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阅读：留数定理能和安培环路定理

## 留数定理能和安培环路定理
首先我们看看**留数定理**的表述：

> 函数 $f(z)$ 在回路 $C$ 所围区域 $B$ 上除有限个孤立奇点 $b_j(j=1,2, \cdots, n)$ 外解析，在闭区域 $\bar{B}$ 上除前述孤立奇点外连续，我们有：
$$
\oint_C f(z) d z=2 \pi i \sum_{j=1}^n \operatorname{Res} f\left(b_j\right)
$$

简单来说**留数定理就是将一个回路积分转变为被积函数在回路所围区域内所有奇点的留数之和**。

另一方面，我们来看看安培环路定理的表述：

> 稳恒磁场中，磁感性强度 $B$ 沿着环绕载流导线的任意闭合回路 $C$ 的路径积分，正比于 $C$ 包围的所有电流的代数和：
$$
\oint_C B \cdot d l =\mu_0 \sum_{j=1}^n I_{enc}
$$

简单来说**安培环路定理将 $B$ 的回路积分转变为回路内所有电流的代数和**。
由此可见这两者在数学形式上极为相似，等式左边均为一个回路积分，而等式右边都与左边被积函数奇异性（留数与 $f(z)$ 的孤立奇点有关，电流与 $\nabla \times B$ 的奇异性有关）相关的量的代数和。

这种巧合也暗示了我们它们两者可能在某些层面上彼此有联系。

安培环路定理示意图，详见 [安培环路定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1164)

![图片](/uploads/2025-06/6f8061.jpg){width=500px}
 
 ## 从留数定理推导安倍环路定理
 
 事实上通过构造合适的复磁场，安培环路定理可以从留数定理推导而来
 不过，在推导过程中，使用到了 [毕奥-萨伐尔定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1161)
   ![图片](/uploads/2025-06/bfac79.jpg)
 
 由于复变函数 $f(z)=x+y i$ 具有两个分量 $(x, y)$ ，而磁感应强度 $B$ 有三个分量 $\left(B_x, B_y, B_z\right)$ ，自然想到应该将磁场的讨论限制到一个平面上。

我们首先考虑这样一个简单情形：

有一长直载流导线沿着 $z$ 轴，电流大小为 $I$ ，方向垂直纸面向外。我们选取 $x-y$ 平面上的闭合回路 $C$ ，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-06/0b1d04.jpg)
 
 对于 $x-y$ 平面上的磁感应强度，我们可以将它表示为：

$$
B =B_x \hat{x}+B_y \hat{y}=-\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \frac{y}{x^2+y^2} \hat{x}+\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \frac{x}{x^2+y^2} \hat{y}
$$

我们可以构造一个复变函数（或者说复磁场）：

$$
\widetilde{B}=B_y+i B_x=\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \frac{x-i y}{x^2+y^2}=\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \frac{1}{z}
$$

其中 $z=x+i y$ ，我们可以得知 $\widetilde{B}(z)$ 是全复平面上除 $z=0$ 以外处处解析的函数，通过留数定理我们可以知道：

$$
\oint_C \widetilde{B}(z) d z=2 \pi i \cdot \operatorname{Res}[\widetilde{B}(z), z=0]=i \mu_0 I
$$

另一方面，我们可以将上式改写为：

$$
\begin{aligned}
\oint \widetilde{B}(z) d z & =\oint_C\left(B_y+i B_x\right)(d x+i d y) \\
& =\oint_C\left(B_y d x-B_x d y\right)+i \oint_C\left(B_x d x+B_y d y\right) \\
& =i \mu_0 I
\end{aligned}
$$

对比实部和虚部，我们可以得到：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\oint_C\left(B_y d x-B_x d y\right)=0 \\
\oint_C\left(B_x d x+B_y d y\right)=\mu_0 I
\end{array}\right.
$$

