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不动点定理

## 不动点定理

> 不动点定理是数学中研究映射是否存在不动点（即$f(x)=x$的解）的一类重要定理，在分析学、拓扑学、经济学和计算机科学中有广泛应用。

下面是一个著名数学谜题的变形．有一个人在从伦敦到剑桥的火车上，拿了一瓶水．证明在他的旅程中，至少有一个时刻，瓶中的空气所占瓶的体积的比恰好等于他已经走完的路程占全程的比（举例来说，正当他走完伦敦到剑桥的路程的五分之三时，瓶中还有五分之二是满的水，而空气占了五分之三．注意，我们并没有假设在出发时瓶里的水是满的，也没有假设到达时瓶已经空了）．

如果您过去没有看见过这类问题的话，它的解答是惊人的简单．对于 0 和 1 之间的每个 $x$ ，用 $f(x)$ 来表示当已经走完的旅程占全程的比为 $x$ 时瓶中空气所占的比．于是，对于每个 $x, 0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ，因为瓶中的空气体积既不可能是负的，也不可能超过瓶的体积．如果现在设 $g(x)$ 为 $x-f(x)$ ，则 $g(0) \leqslant 0$ ，而 $g(1) \geqslant 0$ ．因为 $g(x)$ 随 $x$ 连续变动，必定有某个时刻 $g(x)=0$ ，即 $f(x)=x$ ．这就是要求证明的．

刚才证明的就是一个最简单的不动点定理的稍稍的变形，我们可以把它比较形式地陈述如下：如果 $f(x)$ 是从闭区间 $[0,1]$ 到其自身的连续映射，则必存在一点 $x$ 使 $f(x)=x$ ，这个点就叫做 $f$ 的不动点（我们是从分析的一个基本结果中间值定理导出它来的，这个中间值定理宣称，如果 $g$ 是由 $[0,1]$ 到 $R$ 的连续函数，而且 $g(0) \leqslant 0, g(1) \geqslant 0$ ，则一定存在某个 $x$ 使 $g(x)=0$ ）．

一般说来，一个不动点定理就是断定一个满足某些条件的函数必有不动点存在的定理，这种定理有许多，本文中，我们只讨论它们的一个小小的样本．整体说来，这些不动点定理具有非构造的特点：它们只确定不动点的存在，而不去定义出不动点来，也没有告诉您怎样去找出不动点来．这正是这类定理重要的部分理由，因为有许多方程的例子，对于它们只需要证明解的存在，哪怕我们还不能显式地解出来．我们将会看到，着手处理一个方程的办法之一是把方程重写为 $f(x)=x$ 的形式，再来应用不动点定理．

2．布劳威尔不动点定理
我们刚才证明的不动点定理就是布劳威尔不动点定理（关于布劳威尔请参阅条目布劳威尔［VI．75］）的 1 维的形式．这个定理指出，如果 $B^n$ 是 $R ^n$ 中的单位球体 （就是所有适合不等式 $x_1^2+\cdots+x_n^2 \leqslant 1$ 的点 $\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的集合），而 $f$ 是由 $B^n$到 $B^n$ 的连续函数，则 $f$ 必定有不动点．集合 $B^n$ 是一个 $n$ 维的立体球体，但是在这里真正起作用的是它的拓扑特性，所以我们可以让它取别的形状，例如 $n$ 维立方体或 $n$ 维单形．

在 2 维情况，这个定理说，从单位闭圆盘到其自身的连续函数必有不动点。换句话说，如果把一张单位圆盘形橡皮片放在形状相同的桌面上，把它拿起来再放回这个桌面，不管是把它折叠起来了还是拉伸了，只要不出这张桌面，总会有至少一个点最后的位置和开始时的位置一样。

