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有限可解群(上)

## 有限可解群(上)
Galois 理论的基本思想是用群论的思想方法分析和解决方程的根式求解问题，因此，在后面的讨论中不可避免地会涉及一些群论的概念和结论，当然，主要是一些与有限可解群有关的结果．

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子集合，则 $H$ 是群 $G$ 的子群的充分必要条件是对于 $\forall a, b \in H$ ，有 $a b^{-1} \in H$ ．进一步，$H$ 是 $G$ 的正规子群的充分必要条件是 $g H g^{-1}=H$ ，或 $g h g^{-1} \subseteq H, \forall g \in G, h \in H$ ．

令 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，则 $H$ 在 $G$ 中的一个左陪集是 $g H=\{g h \mid \forall h \in H\}$ ．
定理 1．5．1（Lagrange）令 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，则

$$
|G|=|H||G: H| .
$$

证明 在群 $G$ 中定义一个关系＂$\sim$＂：

$$
x \sim y \Leftrightarrow x=y h, \exists h \in H .
$$

容易验证，这是一个等价关系，并且 $\forall g \in G$ 所属的等价类就是左陪集 $g H=\{g h \mid \forall h \in H\}$ ．所以，

$$
G=g_1 H \cup g_2 H \cup \cdots \cup g_n H
$$

又 $\left|g_i H\right|=|H|, g_i H \cap g_j H=\varnothing, 1 \leqslant i \neq j \leqslant n$ ，所以 $|G|=n|H|=|H||G: H|$ ．$\square$
特别地，如果子群 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，则群 $G$ 关于子群 $H$ 的指数 $|G: H|$就是商群 $G / H$ 的阶数，所以，$|G|=|H||G / H|$ 。

如果 $|G|=n<\infty$ ，则称 $G$ 是 $n$ 阶有限群。显然，有限群不一定是交换群（Abel群）．例如，对称群 $S_n$ 就不是交换群．但是，素数阶有限群一定是交换群．事实上，取 $1 \neq g \in G$ ，则 $G \supseteq(g) \supset 1$ ，并且 $1 \neq|(g)|| | G \mid$ ，所以 $|G|=|(g)|$ ，即 $G=(g)$ 是循环群，当然是交换群。

我们知道，相对于非交换群，交换群的结构和性质是比较简单的。那么，很自然的一个想法是如何将非交换群转化成交换群。实际上，对于任意一个群 $G$ 来说，都存在着一个当然的正规子群—换位子群，使得群 $G$ 对该正规子群的商群一定是交换群。

定义 1．5．1 设 $G$ 是群，$a, b \in G$ ，则称 $a b a^{-1} b^{-1}$ 是 $a, b$ 的换位子，群 $G$ 中由所有换位子生成的子群称为 $G$ 的换位子群，记为 $[G, G]$ ．

定理1．5．2 设 $G$ 是群，则
（1）$[G, G]$ 是群 $G$ 的正规子群；
（2）$G /[G, G]$ 是交换群；
（3）$G / H$ 是交换群的充分必要条件是 $H \supseteq[G, G]$ ．

证明（1）令 $a, b, g \in G$ ，考察

$$
\begin{aligned}
g\left(a b a^{-1} b^{-1}\right) g^{-1} & =g a g^{-1} g b g^{-1} g a^{-1} g^{-1} g b^{-1} g^{-1} \\
& =\left(g a g^{-1}\right)\left(g b g^{-1}\right)\left(g a g^{-1}\right)^{-1}\left(g b g^{-1}\right)^{-1}
\end{aligned}
$$

（2）只需指出 $x[G, G] y[G, G]=y[G, G] x[G, G]$ ，而这等价于 $x y[G, G]=y x[G, G]$ ， $x^{-1} y^{-1} x y[G, G]=[G, G]$ ．又这最后一个关系式是显然的等式．
（3）$G / H$ 是交换群的充分必要条件是 $x H y H=x y H=y x H=y H x H$ ，而这又等价于 $x^{-1} y^{-1} x y H=H \Leftrightarrow x^{-1} y^{-1} x y \in H \Leftrightarrow[G, G] \subseteq H$ ．

注意，如果存在群的同态映射，$\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ ，则 $G / \operatorname{ker} \varphi \cong$

