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有限可解群(上)

## 有限可解群(上)
Galois 理论的基本思想是用群论的思想方法分析和解决方程的根式求解问题，因此，在后面的讨论中不可避免地会涉及一些群论的概念和结论，当然，主要是一些与有限可解群有关的结果．

设 $G$ 是群，$H$ 是 $G$ 的子集合，则 $H$ 是群 $G$ 的子群的充分必要条件是对于 $\forall a, b \in H$ ，有 $a b^{-1} \in H$ ．进一步，$H$ 是 $G$ 的正规子群的充分必要条件是 $g H g^{-1}=H$ ，或 $g h g^{-1} \subseteq H, \forall g \in G, h \in H$ ．

令 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，则 $H$ 在 $G$ 中的一个左陪集是 $g H=\{g h \mid \forall h \in H\}$ ．
定理 1．5．1（Lagrange）令 $G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，则

$$
|G|=|H||G: H| .
$$

证明 在群 $G$ 中定义一个关系＂$\sim$＂：

$$
x \sim y \Leftrightarrow x=y h, \exists h \in H .
$$

容易验证，这是一个等价关系，并且 $\forall g \in G$ 所属的等价类就是左陪集 $g H=\{g h \mid \forall h \in H\}$ ．所以，

$$
G=g_1 H \cup g_2 H \cup \cdots \cup g_n H
$$

又 $\left|g_i H\right|=|H|, g_i H \cap g_j H=\varnothing, 1 \leqslant i \neq j \leqslant n$ ，所以 $|G|=n|H|=|H||G: H|$ ．$\square$
特别地，如果子群 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，则群 $G$ 关于子群 $H$ 的指数 $|G: H|$就是商群 $G / H$ 的阶数，所以，$|G|=|H||G / H|$ 。

如果 $|G|=n<\infty$ ，则称 $G$ 是 $n$ 阶有限群。显然，有限群不一定是交换群（Abel群）．例如，对称群 $S_n$ 就不是交换群．但是，素数阶有限群一定是交换群．事实上，取 $1 \neq g \in G$ ，则 $G \supseteq(g) \supset 1$ ，并且 $1 \neq|(g)|| | G \mid$ ，所以 $|G|=|(g)|$ ，即 $G=(g)$ 是循环群，当然是交换群。

我们知道，相对于非交换群，交换群的结构和性质是比较简单的。那么，很自然的一个想法是如何将非交换群转化成交换群。实际上，对于任意一个群 $G$ 来说，都存在着一个当然的正规子群—换位子群，使得群 $G$ 对该正规子群的商群一定是交换群。

定义 1．5．1 设 $G$ 是群，$a, b \in G$ ，则称 $a b a^{-1} b^{-1}$ 是 $a, b$ 的换位子，群 $G$ 中由所有换位子生成的子群称为 $G$ 的换位子群，记为 $[G, G]$ ．

定理1．5．2 设 $G$ 是群，则
（1）$[G, G]$ 是群 $G$ 的正规子群；
（2）$G /[G, G]$ 是交换群；
（3）$G / H$ 是交换群的充分必要条件是 $H \supseteq[G, G]$ ．

证明（1）令 $a, b, g \in G$ ，考察

$$
\begin{aligned}
g\left(a b a^{-1} b^{-1}\right) g^{-1} & =g a g^{-1} g b g^{-1} g a^{-1} g^{-1} g b^{-1} g^{-1} \\
& =\left(g a g^{-1}\right)\left(g b g^{-1}\right)\left(g a g^{-1}\right)^{-1}\left(g b g^{-1}\right)^{-1}
\end{aligned}
$$

（2）只需指出 $x[G, G] y[G, G]=y[G, G] x[G, G]$ ，而这等价于 $x y[G, G]=y x[G, G]$ ， $x^{-1} y^{-1} x y[G, G]=[G, G]$ ．又这最后一个关系式是显然的等式．
（3）$G / H$ 是交换群的充分必要条件是 $x H y H=x y H=y x H=y H x H$ ，而这又等价于 $x^{-1} y^{-1} x y H=H \Leftrightarrow x^{-1} y^{-1} x y \in H \Leftrightarrow[G, G] \subseteq H$ ．

注意，如果存在群的同态映射，$\varphi: G \rightarrow G^{\prime}$ ，则 $G / \operatorname{ker} \varphi \cong$

$\varphi(G) \subseteq G^{\prime}($ 图 1．2）．

![图片](/uploads/2025-11/835686.jpg)
 
 
所以，定理 1．5．2 中的条件（3）可以解释成 $\varphi(G)$ 是交换群的充分必要条件是 $[G, G] \subseteq \operatorname{ker} \varphi$ ．

一般地，如果 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，则记为 $G \triangleright H$ ．用 $G^{(1)}$表示换位子群 $[G, G]$ ，即 $G^{(1)}=[G, G]$ ，并且定义 $G^{(2)}=\left(G^{(1)}\right)^{(1)}=\left[G^{(1)}, G^{(1)}\right]= [[G, G],[G, G]]$ ，继续下去，定义
$$
G^{(k)}=\left(G^{(k-1)}\right)^{(1)}=\left[G^{(k-1)}, G^{(k-1)}\right]
$$

这样我们就得到一个下降的子群列

$$
G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k-1)} \triangleright G^{(k)} \triangleright \cdots,
$$

其中每一项 $G^{(k)}$ 都是其前一项 $G^{(k-1)}$ 的正规子群．
定义1．5．2 令 $G$ 是一个群．如果对于正规子群列

$$
G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k-1)} \triangleright G^{(k)} \triangleright \cdots,
$$

存在一正整数 $n$ ，使得 $G^{(n)}=1$ ，则称 $G$ 是可解群．
显然，所有的交换群都是可解群．另外，对称群 $S_3, S_4$ 也是可解群．

$$
\begin{gathered}
S_3 \triangleright\left(S_3\right)^{(1)}=\{1,(123),(132)\}=A_3 \triangleright\left(S_3\right)^{(2)}=\left(A_3\right)^{(1)}=1, \\
S_4 \triangleright\left(S_4\right)^{(1)}=A_4 \triangleright\left(S_4\right)^{(2)}=\left(A_4\right)^{(1)}=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \triangleright\left(S_4\right)^{(3)}=1 .
\end{gathered}
$$

但是，$S_n(n \geqslant 5)$ 就不是可解群了！其证明将在本节最后给出．
由于换位子群可以确定一个商群是交换群，同时如果一个商群是交换群，则该商群确定的一个子群能包含换位子群．所以，可解群与交换群之间一定存在着某种联系。

实际上，可解群的本质就是存在一个正规子群列，使得中间的商群是交换群．
定理 1．5．3 令 $G$ 是群，则 $G$ 是可解群的充分必要条件是存在一个下降子群列

$$
G=G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_s=1
$$

使得 $G_i$ 是 $G_{i-1}$ 的正规子群，并且商群 $G_{i-1} / G_i(1 \leqslant i \leqslant s)$ 都是交换群．
证明 首先，如果 $G$ 是可解群，则由可解群的定义，显然存在满足条件的子群列．

其次，假设存在满足条件的子群列，则我们需要指出，存在 $k$ ，使得 $G^{(k

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