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射线的产生机制及物理本质

1．6 X 射线的产生机制及物理本质
1895年，德国物理学家伦琴（W．C．Röntgen）发现了一种神秘的射线，由于当时不知道是什么射线，故而命名为 X 射线，也被称为 X 光。后来实验证明， X 射线是一种波长很短（约为 0.1 nm ）的电磁波，它具有类似高能射线的强大穿透力，同时也具有干涉、衍射等波动特性．由于这一发现，伦琴在1901年成为第一位诺贝尔物理学奖的获得者。

X 射线管的工作原理如图 1.12 所示。在真空管内，由阴极发出的电子被高压 $U$加速，撞击在靶的表面突然减速，产生 X 射线．一般加速电子的电压在数万伏特．

X 射线一般是由两部分组成的，即连续谱和分立谱（也称特征谱或标识谱），图 1.13 是钨靶 X 射线管的连续谱， X 射线的相对强度随波长 $\lambda$ 连续分布，加速电压越大，谱线越趋向短波方向，每一分布均有一最短波长 $\lambda_{\text {min }}$ ，它只与外加电压有关，小于此波长， X 射线相对强度等于零．

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 X射线分立谱是叠加在连续谱之上的，图1.14是钼靶X射线管的分立谱，其中，在连续谱之上叠加有非常锐的两个分立谱αK和βK . 值得注意的是，这些分立谱只与靶材有关，即分立谱的峰所对应的波长与靶材一一对应，故也称特征谱或标识谱，反映了靶材的特征.  
 
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1．连续谱 X 射线的产生机制
实验显示：连续谱的最短波长反比于外加电压，即 $1 / \lambda_{\text {min }} \propto U$ ，或最高频率 $v_{\text {max }} \propto U$ ，因此这是一种电子因运动受阻而被加速后所产生的轫致辐射，或称电光效应．根据经典电磁场理论，运动电荷向外辐射能量随时间的变化率与电子加速度 $a$ 的平方成正比，即

$$
-\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 e^2 a^2}{3 c^3}
$$

电子因电压 $U$ 加速而获得速度 $V$ ，其动能为 $\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} V^2$ ；又因撞击靶材而运动受阻，速度连续改变，加速度连续变化，故 X 射线的强度随波长连续改变，形成连续谱．从微观看， X 射线由 X 光子组成，假设其频率为 $v$ ，则根据能量守恒定律有

$$
h v=\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} V^2-W
$$

其中，$W$ 是电子在靶内的能量损耗．当电子动能全部转变为 X 光子能量时，则

$$
\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} V^2=e U=h v_{\max }=h \frac{c}{\lambda_{\min }}
$$

于是

$$
\lambda_{\min }=\frac{h c}{e U}=\frac{1.24}{U(\mathrm{kV})} \mathrm{nm}
$$

例如，$U=50000 \mathrm{~V}, \lambda_{\text {min }} \approx 0.025 \mathrm{~nm}$ 。
2．特征谱 X 射线的产生机制
1909年，巴克拉（C．G．Barkla）发现了 X 射线的特征谱：某一材料的特征谱显示若干个谱系，分别记为 $K$ 系、 $L$ 系、 $M$ 系等，而且 $K$ 系中有 $K_\alpha 、 K_\beta 、 K_\gamma$ 等，

$L$ 系中有 $L_\alpha 、 L_\beta 、 L_\gamma$ 等．
实验结果表明： X 射线特征谱只与靶材有关，其特征峰十分锐利，所对应的波长与靶材一一对应。根据射线能量大小可以推测：特征谱是由材料中原子的内层电子跃迁产生的。此外，实验还显示：不同元素的特征谱不显示周期性变化，且与元素的化合状态基本无关。进一步说明：特征谱是原子内层电子跃迁产生的。

1913年，莫塞莱（H．G．J．Moseley）测量了数十种元素的 X 射线谱后，发现各种元素 X射线特征谱系的频率开方 $\sqrt{v}$ 与原子序数 $Z$呈线性关系，如图1．15所示。

经过拟合，莫塞莱得到经验公式：

$$
v=0.248 \times 10^{16}(Z-\sigma)^2 \mathrm{~Hz} ...(1.43)
$$

![图片](/uploads/2025-11/867c4e.jpg)
 
 对于 $K_\alpha$ 线系，$\sigma_{K_\alpha} \approx 1$ ．后来的实验还发现，对于 $L$ 线系，$\sigma_{L_\alpha} \approx 7.4$ ．

