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概率空间

## 1.1 概率空间

1．1．1 样本空间

随机试验是概率论的基本概念，试验的结果事先不能准确地预言，但具有如下三个特性：
（1）可以在相同的条件下重复进行；
（2）每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能的结果；
（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现．
基本概念：
- 样本点 $(\omega)$ ：随机试验的基本结果；
- 样本空间 $(\Omega)$ ：随机试验所有可能结果组成的集合；
- 基本事件：$\Omega$ 中的样本点 $\omega$ ；
- 必然事件：样本空间 $\Omega$ ；
- 不可能事件：空集 $\emptyset$ ；
- 事件：由基本事件组成的 $\Omega$ 中的子集 $A$ 。

例1．1 如果想研究掷一次硬币的结果，可以用如下的 $\Omega$ 表示样本空间：

$$
\Omega=\{H, T\} .
$$

其中 $H$ 表示正面，$T$ 表示反面。
例1．2 如果想研究掷两次硬币的结果，可以用如下的 $\Omega$ 表示样本空间：

$$
\Omega=\{H H, H T, T H, T T\} .
$$

集合（事件）的运算法则：
- 交和并都满足交换律：$A \cap B=B \cap A, A \cup B=B \cup A$ ；
- 交和并都满足结合律：$A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C, A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C$ ；
- 交和并之间都满足分配律：$(A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C)$ ， $(A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C)$ ；
－德摩根律（对偶法则）：$(A \cup B)^c=A^c \cap B^c,(A \cap B)^c=A^c \cup B^c$ 。

## 1．1．2 $\sigma$ 代数

定义1．1设 $\Omega$ 是一个样本空间（或任意一个非空集合）， $F$ 是 $\Omega$ 的某些子集组成的集合族，满足：
（1）$\Omega \in F$ ；
（2）若 $A \in F$ ，则 $A^c=\Omega \backslash A \in F$ ；
（3）若 $A_n \in F , n=1,2, \ldots$ ，则 $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in F$ ．
则称 $F$ 为 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$ 代数（或事件域，或 $\sigma$ 域）．$(\Omega, F )$ 称为可测空间， $F$ 中的元素称为随机事件，简称事件。
$\sigma$ 代数 $F$ 的性质：
（1）$\Omega \in F , \emptyset \in F$ ；
（2）对求余运算封闭；
（3）对有限并和可列并封闭；
（4）对有限交和可列交封闭；
（5）对减法封闭．
称事件 $A, B$ 互不相容，若 $A \cap B=\emptyset$ 。

以 $\Omega$ 的某些子集为元素的集合称为 $(\Omega$ 上的）集类．对于 $\Omega$ 上的任一非空集类 $C$ ，存在包含 $C$ 的最小 $\sigma$ 代数，即

$$
\bigcap\{ H \mid H \text { 为包含 } C \text { 的 } \sigma \text { 代数 }\} \text {, }
$$

称为由 $C$ 生成的 $\sigma$ 代数，记为 $\sigma( C )$ ．
例1．3 设 $G$ 为 $\sigma$ 代数，则 $\{\Omega, \emptyset\} \subset G$ 。
$\{\Omega, \emptyset\}$ 也是一个 $\sigma$ 代数．
例1．4 设 $A \subset \Omega, ~ A \neq \Omega, A \neq \emptyset$ 。构造一个 $\sigma$ 代数。
取 $\sigma(\{A\})=\left\{\Omega, \emptyset, A, A^c\right\}$ 。这代表了与事件 $A$ 有关的四种情况：一定发生，一定不发生，$A$ 发生，$A$不发生。这个 $\sigma$ 代数包含了 $A$ 是否发生的信息，如果关于 $\omega \in \Omega$ 知道 $A$ 是否发生的信息，则对任意 $C \in \sigma(\{A\})$ 都可以判断 $\omega \in C$ 是否成立。

