最后更新: 2025-06-30 16:50 查看: 42 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

留数定理能和安培环路定理

## 留数定理能和安培环路定理
首先我们看看**留数定理**的表述：

> 函数 $f(z)$ 在回路 $C$ 所围区域 $B$ 上除有限个孤立奇点 $b_j(j=1,2, \cdots, n)$ 外解析，在闭区域 $\bar{B}$ 上除前述孤立奇点外连续，我们有：
$$
\oint_C f(z) d z=2 \pi i \sum_{j=1}^n \operatorname{Res} f\left(b_j\right)
$$

简单来说**留数定理就是将一个回路积分转变为被积函数在回路所围区域内所有奇点的留数之和**。

另一方面，我们来看看安培环路定理的表述：

> 稳恒磁场中，磁感性强度 $B$ 沿着环绕载流导线的任意闭合回路 $C$ 的路径积分，正比于 $C$ 包围的所有电流的代数和：
$$
\oint_C B \cdot d l =\mu_0 \sum_{j=1}^n I_{enc}
$$

简单来说**安培环路定理将 $B$ 的回路积分转变为回路内所有电流的代数和**。
由此可见这两者在数学形式上极为相似，等式左边均为一个回路积分，而等式右边都与左边被积函数奇异性（留数与 $f(z)$ 的孤立奇点有关，电流与 $\nabla \times B$ 的奇异性有关）相关的量的代数和。

这种巧合也暗示了我们它们两者可能在某些层面上彼此有联系。

安培环路定理示意图，详见 [安培环路定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1164)

![图片](/uploads/2025-06/6f8061.jpg){width=500px}
 
 ## 从留数定理推导安倍环路定理
 
 事实上通过构造合适的复磁场，安培环路定理可以从留数定理推导而来
 不过，在推导过程中，使用到了 [毕奥-萨伐尔定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1161)
   ![图片](/uploads/2025-06/bfac79.jpg)
 
 由于复变函数 $f(z)=x+y i$ 具有两个分量 $(x, y)$ ，而磁感应强度 $B$ 有三个分量 $\left(B_x, B_y, B_z\right)$ ，自然想到应该将磁场的讨论限制到一个平面上。

我们首先考虑这样一个简单情形：

有一长直载流导线沿着 $z$ 轴，电流大小为 $I$ ，方向垂直纸面向外。我们选取 $x-y$ 平面上的闭合回路 $C$ ，如下图所示：

![图片](/uploads/2025-06/0b1d04.jpg)
 
 对于 $x-y$ 平面上的磁感应强度，我们可以将它表示为：

$$
B =B_x \hat{x}+B_y \hat{y}=-\frac{\mu_0 I}{2 \pi} \f

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