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随机过程及其应用
第三篇 泊松过程
非齐次泊松过程
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更新:
2025-07-13 10:33
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非齐次泊松过程
3.3.1 非齐次泊松过程 当泊松过程的强度入不再是常数,而与时间 $t$ 有关时,泊松过程被推广为非齐次(非时齐)泊松过程.一般来说,非齐次泊松过程是不具备平稳增量的(见例3.8)。在实际中,非齐次泊松过程也是比较常用的。例如在考虑设备的故障率时,由于设备使用年限的变化,出故障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速度,会因各种外部条件的变化而随之不同;昆虫产卵的平均数量随年龄和季节而变化等。在这样的情况下,再用齐次泊松过程来描述就不合适了,于是改用非齐次的泊松过程来处理。 定义 3.5 计数过程 $\{N(t), t \geq 0\}$ 称做强度函数为 $\lambda(t)>0(t \geq 0)$ 的非齐次泊松过程,如果 (1)$N(0)=0$ ; (2)过程有独立增量; (3)$P(N(t+h)-N(t)=1)=\lambda(t) h+o(h)$ ; (4)$P(N(t+h)-N(t) \geq 2)=o(h)$ . 类似于泊松过程,非齐次泊松过程有如下的等价定义。 定义3.6 计数过程 $\{N(t), t \geq 0\}$ 称为强度函数为 $\lambda(t)>0(t \geq 0)$ 的非齐次泊松过程,若 (1)$N(0)=0$ ; (2)过程有独立增量; (3)对任意实数 $t \geq 0, s \geq 0, N(t+s)-N(t)$ 服从参数为 $$ m(t+s)-m(t)=\int_t^{t+s} \lambda(u) d u $$ 的泊松分布. 注:$m(t)=\int_0^t \lambda(s) d s$ .对齐次(时齐)的泊松过程,$m(t)=\
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