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傅里叶变换背景12-傅里叶变换的微积分特性

> 通过傅里叶变换，我们可以把时域信号转换成频域，也可以将频域信号转换到时域，这都是其最基本的用途。但既然费那么大劲学了傅里叶变换，就要物尽其用，比如，我们可以利用傅里叶变换的微分特性来解微分方程。再比如，有时候我们用加速度传感器测量一个振动的信号，但却想得到速度的振动信号，这可以通过傅里叶变换的积分特性解决：本篇介绍傅里叶变换的微积分特性。

## 1．时域微分特性

**1.1 抛出问题**
如何求解下面的微分方程？

$$
y^{\prime \prime}(x)-y(x)=\delta(x)
$$

假如没有学过傅里叶变换，通过特解＋通解的方式来解还是有点困难的，下面在介绍完时域微分特性后利用傅里叶变换来进行解答。

**1.2 理论介绍－时域微分特性**

傅里叶变换的时域微分特性表述为：若 $f(t) \longleftrightarrow F(j \omega)$ ，则 $f^{(n)}(t) \longleftrightarrow(j \omega)^n F(j \omega)$

证明方法一：

在冲激函数与卷积的多次邂逅这篇文章中，我们已经推出：
冲激函数的 $n$ 阶导数 $\delta^{(n)}(t)$ 的定义：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{(n)}(t) d t=(-1)^n f^{(n)}(0)
$$

以及，冲激函数与卷积的第三次邂逅：

$$
f(t) * \delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)
$$

由冲激函数的 $n$ 阶导数 $\delta^{(n)}(t)$ 的定义推出其傅里叶变换为：

$$
\delta^{(n)}(t) \longleftrightarrow F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta^{(n)}(t) e^{-j \omega t} d t=\left.(-1)^{(n)} \cdot\left(e^{-j \omega t}\right)^{(n)}\right|_{t=0}=(j \omega)^n
$$

再由冲激函数与卷积的第三次邂逅结合傅里叶变换的时域卷积定理，可以得到：

$$
f^{(n)}(t)=f(t) * \delta^{(n)}(t) \longleftrightarrow(j \omega)^n F(j \omega)
$$

上式便是傅里叶变换的时域微分特性，不过证明过程有点炫技了。有句话说得好，大音希声，大象无形。我们也可以直接求导，请看证明方法二：

因为 $f(t)$ 和其傅里叶变换 $F(j \omega)$ 的关系为：

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega
$$

等号两边同时求 $n$ 阶导数，有：

$$
f^{(n)}(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}(j \omega)^{(n)} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega
$$

对比傅里叶逆变换公式，有：

$$
f^{(n)}(t) \longleftrightarrow(j \omega)^n F(j \omega)
$$

**1.3 问题解决**

对于微分方程 $y^{\prime \prime}(x)-y(x)=\delta(x)$ ，我们对等号两边同时进行傅里叶变换有：

$$
(

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