最后更新: 2025-07-13 10:31 查看: 24 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

事件发生时刻的条件分布

## 3．2．2 事件发生时刻的条件分布
定理3．5在已知 $[0, t]$ 内事件只发生一次的前提下，事件发生的时刻在 $[0, t]$ 上是均匀分布．
证明：对于 $s \leq t$ ，

$$
\begin{aligned}
& P\left(T_1 \leq s \mid N(t)=1\right)=\frac{P\left(T_1 \leq s, N(t)=1\right)}{P(N(t)=1)} \\
= & \frac{P(A \text { 发生在 } s \text { 时刻之前, }(s, t] \text { 内A没有发生 })}{P(N(t)=1)} \\
= & \frac{P(N(s)=1) \cdot P(N(t)-N(s)=0)}{P(N(t)=1)} \\
= & \frac{\lambda s e^{-\lambda s} \cdot e^{-\lambda(t-s)}}{\lambda t e^{-\lambda t}}=\frac{s}{t} .
\end{aligned}
$$

这个定理的逆命题也成立。设事件发生时间间隔 $X_n$ 独立同分布，$\{N(t)\}$ 是由 $\left\{X_n\right\}$ 定义的计数过程，设 $P\left(X_n=0\right)=0$ ，则若上述定理的条件分布成立，$\{X(t)\}$ 必为泊松过程。见（林元烈 2002）P．49定理 2．4．3。

定理3．6在已知 $N(t)=n$ 的条件下，事件发生的 $n$ 个时刻 $T_1, T_2, \ldots, T_n$ 的联合分布密度是

$$
f\left(t_1, t_2, \ldots, t_n\right)=\frac{n!}{t^n}, 0<t_1<t_2<\cdots<t_n
$$

即 $n$ 个独立同均匀分布 $U(0, t)$ 的随机变量的次序统计量的联合分布。

证明：设 $0<t_1<t_2<\cdots<t_n<t_{n+1}=t$ ．取 $h_i$ 充分小使得 $t_i+h_i<t_{i+1}, i=1,2, \ldots, n$ ，

$$
\begin{aligned}
& P\left(t_i<T_i \leq t_i+h_i, i=1,2, \ldots, n \mid N(t)=n\right) \\
= & \frac{P\left(N\left(t_i+h_i\right)-N\left(t_i\right)=1, N\left(t_{i+1}\right)-N\left(t_i+h_i\right)=0,1 \leq i \leq n, N\left(t_1\right)=0\right)}{P(N(t)=n)} \\
= & \frac{\lambda h_1 e^{-\lambda h_1} \cdots \lambda h_n e^{-\lambda h_n} e^{-\lambda\left(t-h_1-h_2-\cdots-h_n\right)}}{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n / n!} \\
= & \frac{n!}{t^n} h_1

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇： Xn 和 Tn 的分布

下一篇：非齐次泊松过程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)