为了看清为什么会是这样，把问题重新陈述如下是有帮助的．令 $D=B^2$ 为闭单位圆盘，如果有一个由 $D$ 到 $D$ 的连续函数没有不动点，则可以定义一个由 $D$ 到其边缘 $\partial D$ 的连续函数 $g$ 如下：对于圆盘内域中的每一点 $x$ ，把由 $f(x)$ 到 $x$ 的直线（假设了 $f$ 没有不动点，所以 $f(x) \neq x$ ，而作这样的直线是可能的）延长到 $\partial D$ ，并记其所达到的点为 $g(x)$ ，如果 $x$ 就是选择在 $\partial D$ 上的，就令 $g(x)=x$ ．总之，定义了一个由 $D$ 到 $\partial D$ 的收缩映射（retraction）$g^{(1)}$（见图 1）．

![图片](/uploads/2025-06/fd846a.jpg)
 
 从 $D$ 到 $\partial D$ 的连续收缩映射的存在似乎很不可能．如果我们确实能够证明这个收缩映射不存在，这就与由 $D$ 到 $D$ 的连续函数没有不动点的假设相矛盾，这样就在 2 维情况下证明了布劳威尔不动点定理。

有好几种方法证明从圆盘到它的边缘的收缩映射是不存在的，下面简述其中两个．

第一个是设 $g$ 是这样一个收缩映射．对于每一个 $t \in[0,1]$ ，考虑 $g$ 在以原点为心、 $t$ 为半径的圆周（其上的典型的点记为 $t e ^{ i \theta}$ ）上的限制 $g_t(\theta)=g\left(t e ^{ i \theta}\right)$ ．当 $t=1$ 时，这个圆周就是 $\partial D$ ，因为收缩映射在收缩核 $\partial D$ 上的限制是恒等映射，所以 $g_1(\theta)=g\left(e^{ i \theta}\right)= e ^{ i \theta}$ ，而当 $\theta$ 由 0 变到 $2 \pi$ 时，$g_1(\theta)= e ^{ i \theta}$ 绕 $\partial D$ 一周。当 $t=0$时，以 $t$ 为半径的圆周就是原点，而 $g_0(\theta)=0$ 是常值映射，而不可能绕原点旋转．所以在 $t=1$ 和 $t=0$ 之间必有 $t$ 的一个值，使得在这时，$g_t(\theta)$ 当 $\theta$ 由 0 变到 $2 \pi$时绕原点旋转的次数改变．但是函数 $g_t$ 是一个连续变动的函数族，在 $t$ 发生微小变化时，$g_t(\theta)$ 绕原点旋转的次数不可能突变（要把最后一步说得严格还需要费一点力气，但是这里的基本思想是可靠的）．

第二个证明要用到代数拓扑学的基本工具．单位圆盘 $D$ 的一阶同调群［VI．6§4］是平凡的，因为圆盘中所有的闭曲线都可以收缩为一点．单位圆周 $\partial D$ 的一阶同调群则是 $Z$ ，如果有一个从 $D$ 到 $\partial D$ 的连续收缩映射 $g$ ，则可以找到一个连续映射
$h: \partial D \rightarrow D$ ，使它与 $g: D \rightarrow \partial D$ 的复合 $g \circ h$ 是 $\partial D$ 上的恒等映射（例如可以取 $h$为把 $\partial D$ 上一点映为其自身的映射，而 $g$ 则为连续收缩映射）。但是，拓扑空间之间的连续映射在它们的同调群之间产生同态［I．3§4．1］，并且使映射的复合变为同调群的复合，恒等映射变为同调群之间的恒等映射（就是说有一个由拓扑空间及其连续映射的范畴［III．8］到群及其同态的范畴之间的一个函子［III．8］）．这就意味着存在两个同态 $\phi: Z \rightarrow\{0\}$ 和 $\psi:\{0\} \rightarrow Z$ ，使得 $\psi \circ \phi$ 是 $Z$ 上的恒等映射，而这显然是不可能的．

这两个证明都可以推广到高维情况：第二个证明的推广是直接的（只要知道如何计算球面的同调群就行了），而第一个证明的推广则是通过 $n$ 维球面到其自身的连续映射的映射度（degree）概念，而这是圆周到其自身的连续映射＂绕圆心的次数＂的概念的高维的类比．

