最后更新: 2026-03-08 11:10 查看: 138 次纠错评论(0) 课件开VIP

傅里叶变换的积分特性

## 傅里叶变换的积分特性

设 $g(t)=\int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t$ 且 $t \rightarrow+\infty$ 时，$g(t) \rightarrow 0$ ．则

$$
\mathscr{F}[g(t)]=\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{\mathrm{j} \omega} \mathscr{F}[f(t)]=\frac{1}{\mathrm{j} \omega} F(\omega)
$$

更一般地，若 $\lim _{t \rightarrow+\infty} \underbrace{\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^t \cdots \int_{-\infty}^t}_{k \text { 次 }} f(t) \mathrm{d} t \mathrm{~d} t \cdots \mathrm{~d} t=0, k=1,2, \cdots, n$ ，则

$$
\mathscr{F}[\underbrace{\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^t \cdots \int_{-\infty}^t}_{n \text { 次 }} f(t) \mathrm{d} t \mathrm{~d} t \cdots \mathrm{~d} t]=\frac{1}{(\mathrm{j} \omega)^n} F(\omega), \quad n=1,2, \cdots .
$$

证 因 $g^{\prime}(t)=f(t)$ ，所以

$$
\mathscr{F}\left[g^{\prime}(t)\right]=\mathrm{j} \omega \mathscr{F}[g(t)]=\mathscr{F}[f(t)]=F(\omega) .
$$

故

$$
\mathscr{F}[g(t)]=\frac{1}{\mathrm{j} \omega} \mathscr{F}[f(t)]=\frac{1}{\mathrm{j} \omega} F(\omega),
$$

即

$$
\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^t f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{\mathrm{j} \omega} F(\omega) .
$$

高阶的，运用数学归纳法可证成立．

## 理解：积分特性

理解傅里叶变换的积分性质，可以从**数学对应关系**和**物理直觉**两个维度入手。

既然你已经看到了公式$ \mathcal{F}[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau] = \frac{F(\omega)}{j\omega} + \pi F(0)\delta(\omega) $，我们可以这样来拆解它的内涵：

### 1. 从数学运算的对应去理解

傅里叶变换的核心思想之一是：**将一个域（时域）里的复杂运算，映射成另一个域（频域）里的简单运算。**

-   **时域的微分**$ \longleftrightarrow $ **频域的乘法**（乘以$ j\omega $）。
-   **时域的积分**$ \longleftrightarrow $ **频域的除法**（除以$ j\omega $）。

**为什么是除法？**
因为积分是微分的逆运算。既然微分$ \frac{d}{dt} $ 在频域变成了$ j\omega $，那么作为逆运算的积分$ \int $ 自然在频域就变成了倒数$ \frac{1}{j\omega} $。

### 2. 从滤波器的角度去理解（物理直觉）

可以把积分运算看作一个**低通滤波器**，这个比喻能帮你建立直观的物理图像：

-   **分母$ j\omega $ 的作用**：在频域中除以$ j\omega $。
    -   当$ \omega $ **很小**（低频信号）时，\( \frac{1}{j\omega} $ 的值很大。这意味着积分器**允许低频信号通过，甚至将其放大**。
    -   当$ \omega $ **很大**（高频信号，即变化很快的信号）时，\( \frac{1}{j\omega} $ 的值趋近于 0。这意味着积分器**抑制高频信号**（因为快速震荡的东西被累积后正负抵消了）。

-   **时域的解释**：积分求的是面积。高频信号震荡太快，正负面积抵消，所以对总面积的贡献很小；低频信号（尤其是直流）则能持续累加出很大的面积。

### 3. 如何理解公式里的冲击项$ \pi F(0)\delta(\omega) $？

这是初学者最容易困惑的地方，但它其实是在处理**“积分产生的常数项”**。

-   **问题所在**：假如你有一个纯直流信号$ f(t)=1 $。
    -   它的傅里叶变换是$ 2\pi\delta(\omega) $。
    -   如果直接套用$ \frac{F(\omega)}{j\omega} $，会得到$ \frac{2\pi\delta(\omega)}{j\omega} $，这在数学上是很棘手的（除以零）。
-   **物理含义**：对信号做积分，结果会累积出一个**直流分量**。
    -   如果原始信号$ f(t) $ 本身就有直流成分（\( F(0) eq 0 $），积分后这个直流成分会随时间无限增长。这个无限增长的趋势，在频域里就需要用一个冲击函数$ \delta(\omega) $ 来表示。

**总结一下：**

可以把积分性质理解为：**“在时域里算面积，相当于在频域里压低高频、提升低频。如果原始信号有直流，积分后会产生一个需要单独处理的 ramp（斜坡）分量。”**

## 2．时域积分特性

**2.1 问题抛出**

已知函数 $f(t)$ 如下图，求其傅里叶变换。

![图片](/uploads/2025-07/3e43b1.jpg)

