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随机变量与分布函数

## 1．2．1 随机变量

定义1．6 设 $(\Omega, F , P)$ 是（完备的）概率空间，$X$ 是定义在 $\Omega$ 上取值于实数集 $R$ 的函数，如果对任意实数 $x \in R$ ， $\{\omega: X(\omega) \leq x\} \in F$ ，则称 $X(\omega)$ 是 $F$ 上的随机变量，简称为随机变量．

$$
F(x)=P(\omega: X(\omega) \leq x),-\infty<x<\infty
$$

称为随机变量 $X$ 的分布函数．
随机变量 $X$ 是概率空间模型中用数字值表示随机试验结果的一种数学模型。 $X$ 不仅仅是 $\omega \in \Omega$ 的函数，还要求可测性：即 $\{\omega: X(\omega) \leq x\} \in F , \forall x$ 。 事实上，在概率空间 $(\Omega, F , P)$ 中，仅在 $F$ 中的事件信息才是可知并且可以计算概率的，随机变量的可测性要求就是要求随机变量所代表的信息属于可知的信息集合 $F$中。

随机变量的定义依赖 $\sigma$ 代数 $F$ 的选取，如果 $X$ 是 $(\Omega, F )$ 上的随机变量，而 $(\Omega, G )$ 也是可测空间，$X$ 不一定是 $(\Omega, G )$ 上的随机变量。随机变量定义不依赖于概率测度的选取。

随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 依赖于概率测度，设概率空间 $(\Omega, F , P)$ 中随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ， $(\Omega, F , Q)$ 也是概率空间，则 $X$ 在 $(\Omega, F , Q)$ 中的分布函数不一定等于 $F(x)$ 。

对于同一个分布函数 $F(x)$ ，在同一个概率空间中可以有不同的随机变量 $X, Y$ 都以 $F(x)$ 为分布函数，也可以有在不同的概率空间中的随机变量 $X, Y$ ，使其在自身定义的概率空间中分别以 $F(x)$ 为分布函数。

如果存在非负函数 $f(x)$ ，满足

$$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) d t
$$

则称 $f(x)$ 为随机变量 $X$ 或其分布函数 $F(x)$ 的分布密度．如果 $X$ 具有分布密度，则称 $X$ 为连续型随机变量；如果存在有限或者可列集合 $A$ 使得 $P(X \in A)=1$ ，则称 $X$ 为离散型随机变量。

定义1．7 两个随机变量 $X$ 与 $Y$ ，如果满足 $P(\omega \in \Omega: X(\omega) \neq Y(\omega))=0$ ，则称它们是等价的．
对于两个等价的随机变量，我们视为同一个．
定理1．1 下列命题等价：
（1）$X$ 是随机变量；
（2）$\{\omega: X(\omega) \geq x\} \in F , \forall x \in R$ ；
（3）$\{\omega: X(\omega)>x\} \in F , \forall x \in R$ ；
（4）$\{\omega: X(\omega)<x\} \in F , \forall x \in R$ ．
证明略。
注：习惯上将 $\{\omega: X(\omega) \geq x\}$ 记为 $\{X \geq x\}$ ．
例1．14 设事件 $A \in F$ ，令

$$
I_A(\omega)= \begin{cases}1, & \text { 若 } \omega \in A, \\ 0, & \text { 若 } \omega \notin A,\end{cases}
$$

则 $I_A(\omega)$ 是随机变量，简记为 $I_A$ 或 $I[A]$ ，称为 $A$ 的示性函数。

证明：对 $x<0,\left\{I_A \leq x\right\}=\emptyset \in F$ ；对 $0 \leq x<1,\left\{I_A \leq x\right\}=\le

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