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转移速率矩阵

5．5．4 转移速率矩阵

对于连续时间马氏链来说，除了要考虑在某一时刻它将处于什么状态外，还关心它在离开这个状态之前会停留多长的时间，从连续时间的马氏性来看，因为已知 $t$ 时刻的状态后，未来的发展与 $t$ 时刻之前的轨迹无关，当然也与到 $t$ 时刻为止已经在当前状态停留的时间长度无关，所以系统在某一状态的＂停留时间＂具备＂无记忆性＂的特征，应该服从指数分布，下面我们给出一个具体的解释．

定理5．21 设 $\{X(t), t \geq 0\}$ 是连续时间马氏链，假定在时刻 0 过程刚刚到达 $i(i \in S)$ 。以 $\tau_i$ 记过程在离开 $i$ 之前在 $i$ 停留的时间，则 $\tau_i$ 服从指数分布．

证明：我们只需证明对 $s, t \geq 0$ ，有

$$
P\left\{\tau_i>s+t \mid \tau_i>s\right\}=P\left\{\tau_i>t\right\}
$$

即无记忆性。
注意到

$$
\begin{aligned}
& \left\{\tau_i>s\right\} \Longleftrightarrow\{X(u)=i, 0<u \leq s \mid X(0)=i\}, \\
& \left\{\tau_i>s+t\right\} \Longleftrightarrow \\
& \{X(u)=i, 0<u \leq s, X(v)=i, s<v \leq s+t \mid X(0)=i\},
\end{aligned}
$$

则

$$
\begin{aligned}
& P\left\{\tau_i>s+t \mid \tau_i>s\right\} \\
= & P\{X(u)=i, 0<u \leq s, X(v)=i, s<v \leq s+t \mid X(u)=i, 0 \leq u \leq s\} \\
= & P\{X(v)=i, s<v \leq s+t \mid X(s)=i\} \\
= & P\{X(u)=i, 0<u \leq t \mid X(0)=i\} \\
= & P\left\{\tau_i>t\right\}
\end{aligned}
$$
这里实际上利用了更强的马氏性： $F _s$ 下关于 $\sigma(\{X(u): u>s\})$ 可测随机变量的条件期望等于对 $X(s)$ 的条件期望。

由上述定理，实际上我们得到了另外一个构造连续时间马氏链的方法，它是具有如下两条性质的随机过程。
1．在转移到下一个状态之前处于状态 $i$ 的时间服从速率参数为 $\mu_i$ 的指数分布；
2．在过程离开状态 $i$ 时，将以概率 $p_{i j}$ 到达 $j$ ，且 $\sum_{j \in S} p_{i j}=1$ ．
定义 5.16 称一个连续时间马氏链是正则的，若以概率 1 在任意有限长的时间内转移的次数是有限的．
对正则马氏链，其轨道是阶梯函数，且为右连续的，即

$$
\lim _{h \downarrow 0} X(t+h)=X(t), \text { a.s. }
$$

如果非正则，就存在一个 $\tau<\infty$ ，在 $t \rightarrow \tau$ —时转移间隔趋于零，在 $[0, \tau]$ 内发生无穷次转移，不容易定义 $t>\ta

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