定理说，从单位闭圆盘到其自身的连续函数必有不动点。换句话说，如果把一张单位圆盘形橡皮片放在形状相同的桌面上，把它拿起来再放回这个桌面，不管是把它折叠起来了还是拉伸了，只要不出这张桌面，总会有至少一个点最后的位置和开始时的位置一样。

为了看清为什么会是这样，把问题重新陈述如下是有帮助的．令 $D=B^2$ 为闭单位圆盘，如果有一个由 $D$ 到 $D$ 的连续函数没有不动点，则可以定义一个由 $D$ 到其边缘 $\partial D$ 的连续函数 $g$ 如下：对于圆盘内域中的每一点 $x$ ，把由 $f(x)$ 到 $x$ 的直线（假设了 $f$ 没有不动点，所以 $f(x) \neq x$ ，而作这样的直线是可能的）延长到 $\partial D$ ，并记其所达到的点为 $g(x)$ ，如果 $x$ 就是选择在 $\partial D$ 上的，就令 $g(x)=x$ ．总之，定义了一个由 $D$ 到 $\partial D$ 的收缩映射（retraction）$g^{(1)}$（见图 1）．

![图片](/uploads/2025-06/fd846a.jpg)
 
 从 $D$ 到 $\partial D$ 的连续收缩映射的存在似乎很不可能．如果我们确实能够证明这个收缩映射不存在，这就与由 $D$ 到 $D$ 的连续函数没有不动点的假设相矛盾，这样就在 2 维情况下证明了布劳威尔不动点定理。

有好几种方法证明从圆盘到它的边缘的收缩映射是不存在的，下面简述其中两个．

第一个是设 $g$ 是这样一个收缩映射．对于每一个 $t \in[0,1]$ ，考虑 $g$ 在以原点为心、 $t$ 为半径的圆周（其上的典型的点记为 $t e ^{ i \theta}$ ）上的限制 $g_t(\theta)=g\left(t e ^{ i \theta}\right)$ ．当 $t=1$ 时，这个圆周就是 $\partial D$ ，因为收缩映射在收缩核 $\partial D$ 上的限制是恒等映射，所以 $g_1(\theta)=g\left(e^{ i \theta}\right)= e ^{ i \theta}$ ，而当 $\theta$ 由 0 变到 $2 \pi$ 时，$g_1(\theta)= e ^{ i \theta}$ 绕 $\partial D$ 一周。当 $t=0$时，以 $t$ 为半径的圆周就是原点，而 $g_0(\theta)=0$ 是常值映射，而不可能绕原点旋转．所以在 $t=1$ 和 $t=0$ 之间必有 $t$ 的一个值，使得在这时，$g_t(\theta)$ 当 $\theta$ 由 0 变到 $2 \pi$时绕原点旋转的次数改变．但是函数 $g_t$ 是一个连续变动的函数族，在 $t$ 发生微小变化时

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