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补充：复数与正交信号完全指南

## 在频域中表示正交信号
现在我们已经了解了正交信号的时域性质，接下来我们看看它的频域描述。这至关重要，因为我们将在正常的二维频域图中添加第三个维度，即时间。这样，正交信号的任何相位关系都不会被掩盖。图 8 告诉我们在频域中表示复指数的规则。

![图片](/uploads/2025-08/4121fe.jpg)
 
 来看到图 9，我们将把单个复指数表示为位于指定频率处的窄带脉冲。此外，图片展示了复频域的实轴和虚轴，并描述了这些复指数频谱间的相位关系。
 
  ![图片](/uploads/2025-08/5d36e3.jpg)
  
  看看图 9 右侧的复杂频域坐标中，你会知道实正弦波和实余弦波是如何在复频域上描绘的。图 9 右侧的那些粗体箭头不是旋转向量，而是频域脉冲符号，表示单个复指数 $e^{j 2 \pi f_0 t}$ 的谱线。频谱脉冲的方向仅指的是相对相位。这些频谱脉冲的幅度是 $1 / 2$ 。好吧……我们为什么要费心这个3D 频域表示呢？因为它是我们将用来了解通信系统中正交信号调制和解调的工具，而这也是本教程的两个目标。然而，在我们考虑这些过程之前，让我们用一个小例子来验证这个频域表示。

图 10 是我们如何使用复频域的简单示例。我们从一个实正弦波开始，将其与 j 相乘，然后将结果与相同频率的实余弦波相加。最终结果是单个复指数 $e^{j 2 \pi f_0 t}$ ，这个图形变化生动的展现了 Eq．（7）．即：

$$
e^{j \phi}=\cos (\phi)+j \sin (\phi) ...(7)
$$

![图片](/uploads/2025-08/0ba96b.jpg)
 
 在频率轴上，负频率的概念是指位于频率轴上 $2 \pi f_0 rad / s$ 处的频谱脉冲。该图说明了：例如 $e^{j 2 \pi f_0 t}$ 和 $e^{-j 2 \pi f_0 t}$ 这样的通用复指数是实正弦曲线 $\sin (2 \pi f t)$ 或 $\cos (2 \pi f t)$ 的基本组成部分。这是因为 $\sin (2 \pi f t)$ 和 $\cos (2 \pi f t)$ 均由 $e^{j 2 \pi f_0 t}$ 和 $e^{-j 2 \pi f_0 t}$ 组成。如果你要对 $\sin (2 \pi f t) 、 \cos (2 \pi f t)$ 或 $e^{-j 2 \pi f_0 t}$ 复正弦曲线的离散时域样本进行离散傅立叶变换，并绘制复数结果，你将获得图 10 中的那些窄带脉冲。

## 频域中的带通正交信号
在正交处理中，按照惯例，频谱的实部称为同相分量，频谱的虚部称为正交分量。图11（a）、（b）和（C）中的复频谱信号是实数信号。实信号总是具有正频谱分量和负频谱分量。对于任何实信号，其同相（实）频谱的正和负频率分量都始终在零频率点对称。即同相部分的正、负频率分量互为镜像。相反，其正交（虚）频谱的正和负频率分量始终互为负数。如图11（a）中的细实线箭头所示。当实信号的频谱用复数表示法表示时，这种＂共轭对称性＂是实信号的性质。

![图片](/uploads/2025-08/0a9516.jpg)
 
 让我们再次提醒自己，图 11（a）和（b）中的粗体箭头不是旋转向量。它们是频域脉冲符号，表示单个复指数 $e^{j 2 \pi f t}$ 。脉冲指向的方向显示了频谱分量的相对相位。

在我们继续之前，有一个重要的原则需要牢记。
将时间信号乘以复指数 $e^{j 2 \pi f_0 t}$ ，我们称之为正交混频（也称为复混频），将该信号的频谱向上移动 $f_0

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