$\varphi(G) \subseteq G^{\prime}($ 图 1．2）．

![图片](/uploads/2025-11/835686.jpg)
 
 
所以，定理 1．5．2 中的条件（3）可以解释成 $\varphi(G)$ 是交换群的充分必要条件是 $[G, G] \subseteq \operatorname{ker} \varphi$ ．

一般地，如果 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，则记为 $G \triangleright H$ ．用 $G^{(1)}$表示换位子群 $[G, G]$ ，即 $G^{(1)}=[G, G]$ ，并且定义 $G^{(2)}=\left(G^{(1)}\right)^{(1)}=\left[G^{(1)}, G^{(1)}\right]= [[G, G],[G, G]]$ ，继续下去，定义
$$
G^{(k)}=\left(G^{(k-1)}\right)^{(1)}=\left[G^{(k-1)}, G^{(k-1)}\right]
$$

这样我们就得到一个下降的子群列

$$
G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k-1)} \triangleright G^{(k)} \triangleright \cdots,
$$

其中每一项 $G^{(k)}$ 都是其前一项 $G^{(k-1)}$ 的正规子群．
定义1．5．2 令 $G$ 是一个群．如果对于正规子群列

$$
G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k-1)} \triangleright G^{(k)} \triangleright \cdots,
$$

存在一正整数 $n$ ，使得 $G^{(n)}=1$ ，则称 $G$ 是可解群．
显然，所有的交换群都是可解群．另外，对称群 $S_3, S_4$ 也是可解群．

$$
\begin{gathered}
S_3 \triangleright\left(S_3\right)^{(1)}=\{1,(123),(132)\}=A_3 \triangleright\left(S_3\right)^{(2)}=\left(A_3\right)^{(1)}=1, \\
S_4 \triangleright\left(S_4\right)^{(1)}=A_4 \triangleright\left(S_4\right)^{(2)}=\left(A_4\right)^{(1)}=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \triangleright\left(S_4\right)^{(3)}=1 .
\end{gathered}
$$

但是，$S_n(n \geqslant 5)$ 就不是可解群了！其证明将在本节最后给出．
由于换位子群可以确定一个商群是交换群，同时如果一个商群是交换群，则该商群确定的一个子群能包含换位子群．所以，可解群与交换群之间一定存在着某种联系。

实际上，可解群的本质就是存在一个正规子群列，使得中间的商群是交换群．
定理 1．5．3 令 $G$ 是群，则 $G$ 是可解群的充分必要条件是存在一个下降子群列

$$
G=G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_s=1
$$

使得 $G_i$ 是 $G_{i-1}$ 的正规子群，并且商群 $G_{i-1} / G_i(1 \leqslant i \leqslant s)$ 都是交换群．
证明 首先，如果 $G$ 是可解群，则由可解群的定义，显然存在满足条件的子群列．

其次，假设存在满足条件的子群列，则我们需要指出，存在 $k$ ，使得 $G^{(k)}=1$ ．为此，我们先证明对于任意的 $n$ ，有 $G^{(n)} \subseteq G_n$ ．

当 $n=0$ 时，$G^{(0)}=G_0=G$ ，即结论平凡成立．当 $n=1$ 时，因为 $G / G_1$ 是交换群，所以由定理 1．5．2（3），$G^{(1)} \subseteq G_1$ ．假设小于 $n$ 时结论成立，$G^{(n-1)} \subseteq G_{n-1}$ ．考察等于 $n$ 的情况．

因为 $G_{n-1} / G_n$ 是交换群，所以仍然由定理1．5．2（3），有

$$
G_n \supseteq\left[G^{(n-1)}, G^{(n-1)}\right]=G^{(n)}
$$

所以，由数学归纳法，对于任意的 $n$ ，总有 $G^{(n)} \subseteq G_n$ ．
最后，因为 $G_s=1$ ，所以取 $k=s$ 时，有 $1=G_k \supseteq G^{(k)}=1$ ．

实际上，我们可以把定理 1．5．3 刻画地更精细一些：设 $G$ 是有限群，则群 $G$ 是可解群的充分必要条件是存在正规子群列

$$
G=G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_s \triangleright G_{s+1}=1
$$

