最后更新: 2025-07-15 16:53 查看: 30 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Kolmogorov微分方程

5．5．5 Kolmogorov微分方程
为了简单起见，设状态空间为 $S=\{1,2, \ldots, n, \ldots\}$ ，下面的定理说明在一定条件下 $Q$ 矩阵可以决定转移概率矩阵函数 $P(t)$ 。

定理5．25（Kolmogorov微分方程）设连续时间马氏链 $\{X(t), t \geq 0\}$ 的Q矩阵是保守的，即

$$
\sum_{j \neq i} q_{i j}=-q_{i i}<\infty, \forall i \in S
$$

则对一切 $i, j \in S$ 和 $t \geq 0$ ，有
（1）向后方程：

$$
p_{i j}^{\prime}(t)=\sum_{k \neq i} q_{i k} p_{k j}(t)-q_i p_{i j}(t)=\sum_{k \in S} q_{i k} p_{k j}(t)
$$

写成矩阵形式即

$$
P^{\prime}(t)=Q P(t)
$$

（2）在适当的正则条件下，有向前方程：

$$
p_{i j}^{\prime}(t)=\sum_{k \neq j} p_{i k}(t) q_{k j} p_{i j}(t) q_j=\sum_{k \in S} p_{i k}(t) q_{k j}
$$

写成矩阵形式即

$$
P^{\prime}(t)=P(t) Q
$$

证明：
（1）这里只给出有限链时的证明，无限链时向后方程的证明见5．7．4。
由连续时间马氏链的C－K方程有

$$
p_{i j}(t+h)=\sum_{k \in S} p_{i k}(h) p_{k j}(t)
$$

或等价地

$$
p_{i j}(t+h)-p_{i j}(t) p_{i i}(h)=\sum_{k \neq i} p_{i k}(h) p_{k j}(t)
$$

变形为

$$
p_{i j}(t+h)-p_{i j}(t)=\sum_{k \neq i} p_{i k}(h) p_{k j}(t)+\left(p_{i i}(h)-1\right) p_{i j}(t) .
$$

于是

$$
\begin{aligned}
& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{p_{i j}(t+h)-p_{i j}(t)}{h} \\
= & \lim _{h \rightarrow 0} \sum_{k \neq i} \frac{p_{i k}(h)}{h} p_{k j}(t)+\lim _{h \rightarrow 0} \frac{p_{i i}(h)-1}{h} p_{i j}(t) \\
= & \sum_{k \neq i} q_{i k} p_{k j}(t)+q_{i i} p_{i j}(t) \\
= & p_{i j}^{\prime}(t)
\end{aligned}
$$

注意上面极限和求和交换次序在 $S$ 有限时一定可交换，在无限链时要进行更复杂的讨论。
（2）在（1）中计算 $t+h$ 的状态时是对退后 $t$ 时长到时刻 $h$ 的状态来取条件的（所以称为后退方程），这里我们考虑对从时刻 0 前进 $t$ 时长到达时刻 $t$ 的状态取条件，用C－K方程

$$
p_{i j}(t+h)=\sum_{k \in S} p_{i k}(t) p_{k j}(h)
$$

同理得到

$$
\begin{aligned}
& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{p_{i j}(t+h)-p_{i j}(t)}{h} \\
= & \lim _{h \rightarrow 0}\left[\sum_{k \neq j} p_{i k}(t) \frac{p_{k j}(h)}{h}+\frac{p_{j j}(h)-1}{h} p_{i j}(t)\right] .
\end{aligned}
$$

对有限链，上式中极限与求和号可交换，即向前方程成立。
如果是无限链，极限与求和不一定能交换次序，需要添加额外的数学条件。

对有限链，给定 $Q$ 矩阵后有

$$
P(t)=e^{t Q}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} Q^k, \quad P^{\prime}(0)=Q
$$

对不可约有限链的极限分布由如下结果：

定理5．26 设 $\{X(t), t \geq 0\}$ 是状态有限的连续时间不可约马氏链，则极限分布存在：

$$
p_j=\lim _{t \rightarrow \infty} P(X(t)=j), \forall j \in S
$$

且极限分布是唯一的平稳分布，即：

$$
p_j=\sum_{i \in S} p_i p_{i j}(t), \forall t>0
$$

且 $\left\{p_j\right\}$ 满足

$$
p_j q_j=\sum_{k \neq j} p_k q_{k j}
$$

见（林元烈 2002）P．231定理6．3．4。
例5．31（泊松过程）利用Kolmogorov微分方程推导泊松过程的转移概率。
由泊松过程的等价定义，

$$
\begin{cases}p_{k, j}(h)=0, & j<k \\ p_{k, j}(h)=o(h), & j-k \geq 2 \\ p_{k, k+1}(h)=\lambda h+o(h) ; & \\ p_{k, k}(h)=1-\lambda h+o(h) & \end{cases}
$$

于是

$$
\left\{\begin{array}{l}
q_{k j}=0, \quad j<k \text { 或 } j \geq k+2 ; \\
q_{k, k+1}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{p_{k, k+1}(h)}{h}=\lambda ; \\
q_{k k}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-p_{k, k}(h)}{h}=\lambda .
\end{array}\right.
$$

利用Kolmogorov向后方程，

$$
p_{i j}^{\prime}(t)=\sum_{k \neq i} q_{i k} p_{k j}(t)-q_{i i} p_{i j}(t)
$$

上式求和中仅 $k=i+1$ 的项非零，故

$$
\begin{aligned}
p_{i j}^{\prime}(t) & =q_{i, i+1} p_{i+1, j}(t)-q_{i i} p_{i j}(t) \\
& =\lambda p_{i+1, j}(t)-\lambda p_{i j}(t)
\end{aligned}
$$

因为 $p_{i j

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：转移速率矩阵

下一篇：连续时间连续状态的马氏过程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)