最后更新: 2025-09-08 06:12 查看: 59 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

快速求方程的近似解-牛顿迭代法

## 快速求方程的近似解-牛顿迭代法
求解方程根一直是数学界和计算机学界研究的对象，通常只有先通过数学理论研究通过后，才能通过计算机编码实现，这也是为什么很多人说“**数学是各学科**”的基础。
下面，先从理论上给出数学求解方程的根的方法，然后再介绍如何根据数学理论，给出代码的实现。

## 理论分析
牛顿选代程序基于微分学的基本原理 ——在靠近切点的邻域内，**用切线代替曲线**．从方程 $f(x)=0$ 的根 $\xi$ 的第一个近似值 $x_0$ 出发，我们考虑函数 $y=f(x)$ 图形上的点，其坐标是 $x=x_0, y=f\left(x_0\right)$ ．为了找出曲线与 $x$ 轴的交点 $\xi$ 的一个较好的近似值，我们取定点 $x_1$ ，它是在点 $x=x_0, y=f\left(x_0\right)$ 处的切线与 $x$轴的交点。这个交点的横坐标 $x_1$ 代表了一个新的，而且在某些情况下是一个比 $x_0$ 更逼近所求方程根 $\xi$ 的近似值。

图 6.4 立刻给出

$$
\frac{f\left(x_0\right)}{x_0-x_1}=f^{\prime}\left(x_0\right) .
$$

因此，新的近似值

$$
x_1=x_0-\frac{f\left(x_0\right)}{f^{\prime}\left(x_0\right)}  ...(10)
$$

![图片](/uploads/2025-09/c882fa.jpg){WIDTH=400PX}
 
 
 现在从 $x_1$ 作为一个近似值出发，我们重复这程序，去求 $x_2=x_1- f\left(x_1\right) / f^{\prime}\left(x_1\right)$ ，然后，如此继续下去。

这种程序之有用，本质上依赖于曲线 $y=f(x)$ 的性质。在图 6.4 指出的情况中，逐次近似值 $x_n$ 以越来越高的精确度收玫到所求的根 $\xi$ ．

然而，图6．5指出了一个原始值 $x_0$ 的似是而非的选择，我们的作图根本不收玫到所求的根．因此，必须一般地考察在怎样的情况下，牛顿法给出方程解的有用的近似值．

![图片](/uploads/2025-09/09c41d.jpg){width=400px}

## 牛顿法的二次收敛
假设在根 $\xi$ 附近一个足够宽的区间里，二阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ 不＂太大＂，而一阶导数 $f^{\prime}(x)$ 不＂太小＂，则牛顿近似法的主要之点是逐次＂误差＂

$$
h_1=\xi-x_1, \quad h_2=\xi-x_2, \cdots, \quad h_n=\xi-x_n, \cdots
$$

在意义 $\left|h_{n+1}\right| \leq \mu h_n^2$ 之下 二次收敛到零，其中 $\mu$ 是一个固定的常数．这指出了一个极快的收玫速度．如果我们把这个不等式写成 $\left|h_{n+1} \mu\right| \leq\left|h_n \mu\right|^2$ 的形式，它就意味着，譬如当 $\left|h_n \mu\right|<10^{-m}$ 时，
我们有 $\left|h_{n+1} \mu\right|<10^{-2 m}$ ，即 $\mu x_n$ 中＂有效位＂的位数是每步成倍增加的。

这个二次收玫的证明是直截了当的．从关系式 $x_{n+1}=x_n- \frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)}$ 和 $f(\xi)=0$ ，我们得到

$$
h_{n+1}=\xi-x_{n+1}=\xi-x_n-\frac{f(\xi)-f\left(x_n\right)}{f^{\prime}\left(x_n\right)} .
$$

根据泰勒公式

$$
f(\xi)-f\left(x_n\right)=\left(\xi-x_n\right) f^{\prime}\left(x_n\right)+\frac{1}{2}\left(\xi-x_n\right)^2 f^{\prime \prime}(\eta),
$$

其中 $\eta$ 位于 $\xi$ 与 $x_n$ 之间。因此，

$$
h_{n+1}=-\frac{f^{\prime \prime}(\eta)}{2 f^{\prime}\left(x_n\right)} h_n^2
$$

为了确立收敛性，我们设 $x_n$ 已经属于一个固定区间 $\xi-\delta<x< \xi+\delta$ ，在此区间内 $\left|f^{\prime \prime}\right|$ 有最大值 $M_2,\left|f^{\prime}\right|$ 有正的最小值 $m_1$ ，并

且 $\delta$ 很小，使得 $\frac{1}{2} \delta M_2 / m_1<1$ ．令 $\mu=\frac{1}{2} M_2 / m_1$ ，我们有 $\mu \delta<1$以及

$$
\left|h_{n+1}\right| \leq \mu\left|h_n\right|^2 \leq \mu \delta\left|h_n\right|<\left|h_n\right| .
$$

这个不等式首先指出，$x_{n+1}$ 仍属于同一个 $\xi$ 的 $\delta$ 邻域，因此，这个结论可重复使用。所以，只要 $x_0$ 位于 $\xi$ 的 $\delta$ 邻域内，那么所有后续的 $x_n$ 也将属于同一个 $\xi$ 的 $\delta$ 邻域。因为从 $\left|h_{n+1}\right| \leq \mu \delta\left|h_n\right|$ ，可推出 $\left

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