比如，设概率空间 $\Omega$ 为掷一次骰子的结果，则

$$
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}
$$

令 $A$ 表示＂郑出偶数点＂，则

$$
\sigma(\{A\})=\{\Omega, \emptyset,\{2,4,6\},\{1,3,5\}\} .
$$

这个 $\sigma$ 代数包含了是否掷出偶数点的信息，对 $\omega \in \Omega$ ，如果我们知道其奇偶信息，则对任意 $C \in \sigma(\{A\})$都可以判断 $\omega \in C$ 是否成立。所以＂知道 $\sigma(\{A\})$ 的信息＂，准确含义是对任意 $\omega \in \Omega$ 以及任意 $C \in \sigma(\{A\})$ ，都可以判断 $\omega \in A$ 是否成立。

如果要研究掷一次骰子结果为 2 点或 3 点的问题，则令 $B$ 表示＂结果为 2 点或 3 点＂，$\sigma$ 代数为

$$
\sigma(\{B\})=\{\Omega, \emptyset,\{2,3\},\{1,4,5,6\}\} .
$$

这个 $\sigma$ 代数包含了是否掷出 2 点或 3 点的信息。

例1．5 如果想分别研究掷一次骰子出现 2 以及出现 3 的问题，就需要将 2 点和 3 点作为两个事件。令 $A$ 表示 2点，$B$ 表示 3 点，则 $\sigma$ 代数为

$$
\begin{aligned}
\sigma(\{A, B\}) & =\left\{\Omega, \emptyset, A, B, A^c, B^c, A \cup B,(A \cup B)^c\right\} \\
& =\{\Omega, \emptyset,\{2\},\{1,3,4,5,6\},\{3\},\{1,2,4,5,6\},\{2,3\},\{1,4,5,6\}\}
\end{aligned}
$$

注意在本例中 $A \cap B=\emptyset$ ，否则还要包含 $A \cap B, A \backslash B, B \backslash A$ 。
例1．6 考虑连续抛郑3此硬币的问题，给出有关的 $\sigma$ 代数。
解答：用 $H$ 表示正面，$T$ 表示反面 $\Omega$ 是所有 $2^3=8$ 种结果的集合， $F$ 是所有的 $2^8$ 个 $\Omega$ 子集的集合。令

$$
\begin{aligned}
A_H & =\{H H H, H H T, H T H, H T T\} \\
A_T & =\{T H H, T H T, T T H, T T T\}=A_H^c \\
F _1 & =\sigma\left(\left\{A_H\right\}\right)=\left\{\Omega, \emptyset, A_H, A_T\right\}
\end{aligned}
$$

则 $F _1$ 包含了第一次抛掷的结果信息，如果对 $\omega \in \Omega$ 已知第一次抛掷结果（可以不知道随后两次的结果信息），则对任意 $C \in F _1$ 都可以判断 $\omega \in C$ 是否成立。

$$
\begin{aligned}
A_{H H} & =\{H H H, H H T\} & A_{H T}=\{H T H, H T T\}, \\
A_{T H} & =\{T H H, T H T\} & A_{T T}=\{T T H, T T T\} \\
F _2 & =\sigma\left(\left\{A_{H H}, A_{H T}, A_{T H}, A_{T T}\right\}\right), &
\end{aligned}
$$

则 $F _2$ 包含了前两次抛掷的结果信息，如果对 $\omega \in \Omega$ 已知前两次抛郑的具体结果（可以不知道第三次具体结果），则对任意 $C \in F _2$ ，可以判断 $\omega \in C$ 是否成立。
$F _3= F$ 则包含了所有三次抛掷的结果信息，对 $\omega \in \Omega$ ，必须明确知道 $\omega$ 的三次抛掷的所有信息，才能对 $F _3$ 中每个事件 $C$ 都能判断是否 $\omega \in C$ 。 有

$$
F _1 \subset F _2 \subset F _3
$$

所包含的信息是逐次递增的。

总之，对于一个 $\sigma$ 代

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