莫塞莱发现，式（1．43）可由玻尔理论得到：考虑原子内层电子跃迁，$v_{K_a}=\frac{c}{\lambda}$ ，

$\Delta E=h v=h \frac{c}{\lambda}=h c v$ ．原子最内电子壳层 $K$ 壳层 $(n=1)$ 本来应有两个电子，如果通过适当方法，如高能电子轰击等，使 $K$ 壳层一个电子电离，产生一个空位，其他内层电子就将跃迁至 $K$ 壳层而发射光子。如果是 $L$ 壳层 $(n=2)$ 的电子跃迁下来填充 $K$ 壳层空位而放出光子，如图1．16所示，根据玻尔理论有

$$
\Delta E_{K_a}=h c R(Z-1)^2\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)
$$

即

$$
v_{K_\alpha}=c R(Z-1)^2\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)=0.247 \times 10^{16}(Z-1)^2 \mathrm{~Hz}
$$

![图片](/uploads/2025-11/511390.jpg)
 
其中，$(Z-1)^2$ 表示 $L$ 壳层电子感受到 $Z-1$ 个正电荷．比较式（1．43）和式（1．44），它们基本一致，且 $\sigma_{K_\alpha} \approx 1$ 。

对于 $L_\alpha$ 线系，$L$ 壳层有一电子电离而产生空位，$M$ 壳层 $(n=3)$ 电子来填充．据上述玻尔理论得 $\sigma_{L_\alpha}=9$ ，跃迁电子感受到 $Z-\sigma_{L_\alpha}$ 个正电荷．实验测得 $\sigma_{L_\alpha} \approx 7.4$ ，若考虑到原子壳层中电子的极化等效应，此结果应该是很好的近似．

莫塞莱实验第一次提供了精确测量 $Z$ 的方法，历史上曾用此方法测得了许多元素的 $Z$ 值。

使原子内层电子电离而产生空位的方法较多，例如，采用电子、质子、离子、 X 光子等轰击的方法，均可以在原子内层产生空位，从而产生特征 X射线．

事实上，当 $K$ 壳层有一电子电离而产生空位时，$L$ 壳层电子跃迁下来填充，

![图片](/uploads/2025-11/30aa73.jpg)
 
释放能量有两种方式：一种是上面讲到的放出 X 光子；另一种是将能量直接交给 $L$ 壳层或其他外壳层电子，并使其飞出，如图1．17所示。这种飞出的电子称为俄歇（Auger）电子。一般而言，对于重元素，放出 X 光子的概率较大；而对于较轻的元素，放出俄歇电子的概率较大。俄歇电子的动能可由轨道之间的能量差精确计算出来，由于俄歇电子的动能与元素成分一一对应，分析俄歇电子的动能分布，即分析俄歇电子谱，是一种非常普遍的现代元素分析手段，用于判断材料中元素的种类和含量，广泛应用于生命科学、医学、化学等领域。

根据上述分析，特征 X 射线谱是原子内层电子跃迁所形成的，即 $K$ 系：$K$ 壳层电子电离，出现空位，$L$ 壳层电子填补，发 $K_\alpha$ 线．
$K$ 壳层电子电离，出现空位，$M$ 壳层电子填补，发 $K_\beta$ 线。
$K$ 壳层电子电离，出现空位，$N$ 壳层电子填补，发 $K_\gamma$ 线．
$...$
$L$ 系：$L$ 壳层电子电离，出现空位，$M$ 壳层电子填补，发 $L_\alpha$ 线．
$L$ 壳层电子电离，出现空位，$N$ 壳层电子填补，发 $L_\beta$ 线．
...
于是，可将上述描述表示成特征 X 射线的伦琴能级图，如图 1.18 所示。

![图片](/uploads/2025-11/c5c063.jpg)

由图1．18可知，X 射线特征峰对应该原子内层电子的能级间距。因此，通过测量 X射线特征谱峰值所对应的波长以及峰的相对强度，可精确确定材料中的元素成分和相对含量比例，这一方法已被广泛应用于各种材料（如功能材料、复合材料等）的元素成分分析等领域。

3． X 射线具有波动性
X 射线的波动性可以采用光栅衍射方法加以证明．不过，由于 X 射线的波长很短，约 0.1 nm ，因此要求光栅的光栅常数也接近这一数量级。1912年，劳厄 （M．von Laue）首先建议采用晶体作为光栅进行 X 射线衍射实验，因为一般晶体的晶格常数（或晶面间距）与 $X$ 射线的光波长具有相同的数量级，故晶体是一种天然光栅。

