最后更新: 2025-10-24 21:11 查看: 84 次纠错评论(0) 课件开VIP

第一类曲线积分举例

## 第一类曲线积分举例
`例`计算第一类曲线积分 $I=\int_C(x+y) d s$ ，其中 $C$ 是 $\triangle A B C$ 的边界，该三角形的顶点为 $A(0,0), B(1,0)$ ， $C(1,1)$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/06d888.jpg)
 解 利用可加性，有

$$
I=\left\{\int_{\overline{A B}}+\int_{\overline{B C}}+\int_{\overline{C A}}\right\}(x+y) d s
$$

以下分别计算三段直线上的积分．
在 $\overline{A B}$ 上，$x=x, y=0,0 \leqslant x \leqslant 1, d s= d x$ ，因此有

$$
\int_{\overline{A B}}(x+y) d s=\int_0^1 x d x=\frac{1}{2}
$$

在 $\overline{B C}$ 上，$x=1, y=y, 0 \leqslant y \leqslant 1, d s= d y$ ，因此有

$$
\int_{\overline{B C}}(x+y) d s=\int_0^1(1+y) d y=\frac{3}{2} .
$$

在 $\overline{C A}$ 上，$x=x, y=x, 0 \leqslant x \leqslant 1, d s=\sqrt{y_x^{\prime 2}+x_x^{\prime 2}} d x=\sqrt{2} d x$ ，因此有

$$
\int_{\overline{C A}}(x+y) d s=\sqrt{2} \int_0^1 2 x d x=\sqrt{2}
$$

最后就得到 $I=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$ ．
注 根据第一类曲线积分的定义，参数表示时的区间 $[\alpha, \beta]$ 必须满足 $\alpha<\beta$ ，因此在 $\overline{C A}$ 上积分时，既然用 $x$ 为参数，则参数变化范围只能是从 0 到 1 ，而不能是从 1 到 0 。

`例`求一均匀的半圆周（设线密度 $\rho=1$ ）对位于圆心的单位质点的引力．设 $a$ 为圆半径，$G$ 为万有引力常数。
 ![图片](/uploads/2025-02/202cc6.jpg)
解 将单位质点放在原点，考虑半径为 $a$ 的上半圆周对原点的单位质点的引力。

设引力为

$$
F =F_1 i +F_2 j
$$

在圆周上点 $(x, y)$ 处取一小段弧 $d s$ ，因密度为 1 ，其质量就是 $d s$ ．它对于原点的引力大小为 $\frac{G d s}{a^2}$ ．方向为 $x i +y j$ 。由于点 $(x, y)$ 在圆周上，该方向的单位向量是 $\frac{1}{a}(x i +y j )$ ．将半圆周曲线记为 $C$ ，就可以将分量 $F_2$ 用第一类曲线积分表出

$$
F_2=\int_C \frac{G y}{a^3} d s
$$

取曲线 $C$ 的参数方程为 $x=a \cos \theta, y=a \sin \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ ，则有 $d s=a d \theta$ ，于是就可以计算得到

$$
F_2=\frac{G}{a^3} \int_0^\pi R^2 \sin \theta d \theta=\frac{2 G}{a^3} .
$$

注 这里不妨问一个问题：半圆周上均匀分布的质量对圆心的质点的引力是否等于将总质量集中在半圆周的质心处对圆心质点的引力？

`例` 计算 $\int_L x^2 \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截得的圆周．
解 由对称性知

$$
\int_L x^2 \mathrm{~d} s=\int_L y^2 \mathrm{~d} s=\int_L z^2 \mathrm{~d} s
$$

所以

$$
\int_L x^2 \mathrm{~d} s=\frac{1}{3} \int_L\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} s=\frac{a^2}{3} \int_L \mathrm{~d} s=\frac{2}{3} \pi a^3 .
$$

由第一型曲线积分的定义，在 $O x y$ 平面上，线密度为 $\rho(x, y)$ 的曲线状物体对 $x, y$轴的转动惯量分别为

$$
J_x=\int_L y^2 \rho(x, y) \mathrm{d} s \quad \text { 和 } \quad J_y=\int_L x^2 \rho(x, y) \mathrm{d} s .
$$

其他版本
【高等数学】第一类曲线积分计算举例

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：第一类曲线积分

下一篇：第二类曲线积分

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)