使得商群 $G_{i-1} / G_i(1 \leqslant i \leqslant s+1)$ 是素数阶循环群．
事实上，如果存在正规子群列满足条件，即商群 $G_{i-1} / G_i(1 \leqslant i \leqslant s+1)$ 是素数阶循环群，那么群 $G$ 显然是可解群．反之，假设 $G$ 是可解群，则由定理 1．5．3，存在一个正规子群列

$$
G=G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_s \triangleright G_{s+1}=1,
$$

使得 $G_{i-1} / G_i(1 \leqslant i \leqslant s+1)$ 是交换群．所以，我们只要考证＂一段＂可以加细，使之成为一个正规子群列，并且满足商群列是素数阶循环群即可．

为此，令 $N \subseteq G$ 是正规子群，并且 $G / N$ 是交换群．然后，我们考察群的自然同态

$$
\begin{aligned}
\pi: G & \rightarrow G / N, \\
& g \rightarrow g N .
\end{aligned}
$$

首先，让我们注意两个事实：
（1）在自然同态作用下，正规子群的象是正规子群；正规子群的原象是正规子群。

事实上，如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $g h g^{-1} \in H$ ．所以

$$
g N(h N) g^{-1} N=g h g^{-1} N \in H / N
$$

即 $H / N$ 是 $G / N$ 的正规子群．反之，如果 $H / N$ 是 $G / N$ 的正规子群，则 $g N(h N) g^{-1} N=g h g^{-1} N \in H / N$ 。于是，由 $H \supseteq N$ ，显然有 $g h g^{-1} \in H$ ，即 $H$ 是 $G$ 的正规子群．
（2）有限交换单群是素数阶的．
事实上，如果群 $P$ 是交换单群，则 $P=(x), 1 \neq x \in P$ ，所以 $P \cong \mathbf{Z}_n$ ，其中 $|P|=n$ ．因此，如果 $n$ 不是素数，则 $n=p m, p, m<n$ ，所以，存在子群 $(\bar{p}) \subseteq \mathbf{Z}_n$ ．而这与 $P$ 是单群相矛盾，于是，交换的单群一定是素数阶的．

其次，如果 $G / N$ 是单群，则 $|G / N|$ 一定是素数，即此段已经加细成满足条件要求的子群列了。如若不然，则存在 $G / N$ 的一个极大正规子群，令其原象为 $H$ ，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群，而且 $G \supseteq H \supseteq N$ 是正规子群列。另外，由于 $G / H \cong ((G / N) /(H / N))$ ，所以 $G / H$ 是交换单群．于是，$|G / H|$ 是素数．我们可以利用同样的方法，加细 $H \supseteq N \cdot$ 段，$\cdots \cdots$ 因为 $G$ 是有限群，所以这种加细的过程一定能在有限步之内完成。

综上，如果群 $G$ 是可解群，则一定存在一个正规子群列

$$
G=G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_s \triangleright G_{s+1}=1,
$$

使得商群 $G_{i-1} / G_i(1 \leqslant i \leqslant s+1)$ 是素数阶循环群．

定理 1．5．4（1）可解群的子群和商群是可解群；（2）令 $G$ 是群，如果存在正规子群 $N$ ，使得 $N, G / N$ 都是可解群，则 $G$ 是可解群．

证明（1）令 $G$ 是可解群，$H$ 是它的子群，则显然有 $H^{(k)} \subseteq G^{(k)}$ ．所以如果 $G^{(k)}=1$ ，则当然有 $H^{(k)}=1$ ．

另外，考察群的自然同态 $\pi: G \rightarrow G / N$ ，则一定有 $(G / N)^{(n)}=\pi\left(G^{(n)}\right)$ ．因为

$$
x N y N x^{-1} N y^{-1} N=x y x^{-1} y^{-1} N=\pi\left(x y x^{-1} y^{-1}\right) \in \pi([G, G])
$$

所以 $(G / N)^{(1)}=\pi\left(G^{(1)}\right)$ ，即当 $n=1$ 时，$(G / N)^{(n)}=\pi\left(G^{(n)}\right)$ 。假设小于 $n$ 时结论成立，即 $(G / N)^{(n-1)}=\pi\left(G^{(n-1)}\right)$ ，则

$$
\begin{aligned}
(G / N)^{(n)} & =\left[(G / N)^{(n-1)},(G / N)^{(n-1)}\right]=\left[\pi\left(G^{(n-1)}\right), \pi\left(G^{(n-1)}\right)\right] \\
& =\pi\left(\left[G^{(n-1)}, G^{(n-1)}\right]\right)=\pi\left(G^{(n)}\right)
\end{aligned}
$$

