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常用分布

## 1．2．3 常用分布

常用的两种类型随机变量：
（1）离散型随机变量 $X$ 的概率分布用分布列描述：

$$
p_k=P\left(X=x_k\right), \quad k=1,2, \ldots,
$$

定义

$$
f\left(x_k\right)=p_k, k=1,2, \ldots,
$$

称 $f(\cdot)$ 为 $X$ 的概率质量函数（PMF）。其分布函数为

$$
F(x)=\sum_{x_k \leq x} p_k
$$

（2）连续型随机变量 $X$ 的概率分布用概率密度 $f(x)$ 描述，其分布函数

$$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) d t
$$

1．2．3．1 退化分布
若随机变量 $X$ 只取常数 $c$ ，即

$$
P\{X=c\}=1
$$

则 $X$ 并不随机，但我们把它看作随机变量的退化情况更为方便，因此称之为退化分布，又称单点分布．

1．2．3．2 Bernoulli分布
在一次试验中，设事件 $A$ 出现的概率为 $p, 0 \leq p \leq 1$ ，不出现的概率为 $1-p$ ，称这样的试验为Bernoulli试验。称 $A$ 出现为成功，不出现为失败，$p$ 为成功概率，若以 $X$ 记事件 $A$ 出现（成功）的次数，即 $X=I_A$ ，则 $X$ 的可能取值仅为 0,1 ，其对应的概率为

$$
P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1
$$

1．2．3．3 二项分布
$n$ 重Bernoulli试验表示独立地重复进行 $n$ 次Bernoulli试验，设事件 $A$ 在每次试验中出现（成功）的概率均为 $p$ ， $0 \leq p \leq 1$ ，以 $X$ 记事件 $A$ 出现（成功）的次数，$X$ 的可能取值为 $0,1,2, \ldots, n$ ，其对应的概率为

$$
P\{X=k\}=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1, \ldots, n,
$$

则称之为以 $n$ 和 $p$ 为参数的二项分布，简记为 $X \sim B(n, p)$ ．
其中 $\binom{n}{k}$ 是从 $n$ 个不同号码中选取 $k$ 个的不同取法，称为 $n$ 取 $k$ 的组合数，计算公式为

$$
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

1．2．3．4 泊松分布  
若随机变量 $X$ 可取一切非负整数值，且

$$
P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, k=0,1, \ldots
$$

其中 $\lambda>0$ ，则称 $X$ 服从（速率）参数为 $\lambda$ 的泊松分布（Po

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