**2.2 理论介绍－时域积分特性**

傅里叶变换的时域积分特性：

$$
\int_{-\infty}^t f(x) d x \longleftrightarrow \pi F(0) \delta(\omega)+\frac{F(j \omega)}{j \omega}
$$

其中：$F(0)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t$

证明：

$$
\int_{-\infty}^t f(x) d x=\varepsilon(t)^* f(t) \longleftrightarrow\left[\pi \delta(\omega)+\frac{1}{j \omega}\right] F(j \omega)=\pi F(0) \delta(\omega)+\frac{F(j \omega)}{j \omega}
$$

这个公式还有两个推论比较重要，先介绍推论1：

#### **推论1**

若 $f^{\prime}(t) \longleftrightarrow F_1(j \omega)$ ，则

$$
\boxed{
f(t) \longleftrightarrow \frac{F_1(j \omega)}{j \omega}+\pi[f(-\infty)+f(\infty)] \delta(\omega)
}
$$

证明：
$$
\begin{aligned}
f(t)-f(-\infty)=\int_{-\infty}^t f^{\prime}(\tau) d \tau \longleftrightarrow & \pi F_1(0) \delta(\omega)+\frac{1}{j \omega} F_1(j \omega) \\
& =\frac{1}{j \omega} F_1(j \omega)+\pi \int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(t) d t \delta(\omega) \\
& =\frac{1}{j \omega} F_1(j \omega)+\pi[f(\infty)-f(-\infty)] \delta(\omega)
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
f(t)-f(-\infty) \longleftrightarrow F(j \omega)-2 \pi f(-\infty) \delta(\omega)
$$

所以：

$$
F(j \omega)-2 \pi f(-\infty) \delta(\omega)=\frac{1}{j \omega} F_1(j \omega)+\pi[f(\infty)-f(-\infty)] \delta(\omega)
$$

移项，得：

$$
F(j \omega)=\frac{1}{j \omega} F_1(j \omega)+\pi[f(\infty)+f(-\infty)] \delta(\omega)
$$

证毕．

举个最简单的例子来看看推论1的性质有多好用吧，比如我们知道冲激函数的傅里叶变换为：

$$
d \varepsilon(t) / d t=\delta(t) \longleftrightarrow 1
$$

那么直接利用推论 1 就可以得到：

$$
\varepsilon(t) \longleftrightarrow 1 /(j \omega)+\pi \delta(\omega)
$$

还有一个重要的推论，记为推论2：

#### **推论2**
$$
\begin{aligned}
& \text { 若 } f^{(n)}(t) \longleftrightarrow F_n(j \omega), ~ \text { 且 } \pi[f(-\infty)+f(\infty)]=0 \\
& \text { 则 }: f(t) \longleftrightarrow \frac{F_n(j \omega)}{(j \omega)^n}
\end{aligned}
$$

证明过程就不详细展开了，根据推论1也可以直接理解推论2．

**2.3 问题解决**

已知 $f(t)$ ，画出 $f^{\prime}(t) 、 f^{\prime \prime}(t)$ 的图形如下图：
 ![图片](/uploads/2025-07/7e8c53.jpg)
 
 求 $F(j \omega)$ 过程如下：

$$
\begin{aligned}
& f^{\prime \prime}(t) \longleftrightarrow \delta(t+2)-2 \delta(t)+\delta(t-2) \\
& F_2(j \omega)=e^{j 2 \omega}-2+e^{-j 2 \omega}=2 \cos (2 \omega)-2 \\
& F(j \omega)=\frac{F_2(j \omega)}{(j \omega)^2}=\frac{2-2 \cos (2 \omega)}{\omega^2}=4 S a^2(\omega)
\end{aligned}
$$

## 3．频域微积分特性  
因为时域微积分特性可以用在加速度速度位移信号的相互转换上，而频域微积分特性实在难以想到有什么用途，所以仅罗列出来，并放个书本上的例题吧：
`例`
$$
\begin{aligned}
\text { 若 } f(t) \longleftrightarrow & F(j \omega) \\
\text { 频域微分 }: & (-j t)^n f(t) \longleftrightarrow F^{(n)}(j \omega) \\
\text { 频域积分 }: & \pi f(0) \delta(t)+\frac{f(t)}{-j t} \longleftrightarrow \int_{-\infty}^{\infty} F(j x) d x \\
& \text { 其中 } f(0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) d \omega
\end{aligned}
$$

已知 $f(t)=t \varepsilon(t)$ ，求 $F(j \omega)$ ．
$$
\begin{aligned}
& \varepsilon(t) \longleftrightarrow \pi \delta(\omega)+\frac{1}{j \omega} \\
& -j t \varepsilon(t) \longleftrightarrow \frac{d}{d \omega}\left[\pi \delta(\omega)+\frac{1}{j \omega}\right] \\
& t \varepsilon(t) \longleftrightarrow j \pi \delta^{\prime}(\omega)-\frac{1}{\omega^2}
\end{aligned}
$$

本文首发于微信公众号：振动信号研究所

https://zhuanlan.zhihu.com/p/576184192

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