于是，当等于 $n$ 时，结论也成立．由数学归纳法，所证结论 $(G / N)^{(n)}=\pi\left(G^{(n)}\right)$ 一定成立。

因此，如果 $G$ 是可解群，存在 $G^{(k)}=1$ ，则 $1=(G / N)^{(k)}=\pi\left(G^{(k)}\right)=1$ ，商群 $G / N$ 是可解群．
（2）在群的自然同态 $\pi: G \rightarrow G / N$ 作用下，有 $(G / N)^{(n)}=\pi\left(G^{(n)}\right)$（见（1）的证明）．因为商群 $G / N$ 是可解群，所以存在 $s$ ，使得 $\pi\left(G^{(s)}\right)=(G / N)^{(s)}=1$ ．这就
是说，$G^{(s)} \subseteq N$ ．又 $N$ 也是可解群，所以存在 $t$ ，使得 $N^{(t)}=1$ ．因此， $1=G^{(s+t)} \subseteq N^{(t)}=1$ ．由可解群的定义，这就说明群 $G$ 是可解群．

现在，我们介绍一个在群论研究中经常使用的概念和方法 $\_\_\_\_$群在集合上的作用．并以此为工具证明几个群是可解群的例子．

定义1．5．3 群 $G$ 在集合 $S$ 上有一个作用，是指存在一个映射

$$
\varphi: G \times S \rightarrow S
$$

使得对每个 $x \in S$ 和 $g_1, g_2 \in G$ 有

$$
1 x=x, \quad\left(g_1 g_2\right) x=g_1\left(g_2 x\right)
$$

其中 $g x$ 表示 $\varphi(g, x)$ ．
例 1．5．1 设 $H$ 是群 $G$ 的子群．$H$ 在集合 $G$ 上的作用可以由 $(h, x) \mapsto h x h^{-1}$给出。为了避免与 $G$ 的乘法相混淆，我们将 $h \in H$ 的作用表示成 $h x h^{-1}$ 而不是 $h x$ ， $h \in H$ 的在 $G$ 上的这个作用称为用 $h$ 作共轭，而元素 $h x h^{-1}$ 叫作 $x$ 的共轭元素。如果 $K$ 是 $G$ 的任一子群而 $h \in H$ ，则 $h K h^{-1}$ 是 $G$ 中同构于 $K$ 的子群。从而 $H$可以共轭地作用于 $G$ 的全体子群所组成的集合 $S$ 上：$(h, K) \mapsto h K h^{-1}$ ．群 $h K h^{-1}$叫作 $K$ 的共轭子群。

定义1．5．4 设群 $G$ 在集合 $S$ 上有一个作用．如果对 $S$ 中的任意两个元素 $a, b$ ，存在 $g \in G$ ，使 $b=g a$ ，则称群 $G$ 在集合 $S$ 上的作用是传递的或可迁的．如果对任意的 $\left\{x_i\right\}_{1 \leqslant i \leqslant k},\left\{y_i\right\}_{1 \leqslant i \leqslant k} \subseteq S$ ，存在 $g \in G$ ，使 $y_i=g x_i, 1 \leqslant i \leqslant k$ ，则称群 $G$在集合 $S$ 上的作用是 $k$－传递的（可迁的）．

定理 1．5．5 如果群 $G$ 在集合 $S$ 上有一个作用，则
（1）$S$ 上由

$$
x \sim x^{\prime} \Leftrightarrow g x=x^{\prime}(\text { 对于某个 } g \in G)
$$

定义的关系是等价关系．
（2）对于每个 $x \in S, G_x=\{g \in G \mid g x=x\}$ 是 $G$ 的子群．
证明 因为 $x=1 \cdot x$ ，所以 $x \sim x$ ；如果 $x \sim y$ ，则 $y=g x, x=g^{-1} y$ ，故 $y \sim x$ ；如果 $x \sim y, y \sim z$ ，则 $y=g x, z=g^{\prime} y, z=g^{\prime} g x=\left(g^{\prime} g\right) x$ ，故 $x \sim z$ 。

