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傅里叶变换的微分性质

## 傅里叶变换的微分性质
（1）像原函数的微分性质：

$$
\mathscr{F}\left[f^{\prime}(t)\right]=\mathrm{j} \omega \mathscr{F}[f(t)]=\mathrm{j} \omega F(\omega)
$$

更一般地，有

$$
\mathscr{F}\left[f^{(n)}(t)\right]=(\mathrm{j} \omega)^n \mathscr{F}[f(t)]=(\mathrm{j} \omega)^n F(\omega), \quad n=1,2, \cdots .
$$

（2）像函数的微分性质：

$$
F^{\prime}(\omega)=\mathscr{F}[-\mathrm{j} t f(t)] .
$$

更一般地，有

$$
F^{(n)}(\omega)=\mathscr{F}\left[(-\mathrm{j} t)^n f(t)\right], \quad n=1,2, \cdots .
$$

证（1）因为 $f(t)$ 满足傅里叶积分定理条件，所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)| \mathrm{d} t<+\infty$ ．于是 $\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=0$ ．

$$
\begin{aligned}
\mathscr{F}\left[f^{\prime}(t)\right] & =\int_{-\infty}^{+\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} f(t) \\
& =\left[f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t}\right]_{-\infty}^{+\infty}+\mathrm{j} \omega \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t \\
& =\mathrm{j} \omega F(\omega)
\end{aligned}
$$

用数学归纳法可证 $\mathscr{F}\left[f^{(n)}(t)\right]=(\mathrm{j} \omega)^n \mathscr{F}[f(t)]=(\mathrm{j} \omega)^n F(\omega)$ ．
（2）

$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(\omega) & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \omega} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \omega}\left[f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t}\right] \mathrm{d} t \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty}[-\mathrm{j} t f(t)] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t=\mathscr{F}[-\mathrm{j} t f(t)] .
\end{aligned}
$$

运用数学归纳法可证 $F^{(n)}(\omega)=\mathscr{F}\left[(-\mathrm{j} t)^n f(t)\right], n=1,2, \cdots$ ．
在求 $F^{\prime}(\omega)$ 的过程中，交换了积分运算与微分运算的次序，这是需要一定条件的．在这里特别指出，对 $n$ 阶导数，再附加条件 $\int_{-\infty}^{+\infty}\left|t^n f(t)\right| \mathrm{d} t<+\infty(n=1,2, \cdots)$ ，上述运算次序就可以交换了。

## 理解：微分性质

### **0 什么是变换？**
在学习指数和对数的时候，我们了解到利用对数可以将乘除、幂次转化为加减、乘除。

例．计算 $12345 \times 67890$ ．
解答．通过查对数表得到

$$
\ln 12345 \approx 9.4210, \quad \ln 67890 \approx 11.1256 .
$$

将二者相加并通过反查对数表得到原值

$$
12345 \times 67890 \approx \exp (20.5466) \approx 8.3806 \times 10^8 .
$$

### 1. 先回忆一下傅里叶变换是干什么的

傅里叶变换可以把一个 **时间信号** $ f(t) $ 变成它的 **频率表示** $ F(\omega) $：

$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt
$$

通俗说：  
**$ f(t) $ 描述信号随时间怎么变，$ F(\omega) $ 描述信号由哪些频率的成分组成，每个频率的振幅多大。**
 
 
  ![图片](/uploads/2026-03/f195fb.jpg){width=400px}

---

### 2. 微分性质的核心内容

傅里叶变换有一个很重要的性质（微分性质）：

> 对原函数 $ f(t) $ 求导（比如 $ f'(t) $），它的傅里叶变换就等于原函数的傅里叶变换 $ F(\omega) $ 乘以 $ i\omega $。

公式是：

$$
\mathcal{F}\{ f'(t) \} = i\omega \cdot F(\omega)
$$

其中 $ F(\omega) = \mathcal{F}\{ f(t) \} $。

---

### 3. 直观理解

想象一个信号 $ f(t) $ 变化很快——陡峭的上升和下降，意味着它含有较多的高频成分。

在频率域，每个频率 $ \omega $ 对应的分量大小，就是 $ F(\omega) $ 的大小。

如果我们对信号求导，就是考察它的变化率。

- 变化剧烈的地方 → 求导后幅值会更大。  
- 在频率域，“求导”这个操作会放大高频部分的贡献，因为：
$$
i\omega \times F(\omega)
$$
这里 $ i\omega $ 相当于一个“滤波器”，对每个频率分量乘上它的频率 $ \omega $（和 90° 相位旋转 $ i $）。

所以：  
**求导 = 在频率域把高频成分乘上它的频率值，让高频更突出。**

---

### 4. 例子

比如 $ f(t) = \sin(2t) $，频率是 $ 2 $ 弧度每秒。

傅里叶变换 $ F(\omega) $ 会在 $ \omega = 2 $ 和 $ \omega = -2 $ 处有冲击。

求导：
$$
f'(t) = 2 \cos(2t)
$$

在频率域，$ 2\cos(2t) $ 对应的频率还是 $ \omega = \pm 2 $，幅值是 $ \pi $ 乘 2（具体系数略，关键是幅值乘以 $ \omega $）。

这正是 $ i\omega \cdot F(\omega) $ 的结果。

---

### 5. 推广到高阶导数

多次求导：  
$$
\mathcal{F}\{ f^{(n)}(t) \} = (i\omega)^n F(\omega)
$$

即：时域的 n 次求导，等于频率域原频谱乘以 $ (i\omega)^n $。

---

### 6. 应用中的意义

- 在解微分方程时，可以把时域微分方程变成频域的代数方程，更容易求解。
- 在信号处理中，微分性质可用于设计高通滤波器、求信号变化率等。
- 还用于分析系统的频率响应：输出信号的傅里叶变换 = 输入信号傅里叶变换 × 系统函数。

---

### 7. 一句话总结

**对时间信号求导，在频率域相当于原信号的频谱乘上 $ i\omega $，这会放大高频成分，反映在时域就是信号的变化率被提取出来了。**

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