最后更新: 2025-12-11 05:06 查看: 49 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

理解：一重积分二重积分三重积分★★★★★

## 如何理解一重积分、二重积分与三重积分
本文从整体上概况如何理解多重积分

### 定积分

先回顾下最简单的定积分，定积分的公式是这样：

$$
\int_a^b f(x) d x
$$

这个公式的意思是,以 ${f}({x})$ 这函数为界与 $x$ 轴围成的从 $a$ 到 $b$ 这个区域的代数面积（可正可复）， 图大概就是这样：

![图片](/uploads/2025-11/9ac58b.jpg){width=300px}

而结果表达式是

$$
F(x)|_b^a
$$

而 $f(x)$ 其实是 $F(x)$ 的导函数，其实就是导函数的逆运算。
然后把 $b$ 跟 $a$ 代入到 $x$ ，那么这个面积的最终表达式就是：
$$
F(b)-F(a)
$$

相信学完定积分的，对这个应该很理解。
其理念就是每个 $x$ 值都有对应的 $f(x)$ 值（或者 $y$ ）
而每个 $y$ 值都可以看成有长度但面积无穷小的一小块区域的面积。

其实就是 $dF({x})$

它虽然有长度，但面积是无穷小的，那也意味着这个区域内却有无穷多个这样的无穷小区域。
也就是它这个区域的总面积，是由无穷多个无穷小的区域面积相加起来得出的数。

接下来在教材里面，会有个经典的例题，就是用定积分求体积。
题目大概是这样： 给了一个一元函数$f(x)$，在$x$轴上截取$a$点到$b$点形成与$f(x)$围成的区域，也就是像上图那样, 然后把它放到一个三维直角坐标系里，把这个截取的区域，以$x$轴为圆心轴，旋转360°，形成了一个物体，求这个物体的体积，图示大概是这样

![图片](/uploads/2025-11/a35f94.jpg){width=300px}
 
 总之得出类似一个花瓶这样得物体。
求这个物体得体积 $V$ 。
其思路就是，在任意一点，那把刀以垂直于 $x$ 轴得方向一刀切下去，得出得横截面一定是个圆。那么可以看成，这个物体，是由无穷多个圆面＂积＂出来得。

每个圆面看成是个体积无穷小的区域。
而每个圆面的面积跟什么有关呢？跟 $x$ 有关。
因为每个 $x$ 对应的 $y$ 值（或 $f(x)$ 值），就是这个圆面的半径。
那么其实这个圆面的面积，就是 $\pi[f(x)]^2$
不同的 x 值对应不同的圆面积 $\pi[f(x)]^2$
而把这些圆面＂积＂成体积，也就是对被积函数 $\pi[f(x)]^2$ 从 a 点到 b 点求对 x 的积分。
所以这个体积的表达式就是 $\int_a^b \pi[f(x)]^2 d x$
以上就是定积分求体积的思路，很简单，如果你连上面内容都理解不了，那么不用往下看了，后面多重积分你肯定理解不了的。

接下来就是二重积分。

### 二重积分
二重积分也是求体积。
简单来讲，就是求一个二元函数 $f(x, y)$ ，在某个 $x y$ 的取值区域，形成的 $z$ 值＂积成＂的体积。
首先二元函数的图像，是要用三维直角坐标系来显示，大概是这样：

![图片](/uploads/2025-11/08ab6e.jpg){width=300px}
 
 这是一个立体图，你可以想象成一个帽子这样的物体。

不同的 $x, y$ 值，对应不同的 $z$ 值，形成的一个凹凸不平的面，就是二元函数 $f(x, y)$ 的图像。而二重积分，其实是求这个物体的体积：

![图片](/uploads/2025-11/9bf73b.jpg){width=300px}
 
 这个物体的顶面，是二元函数 $f(x, y)$ 形成的面。
而现在照着底部区域Dxy，对着这个二元函数形成的面切下去，形成的一个物体。
现在求这个物体的体积。

$$
\iint_{D x y} f(x, y) d x d y
$$

这个就是二重积分。
关键是，为什么这个公式能求出体积？
这个表达式可以这么转换：

$$
\int_a^b d x \int_{\varphi_2(x)}^{\varphi_1(x)} f(x, y) d y
$$

这个表达式的求法，是先求后面的定积分 $\int_{\varphi_2(x)}^{\varphi_1(x)} f(x, y) d y$ ，求出来后再求一次定积分。
所以这个表达式也可以这么写：

$$
\int_a^b\left[\int_{\varphi_2(x)}^{\varphi_1(x)} f(x, y) d y\right] d x
$$

其中 ${a}, {b}, ~ \varphi_1(x), ~ \varphi_2(x)$ 就是所按照的底面区域的切法。
这里 $\varphi_1(x), ~ \varphi_2(x)$ 是个函数表达式，为了先让问题简单化，我就直接按 $\varphi_1(x)=c$ ， $\varphi_2(x)=d$ 这样来切。

也就是底部区域由 $x=a, x=b, y=c, y=d$ 这几条直线围成的区域。
现在，我们拿一把刀，以平行于 y 轴的方向，在这个 $a$ 点到 $b$ 点之间区域任意一点切下去，得出一个截面，如图：

![图片](/uploads/2025-11/748ddf.jpg){width=400px}
 
如图，这个绿色区域，就是它的横截面。我们现在求它的面积。

因为这个刀法，是平行于 $y$ 轴切下去，所以 $x$ 是个固定值，我们可以把它看成常数。我们假设，这个刀就是沿着 $x=3$ 这条直线切下去的。

那么这个留在 $f(x, y)$ 这个函数图像形成的面的切痕的表达式，就是

$$
f(3, y)
$$

等于是把常数 $3$ 代入到 $x$ 里面，使 $x$ 成为固定常数 3 ．
而这个 $f(3, y)$ 的函数图像，其实就是这样：
 
 
  ![图片](/uploads/2025-11/c0a9bf.jpg){width=400px}

它就是在 $f(x, y)$ 这个曲面上的一

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