定理 1．5．5 中所给出的等价关系的等价类称为 $G$ 在 $S$ 上的轨道．$x \in S$ 的轨道表示成 $\bar{x}$ ．子群 $G_x$ 叫作 $x$ 的固定（稳定）子群，或者叫作固定（稳定）$x$ 的子群。

例 1．5．2 如果群 $G$ 作用于自身之上，则 $x \in G$ 的轨道 $\left\{g x g^{-1} \mid g \in G\right\}$ 叫作 $x$ 的共轭类．如果子群 $H$ 共轭作用于 $G$ 上，固定子群 $H_x=\left\{h \in H \mid h x h^{-1}=\right. x\}=\{h \in H \mid h x=x h\}$ 叫作 $x$ 在 $H$ 中的中心化子，并且表示成 $C_H(x)$ 。如果 $H=G$ ，则 $C_G(x)$ 简称为 $x$ 的中心化子。如果 $H$ 共轭作用于 $G$ 的全体子群所组成的集合 $S$ 上，则 $H$ 之固定 $K \in S$ 的子群，即 $\left\{h \in H \mid h K h^{-1}=K\right\}$ 叫作 $K$ 在 $H$ 中的正
规化子，表示成 $N_H(K)$ ．群 $N_G(K)$ 则简称为 $K$ 的正规化子．每个子群 $K$ 显然在 $N_G(K)$ 中正规，而且 $K \triangleleft G \Leftrightarrow N_G(K)=G$ ．

定理 1．5．6 如果群 $G$ 作用于集合 $S$ 上，则 $x \in S$ 的轨道的势，即 $|\bar{x}|$ 等于指数 $\left[G: G_x\right]$ ．

证明 令 $g, h \in G$ ，由于

$$
g x=h x \Leftrightarrow g^{-1} h x=x \Leftrightarrow g^{-1} h \in G_x \Leftrightarrow h G_x=g G_x,
$$

从而由 $g: G_x \mapsto g x$ 给出的映射，可以定义出由 $G_x$ 在 $G$ 中的全体陪集所组成的集合到轨道 $\bar{x}=\{g x \mid g \in G\}$ 之上的一一对应，因此有 $\left[G: G_x\right]=|\bar{x}|$ ．

定理 1．5．7 令 $G$ 是有限群，而 $K$ 是 $G$ 的子群，则有
（1）与 $x \in G$ 共轭的元素个数为 $\left[G: C_G(x)\right]$ ，并且此数是 $|G|$ 的因子；
（2）如果 $\bar{x}_1, \bar{x}_2, \cdots, \bar{x}_n\left(x_i \in G\right)$ 是 $G$ 的全部不同的共轭类，则

$$
|G|=\sum_{i=1}^n\left[G: C_G\left(x_i\right)\right] ;
$$

（3）$G$ 中共轭于 $K$ 的子群的个数是 $\left[G: N_G(K)\right]$ ，并且此数是 $|G|$ 的因子．
我们把定理 1．5．7 中的方程 $|G|=\sum_{i=1}^n\left[G: C_G\left(x_i\right)\right]$ 叫作有限群 $G$ 的类方程．

例 1．5．3 设 $G$ 是阶为 $p^n$ 的有限群，即 $|G|=p^n, p$ 是素数，则 $G$ 是可解群．
证明 首先，群 $G$ 的中心是非平凡的．考虑群的如下作用

$$
\begin{aligned}
G \times G & \rightarrow G \\
(g, x) & \rightarrow g^{-1} x g
\end{aligned}
$$

则由群的类方程，有

$$
|G|=|\operatorname{cent} G|+\sum_{x \notin \operatorname{cent} G}|\bar{x}|,
$$

其中 $\operatorname{cent} G$ 表示群 $G$ 的中心， $\bar{x}$ 表示与 $x$ 共轭的元素组成的类．所以 $|\bar{x}|=\frac{|G|}{\left|G_x\right|}$ ，其中 $G_x=\{g \in G \mid g x=x g\}$ ．事实上，当 $x \notin \operatorname{cent} G$ 时，$G \neq G_x$ ，否则 $x \in \operatorname{cent} G$ ，矛盾．所以 $p\|G|, p \| \bar{x}|, x \notin \operatorname{cent} G$ ，于是 $p\| \operatorname{cent} G \mid$ ，即群 $G$ 的中心是非平凡的．