假设某晶体（简立方晶格）的晶格常数为 $d$（或晶面间距），人射 X 射线的波长为 $\lambda$ ，根据两光波衍射极大原理，若 I 和II两束光的光程差满足如下布拉格公式：

$$
2 d \sin \theta=n \lambda, \quad n=1,2, \cdots ...(1.45)
$$

其中，$\theta$ 称为掠射角（即人射线和晶面间的倾角），在 $\theta$ 方向出射的 X 射线即出现衍射加强，$n$ 取整数，如图 1.19 所示。该公式由 W．H．Bragg 和 W．L． Bragg 在 1913 年提出。

![图片](/uploads/2025-11/b53845.jpg)
 
在衍射过程中，若要发生衍射加强峰，实验条件必须满足式（1．45），一般有两种方法．

（1）单晶衍射法：采用单晶体作为衍射光栅， 晶格常数为 $d$ ，当人射光与某晶面夹角固定时，即 $\theta$ 角已经固定．此时采用连续波长的 X 射线人射到单晶表面，其中，总有某一波长 $\lambda$ 可使式（1．45）满足，从而发生衍射加强．在此种情况下，衍射加强与晶面一一对应．由于晶面之间的夹角不是连续的，故而衍射斑点（也称劳厄斑点）也是点阵分布，如图 1.20 所示．每一劳厄斑点，对应于一组晶面；斑点的位置反映了对应晶面的方向（对称性）．
  ![图片](/uploads/2025-11/f9af84.jpg)
  
 
 （2）德拜（Debye）多晶粉末法：采用多晶粉末作为衍射光栅，由于多晶粉末中小晶粒（晶格常数为 $d$ ）众多，晶粒中的晶面与人射光的夹角 $\theta$ 连续变化。因此，采用波长 $\lambda$ 固定的单色 X 射线即可满足式（1．45），从而在胶片上产生衍射环，如图 1.21 所示。

![图片](/uploads/2025-11/43e2c8.jpg)
 
 在图 1.21 中，$r$ 代表使布拉格公式（1．45）满足的某一 $\theta$ 值．不同圆环代表不同的晶面阵，环的强弱反映了晶面上原子的密度大小．若已知 $\lambda$ ，测量圆环所对应的角度，便可求得 $d$ ．

因此，上述两种晶体衍射方法已被广泛应用于单晶和多晶材料的晶相结构测量，包括测量晶体的结构参数、结晶度等．

4． X 射线具有粒子性——康普顿效应
根据经典波动光学理论，一束波长为 $\lambda$ 的光人射到介质中反射或透射后，该光束的波长是不变的，仍然为 $\lambda$ 。然而，在1923年，美国物理学家康普顿（A．H． Compton）发现：当 X 射线与石墨介质散射后，其波长发生了微小变长．受到爱因斯坦光电效应假说的影响，康普顿提出了 X 射线也具有粒子性的假说，成功解释了康普顿散射的实验结果。

康普顿散射实验原理如图 1.22 所示． X 射线是来自钼靶的 $K_\alpha$ 线，波长为 $\lambda=0.071 \mathrm{~nm}$ ，人射到石墨上后，在偏离人射方向 $\varphi$ 角处，让散射后的 X 射线人射到一晶体表面，然后用探测器探测其衍射加强峰，从而检测散射后的 X 射线波长 $\lambda^{\prime}$ ．

![图片](/uploads/2025-11/3340c8.jpg)

实验发现：散射前后 X 射线波长差满足公式

$$
\Delta \lambda=\lambda^{\prime}-\lambda=\lambda_{\mathrm{c}}(1-\cos \varphi)
$$

其中，$\lambda_{\mathrm{c}}=0.002426 \mathrm{~nm}$ ，称为康普顿波长．
康普顿认为： X 射线由静止质量为零 $\left(m_0=0\right)$ 、速度为光速的粒子（ X 光子）组成。一方面，根据爱因斯坦光电效应假说， X 光子能量为 $E=h v$ ；另一方面，根据相对论，静止质量为零的粒子，其动量和能量关系为 $E=p c$ ，故必有 $p=\frac{h}{\lambda}$ ．此外，假设 X 光子与原子的最外层电子散射，由于最外层电子受原子核的束缚能较小，且其动能也比 X 光子能量小很多，故康普顿散射可近似理解为是人射 X 光子与静止自由电子的散射，如图 1.23 所示．

![图片](/uploads/2025-11/a9e3a3.jpg)
 
 
 于是，根据散射前后能量、动量守恒定律和相对论质能方程，有

$$
\begin{gathered}
h v+m_{\mathrm{e}} c^2=h v^{\prime}+m c^2 \\
\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}^{\prime}+\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}
\end{gathered}
$$