布劳威尔不动点定理有许多应用．举一个例子，下面的事实对于图上的随机游动理论是很重要的。一个随机矩阵就是一个 $n \times n$ 的具有非负元素的矩阵，其各行的元素之和均为 1 ．布劳威尔不动点定理可以用来证明每一个这样的矩阵都有一个元素均为非负的本征向量［I．3§4．3］相应于本征值 1．证明如下：从几何上看，所有的具有非负元素而且其和为 1 的列向量的集合都是一个 $(n-1)$ 维单形（如果 $n=3$ ，这个集合就是 $R ^2$ 中的以 $(1,0,0),(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$ 为顶点的三角形．如果 $A$ 是一个随机矩阵， $x$ 是这个单形中的一点，则 $A x$ 也是这个单形中的一点。因为映射 $x \rightarrow A x$ 是一个连续映射，则布劳威尔不动点定理给我们一个 $x$ 使得 $A x = x$ ，它就是所求的本征向量．
布劳威尔不动点定理有一个推广称为角谷静夫（Shizuo Kakutani，1911－2004，日本数学家）不动点定理，而纳什（John Forbes Nash Jr．，1928－，美国数学家）利用它来证明存在一个＂社会平衡点＂，在这个平衡点上任何一个家庭都不能通过改变它在不同项目上的消费量来改善福利。纳什本人因此获得了1994年的诺贝尔经济学奖．在角谷静夫不动点定理中，球体 $B^n$ 中的点不是被 $f(x)$ 映为 $B^n$ 中的点而是被映为 $B^n$ 中的子集合．如果 $f(x)$ 对于每个点 $x$ 都是 $B^n$ 中的非空的凸闭集合，而且在一定意义下连续变化，这个定理指出，一定有某个点 $x$ 使得 $x \in f(x)$ ．如果 $f(x)$ 是只有一个点的集合，角谷静夫不动点定理就成了布劳威尔不动点定理．

3．布劳威尔不动点定理的强形式
迄今为止我们讨论的都是由立体的球体到其自身的映射。但是，没有什么阻止我们去讨论其他空间上的连续映射也会有不动点。举一个例子，令 $S^2$ 为（中空的）球面 $\left\{(x, y, z): x^2+y^2+z^2=1\right\}$ ，而 $f$ 是一个由 $S^2$ 到 $S^2$ 的连续函数，$f$ 是否一定有不动点呢？有时候似乎是有：有一些显然是由 $S^2$ 到 $S^2$ 的连续函数，如旋转和对于一个过球心的平面或直线的反射，二者显然都有不动点．然而最终会看到也有
没有不动点的简单的例子，例如函数 $f(x)=-x$ ．它是对于球心的反射，把一个点变成自己的对径点。

对于这个例子，有人明显地会作出下面的反应：既然我们所希望的结果不真，那么就去看一看别的东西．但是这种反应是一个错误．在数学的许多其他情况下这种反应都是错误的，因为这个情况可以导致一个很重要而且正确的思想，那就是无法消除旋转的不动点。如果从一个旋转开始对它作连续的变形，想这样来消除旋转的不动点，那是注定会失败的．实际上，在某种意义下，恰好有两个不动点．一般地说，如果取任意的由 $S^2$ 到 $S^2$ 的连续函数并且对它作连续变形，那么不会改变不动点的个数．

这两个命题，如果仅就字面来看，它们明显是不对的，所以必须作出重新解释．首先必须设不动点的个数是有限的，但是这并不是一个了不起的假设，因为可以证明，任意连续函数在经过小的扰动以后总会只有有限多个不动点．其次，在计算不动点个数时，需要加上适当的权重．为了定义这种权重，设 $x$ 是连续函数 $f$ 的一个不动点，即 $f(x)=x$ ，并且假想有一个点 $y(t)$ ，当 $t$ 由 0 变到 1 时，沿一个小的圆周绕 $x$ 转．我们定义这个不动点的指标（index）就是 $f(y(t))$ 绕此不动点的次数，而如果是与 $y(t)$ 按反方向绕过的，次数就算成负的（这个定义还有一些问题，因为如果在某个 $t$ 处，$f(y(t))=x, f(y(t))$ 就不能绕过不动点 $x$ 了，但是，我们还是可以通过一个小的扰动使得不发生这个情况）．于是，我们的结论是：当对 $f$ 作连续变形时，所有不动点的指标之和是不变的．