同时，我们找到了一个正规子群列 $G \triangleright \operatorname{cent} G \triangleright 1$ ，满足 $\operatorname{cent} G / 1$ 是交换群．如果 $G / \operatorname{cent} G$ 是交换群，则证毕．注意，$|G / \operatorname{cent} G|<p^n$ ．

假设 $G / \operatorname{cent} G$ 是非交换群．再对商群 $G / \operatorname{cent} G$ 使用上面的构造过程，则可以找到一个正规子群列 $G / \operatorname{cent} G \triangleright \operatorname{cent}(G / \operatorname{cent} G) \cong G_1 / \operatorname{cent} G \triangleright \operatorname{cent} G$ ．所以，对群 $G$存在正规子群列

$$
G \triangleright G_1 \triangleright \operatorname{cent} G \triangleright 1
$$

满足 $\operatorname{cent} G / 1, G_1 / \operatorname{cent} G$ 是交换群．此时，如果 $G / G_1$ 是交换群，则证毕（注意， $\left|G / G_1\right|<|G / \operatorname{cent} G|<p^n$ ）．

否则，对群 $G / G_1$ 继续使用上面的构造过程，$\cdots \cdots$ 由于 $|G|=p^n$ 是有限数，所以，一定可以在有限步骤之内，得到群 $G$ 的一个正规子群列

$$
G \triangleright G_k \triangleright \cdots \triangleright G_2 \triangleright G_1 \triangleright \operatorname{cent} G \triangleright 1,
$$

满足 $G / G_k, G_i / G_{i-1}, G_1 / \operatorname{cent} G, \operatorname{cent} G(i=2, \cdots, k)$ 都是交换群。这就是说，群 $G$一定是可解群．

注意，例 1．5．3 中的群就是我们所说的 $p$－群．比 $p$－群更一般的就是 $p$－Sylow 子群。

定义1．5．5 设 $G$ 是阶为 $p^n k,(p, k)=1$ 的有限群．如果群 $G$ 的子群 $H$ 的阶数恰为 $p^n$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的 $p$－Sylow 子群。

定理 1．5．8 如果有限群 $G$ 的阶数为 $p^n k,(p, k)=1$ ，则 $p$－Sylow 子群一定存在．

证明 我们对群 $G$ 的阶数 $|G|=p^n k$ 进行归纳．如果 $|G|=2$ ，则定理结论平凡成立．下面假设 $|G|=p^n k,(p, k)=1$ ，并当群的阶数 $<p^n k$ 时，结论成立．然后，考察阶数是 $p^n k$ 时的情况。
（1）如果存在 $G$ 的一个子群 $N$ ，使得 $p \nmid|G: N|$ ，则因为 $|G|=|N||G: N|=p^n k$ ，所以 $p^n| | N \mid$ ．于是，由归纳假设，存在 $N$ 的 $p$－Sylow 子群 $H$ ，当然 $H$ 是 $G$ 的 $p$－Sylow子群．
（2）如果对群 $G$ 的每个子群 $N$ ，都有 $p||G: N|$ ，则从群的类方程

$$
|G|=|\operatorname{cent} G|+\sum_{x \notin \operatorname{cent} G}|\bar{x}|=|\operatorname{cent} G|+\sum_{x \notin \operatorname{cent} G}\left|G: G_x\right|,
$$

有 $p||\operatorname{cent} G|$ ，进而 $\operatorname{cent} G$ 中存在子群 $Z$ ，使得 $| Z \mid=p$ ．当然，$G \triangleright Z$ ．考虑商群 $G / Z$ ，则 $|G / Z|=p^{n-1} k<p^n k$ 。所以，存在 $p$－Sylow 子群 $K / Z$ ，满足 $|K / Z|=p^{n-1}$ 。于是，子群 $K \subseteq G$ 就是 $G$ 的 $p$－Sylow 子群 $\left(|K|=|Z||K / Z|=p^n\right)$ ．

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