最后更新: 2025-08-01 08:05 查看: 52 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

傅里叶变换背景13-傅里叶级数与傅里叶变换的关系

## 傅里叶级数与傅里叶变换的关系
本文严密推导并详细闸述了傅里叶变换和傅里叶级数之间的关系，总结本文推导出的公式的主要作用如下：
（1）已知周期信号的傅里叶级数，可以快速求出其傅里叶变换。
（2）已知周期信号 $f_T(t)$ 一个周期内的截断函数 $f_0(t)$ 的傅里叶变换，可以快速求出 $f_T(t)$的傅里叶变换。
（3）已知周期信号 $f_T(t)$ 一个周期内的截断函数 $f_0(t)$ 的傅里叶变换，也可以快速求出 $f_T(t)$ 的傅里叶级数。

1．公式回顾
我们知道，周期信号可以分解成三角函数集或虚指数函数集的线性组合（傅里叶级数），进而可以得到单边谱或双边谱，但是非周期信号却不能用傅里叶级数来表示。在傅里叶变换那点事这篇文章中，我们通过把非周期信号看成是周期无穷大的周期信号，从傅里叶级数推导出了傅里叶变换，现在来回顾一下：

对周期为 $T$ 的信号进行分解得到的傅里叶级数的系数 $F_n$ 可以表示为下式

$$
F_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j n \Omega t} d t
$$

通过把非周期信号看成是周期无穷大的周期信号，得到的傅里叶变换的系数 $F(j \omega)$ 可以表示为下式：

$$
F(j \omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} F_n T
$$

$F(j \omega)$ 其实代表的是频谱密度函数 ${ }^{+}$，简称频谱。这便是公式上的联系。

2．周期信号的傅里叶变换
从前面系列的文章中，我们知道对于周期信号，我们可以求傅里叶级数得到频谱；对于非周期信号（满足狄利克雷条件 ${ }^{+}$为前提），我们可以求傅里叶变换得到频谱。但是，对于周期信号，我们能不能求其傅里叶变换呢？

根据公式回顾，可以这么想：对于周期信号，通过傅里叶级数得到的频谱为离散谱，其中任意一根频谱，对应的值肯定是常数。根据公式 $F(j \omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} F_n T$ ，那么周期信号的通过傅里叶变换得到的系数也一定为离散谱，且对任一频谱，其值为无穷大。无穷大究竟为多大呢？仅仅通过这个公式好像无法得到周期信号的傅里叶变换的系数的具体表达式。

只要思想不滑坡，办法总比困难多，下面我们就通过傅里叶变换的性质来求：
假设一周期信号 $f_T(t)$ 的傅里叶级数可以表示为：

$$
f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n \Omega t}
$$

其中，$F_n$ 可

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：傅里叶变换背景12-傅里叶变换的微积分特性

下一篇：补充：复数与正交信号完全指南

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)