由此可知，如果对一个旋转作连续变形时指标的和总是 2 ．从这一点就知道总有至少一个不动点．由此也知道，不可能对旋转作连续变形，使它变成对径映射，就是把每一个 $x$ 都变成 $-x$ 的映射．

不动点的指标的概念可以相当直接地推广到高维情况（应用上面讲到的映射度），而可以在很一般的情况下证明当对一个映射作连续变形时，不动点的指标之和是不变的．这一点蕴含了布劳威尔不动点定理如下：我们可以把一个连续映射 $f: B^n \rightarrow B^n$ 连续变形为另一个连续映射 $g: B^n \rightarrow B^n$ ，办法是作一族连续映射 $f_t(x)=(1-t) f(x)+t g(x)$ ，并令 $t$ 由 0 变到 1 ．然后取 $g$ 为 $x \mapsto x / 2, g$ 显然只有一个不动点，而且指标为 1 （这一点在 2 维情况容易看到），所以 $f$ 的不动点指标之和也是 1 ，［所以 $f$ 一定有不动点存在，这就是布劳威尔不动点定理，但是我们不能说不动点个数为 1 ，就是不能说不动点是唯一的，因为并不知道不动点的指标，而只知道它们的和为 1］．

一般说来，定义在一个适当的拓扑空间（例如一个光滑的紧流形［I．3§6．9］）$X$ 上的函数 $f$ 的不动点指标和可以通过 $f$ 在 $X$ 的同调群上的作用来计算．所得的结果就是 Lefschetz 不动点定理（Lefschetz 就是 Solomon Lefschetz，1884－1972，美国数学家）的稍微的推广。
连续映射的指标是连续变形下的不变量这个事实可以用来给出代数的基本定理［V．13］的一个证明．例如，考虑多项式 $x^5+3 x+8$ 有根存在的证明．这和要求函数 $x^5+4 x+8$ 有一个不动点是同样的，因为只要这个函数等于 $x$ ，就有 $x^5+3 x+8=0$ ．如果把多项式 $x^5$ 看成是定义在黎曼球面［IV．14§2．4］ $C \cup\{\infty\}$ 上，则它有两个不动点 0 和 $\infty$ ．此外它们的指标都是 5 （因为当 $x$ 绕过 0 或 $\infty$ 一周时，$x^5$ 必定按同方向绕 0或 $\infty 5$ 周）．现在，多项式 $x^5+(4 x+8) t$ 给出了由 $x^5$ 到多项式 $x^5+4 x+8$ 的连续变形，而 $x^5+4 x+8$ 和 $x^5$ 都以 $\infty$ 为不动点，而且指标同为 5 ，所以 $x^5+4 x+8$ 必定还有其他的不动点，而且它们的指标之和仍然是 5 ．这些不动点就是方程 $x^5+3 x+8=0$的根，而指标就是这些根的重数．

4．无限维的不动点定理以及对于分析的应用
如果我们试图把布劳威尔不动点定理推广到无限维闭球体上的连续映射，会得到什么？如下面的例子所示，这种推广是不可能的．令 $B$ 是所有满足条件 $\sum_n\left|a_n\right|^2 \leqslant 1$ 的实数序列 $\left(a_1, a_2, \cdots\right)$ 的集合，这就是希尔伯特空间［III．37］$\ell_2$ 中的闭球体．对于序列 $a =\left(a_1, a_2, \cdots\right)$ ，我们用 $\| a \|=\left(\sum_n\left|a_n\right|^2\right)^{1 / 2}$ 来记它的范数．现在考虑下面的映射