上述第一行等式可以形式上理解为磁场的高斯定理2D版，（这是因为 $B_y$ 穿过 $d x, ~ B_x$ 穿过 $d y$ ，此积分对应2D版本的通量）

而第二行等式正是磁感应强度 $B$ 的回路积分，它正是我们最终要推导出的安培环路定理：

$$
\oint_C B \cdot d l =\oint_C\left(B_x d x+B_y d y\right)=\mu_0 I
$$

**所以这两个等式实际蕴含了麦克斯韦方程组描述静磁场的两个方程。**

上面我们已经论证了回路内包含一个电流的情况，对于回路内含有多种电流的情况，我们可以考虑一系列足够小的回路 $C_1, C_2, \ldots, C_n$ 使得包围各自的电流，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-06/288ce4.jpg)

由 $C, C_1, C_2, \ldots, C_n$ 共同组成的一个回路，我们可以知道 $\widetilde{B}(z)$ 在此区域内是一个解析函数，则由柯西积分公式，我们可知：

$$
\int_C \widetilde{B}(z) d z-\int_{C_1} \widetilde{B}(z) d z-\cdots-\int_{C_n} \widetilde{B}(z) d z=0
$$

而从前述仅含一个电流的推导中，我们可知

$$
\int_{C_j} \widetilde{B}(z) d z=i \mu_0 I_j, \quad(j=1,2, \ldots, n)
$$

整理之后，我们便可以得到回路包含 $n$ 个电流的情况：

$$
\oint_C \widetilde{B}(z) d z=i \mu_0\left(I_1+I_2+\cdots+I_n\right)
$$

同样地，我们也能得到对应的安培环路定理：

$$
\oint_C B \cdot d l =\oint_C\left(B_x d x+B_y d y\right)=\mu_0\left(I_1+I_2+\cdots+I_n\right)
$$

前面那张涉及 $N$ 个电流的回路图，和下面学习留数定理时使用的围道图  是不是异常相似。

![图片](/uploads/2025-06/a60129.jpg)
 
 ## 推广：应用到静电场
 讨论了静磁场之后，一个自然而然的想法是对于电场的情况又该如何？
我们将前述长直导线改为均匀带电 $\lambda$ 的无限长线电荷，坐标选取同上，如下图所示：
 
 ![图片](/uploads/2025-06/46f974.jpg)
 
 对于 $x-y$ 平面内的电场，我们可以表示为：

$$
E =E_x \hat{x}+E_y \hat{y}=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \frac{x}{x^2+y^2} \hat{x}+\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \frac{y}{x^2+y^2} \hat{y}
$$

同样构造复变函数（复电场 ）：

$$
\widetilde{E}(z)=E_x-i E_y=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \frac{x-i y}{x^2+y^2}=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \frac{1}{z}
$$

同样可知 $\widetilde{E}(z)$ 是全复平面上除 $z=0$ 以外处处解析的函数，通过留数定理可知：

$$
\oint_C \widetilde{E}(z) d z=2 \pi i \cdot \operatorname{Res}[\widetilde{E}(z), z=0]=\frac{i \lambda}{\epsilon_0}
$$

仿照前述讨论，将其展开，分别对比实部和虚部，我们最终可以得到：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\oint_C\left(E_x d x+E_y d y\right)=0 \\
\oint_C\left(E_y d x-E_x d y\right)=-\frac{\lambda}{\epsilon_0}
\end{array}\right.
$$

上述第一个等式正是我们理想中的结果，因为对于静电场来说，环绕一圈做的功的确为零：

$$
\oint_C E \cdot d l =\oint_C\left(E_x d x+E_y d y\right)=0
$$

同样的，而对于第二行的结果也可以形式上理解为 2 D 版本的电场高斯定理。
而这两个等式实际蕴含了麦克斯韦方程组描述静电场的两个方程。
对于环绕多个线电荷的情况与前述讨论磁场时相似，在此便不再赘述了。

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