$$
f:\left(a_1, a_2, \cdots\right) \rightarrow\left(\left(1-\| a \|^2\right)^{1 / 2}, a_1, a_2, \cdots\right)
$$
很容易证明 $f$ 是映这个闭球体到其自身的连续映射，而且对于所有的 $a$ 都有 $\|f( a )\|$ $=1$ ．因此，如果 $a$ 是一个不动点，必有 $\| a \|=\|f( a )\|=1$ ，这样 $f( a )$ 的第一个分量必为 0 ．但是因为 $a$ 是不动点，从而 $a =f( a )$ ，而 $a$ 的第一个分量 $a _1=0$ ．但是 $a _1$又是 $f(a)$ 的第二个分量，所以 $a =f(a)$ 的第二个分量 $a _2$ 也是 0 ．仿此以往可知 $a=0$ ，而由 $a=f( a )$ 可得 $f( a )=0$ ，而与前面说的对于所有的 $a$ 都有 $\|f( a )\|=1$相矛盾．这样，映射 $f$ 没有不动点．

然而，如果我们对于拓扑空间 $X$ 及其上的连续映射再给以附加的条件，则有时仍然可以证明不动点定理，这样的不动点定理中有一些有重要的应用，特别值得注意是在确定微分方程解的存在上．

这种类型的结果中有一个很容易的就是压缩映射原理：如果 $X$ 是一个度量空间［III．56］，而且具有所谓的完备性的性质（这个性质在条目赋范空间与巴拿赫空间［III．62］中作了简明的讨论），而 $f: X \rightarrow X$ 是这样的映射，即存在一个非负的常数 $\rho<1$ ，使得对于 $X$ 中的任意的 $x$ 和 $y$ 有 $d(f(x), f(y)) \leqslant \rho d(x, y)$ ，这时 $f$ 必有唯一的不动点。为证明这一点，取任意 $x \in X$ 并作迭代 $x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \cdots$ ．用 $x_0, x_1, x_2, \cdots$ 来记这些迭代，很容易证明当 $m$ 和 $n$ 趋于无穷大时，$d\left(x_n\right.$ ，

$\left.x_m\right) \rightarrow 0$ ，而 $X$ 的完备性保证了序列 $\left(x_n\right)$ 一定有极限．不难证明这个极限就是不动点．

另一个比较细致的例子是绍德尔（Juliusz Pawel Schauder，1899－1943，波兰数学家）不动点定理：如果 $X$ 是一个巴拿赫空间，而 $K$ 是 $X$ 的一个紧［III．9］凸子集合， $f$ 则是一个由 $K$ 到 $K$ 的连续函数，则 $f$ 必有不动点．粗略地说，为了证明这件事，我们用越来越大的有限维集合 $K_n$ 来逼近 $K$ ，用由 $K_n$ 到 $K_n$ 的连续映射 $f_n$来逼近 $f$ ．布劳威尔不动点定理就会给出一个序列 $\left(x_n\right)$ ，使得对于每一个 $n$ 都有 $f_n\left(x_n\right)=x_n$ ．$K$ 的紧性保证了序列 $\left(x_n\right)$ 有一个收玫的子序列，可以证明这个极限就是 $f$ 的不动点．

这两个定理以及其他性质类似的定理的重要性更多地在于应用而不是基本的提法．下面是一个典型的应用：证明微分方程

$$
\frac{d^2 u}{d x^2}=u-10 \sin \left(u^2\right)-10 \exp (-|x|)
$$

有一个解 $u$ 使得 $u(x)$ 对所有的实数 $x$ 都有定义，而且当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时 $u$ 趋于零．我们可以把这个方程重写为

$$
\left(1-\frac{d^2}{d x^2}\right) u=10 \sin \left(u^2\right)+10 \exp (-|x|)
$$

如果记其左方为 $L(u)$ ，则此方程可以进一步重写为

$$
u=L^{-1}\left(10 \sin \left(u^2\right)+10 \exp (-|x|)\right)
$$

（ $L^{-1}$ 可以用显式来确定）．如果令 $X$ 为定义在 $R$ 上，当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时趋于零的连续函数而且具有一致的模所成的巴拿赫空间，可以证明上式右方是一个由 $X$ 到 $X$的一个紧凸集合的连续函数．因此由绍德尔不动点定理，这个高度非线性的问题有一个适合给定的边值条件的解存在．这个结果用别的方法是很难证明的．

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