或

$$
p_{\mathrm{e}}^2=p^2+p^{\prime 2}-2 p p^{\prime} \cos \varphi
$$

其中，$v=\frac{c}{\lambda}$ 和 $v^{\prime}=\frac{c}{\lambda^{\prime}}$ 分别是散射前后 X 光子的频率；$m_{\mathrm{e}}$ 和 $m$ 分别是电子的静质量和动质量，且 $m=m_{\mathrm{e}} / \sqrt{1-v^2 / c^2}, v$ 为散射后电子速度；$p=\frac{h}{\lambda}$ 和 $p^{\prime}=\frac{h}{\lambda^{\prime}}$ 分别是散射前后 X 光子的动量；$p_{\mathrm{e}}$ 是散射后电子的动量．于是，由式（1．47）得

$$
\begin{aligned}
&\begin{gathered}
m c^2=\frac{h c}{\lambda}-\frac{h c}{\lambda^{\prime}}+m_{\mathrm{e}} c^2 \\
m^2 c^4=\left(\frac{h c}{\lambda}-\frac{h c}{\lambda^{\prime}}\right)^2+2\left(\frac{h c}{\lambda}-\frac{h c}{\lambda^{\prime}}\right) m_{\mathrm{e}} c^2+m_{\mathrm{e}}^2 c^4 \\
m^2 c^2=h^2\left(\frac{1}{\lambda^2}+\frac{1}{\lambda^{\prime 2}}-\frac{2}{\lambda \lambda^{\prime}}\right)+\frac{2 h m_{\mathrm{e}} c}{\lambda \lambda^{\prime}}\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right)+m_{\mathrm{e}}^2 c^2
\end{gathered}  ...(1.49)\\
&\text { 另外，由式（1．48）和能量动量方程 } E^2=m^2 c^4=p_{\mathrm{e}}{ }^2 c^2+m_{\mathrm{e}}^2 c^4 \text { ，得 }\\
&\begin{aligned}
m^2 c^2 & =p_{\mathrm{e}}^2+m_{\mathrm{e}}^2 c^2 \\
& =p^2+p^{\prime 2}-2 p p^{\prime} \cos \varphi+m_{\mathrm{e}}^2 c^2 \\
& =h^2\left(\frac{1}{\lambda^2}+\frac{1}{\lambda^{\prime 2}}\right)-\frac{2 h^2}{\lambda \lambda^{\prime}} \cos \varphi+m_{\mathrm{e}}^2 c^2 ...(1.50)
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

比较（1．49）和（1．50）两式得

$$
-\frac{2 h^2}{\lambda \lambda^{\prime}}+\frac{2 h m_{\mathrm{e}} c}{\lambda \lambda^{\prime}}\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right)=-\frac{2 h^2}{\lambda \lambda^{\prime}} \cos \varphi
$$

整理后得

$$
\Delta \lambda=\lambda^{\prime}-\lambda=\frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \varphi)
$$

上式即为康普顿散射公式，与实验规律式（1．46）相比较，得电子康普顿波长为 $\lambda_{\mathrm{c}}=\frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}=0.002426 \mathrm{~nm}$ ，与实验完全符合．

此外，也可将式（1．51）改写为

$$
\frac{1}{h v^{\prime}}-\frac{1}{h v}=\frac{1}{m_{\mathrm{e}} c^2}(1-\cos \varphi)
$$

所以，散射光子能量为

$$
h v^{\prime}=\left(\frac{1}{m_{\mathrm{e}} c^2}(1-\cos \varphi)+\frac{1}{h v}\right)^{-1}=\frac{h v}{1+\gamma(1-\cos \varphi)} ...(1.52)
$$

其中 $\gamma \equiv \frac{h v}{m_{\mathrm{e}} c^2}=\frac{\lambda_{\mathrm{c}}}{\lambda}$ ．反冲电子能量为

$$
E_{\mathrm{k}, \mathrm{e}}=h v-h v^{\prime}=h v \frac{\gamma(1-\cos \varphi)}{1+\gamma(1-\cos \varphi)}
$$

根据式（1．51）可知：
（1）当 $\varphi=90^{\circ}$ 时， X 光子波长改变量即等于电子康普顿波长 $\Delta \lambda=\lambda_{\mathrm{c}} \equiv \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}$ ；当 $\varphi=180^{\circ}$ 时，$(\Delta \lambda)_{\max }=2 \lambda_{\mathrm{c}}=0.0049 \mathrm{~nm}$ ，这是最大波长改变量．
（2）$\Delta \lambda$ 只决定于 $\varphi$ ，与 $\lambda$ 无关．
对于波长为 $\lambda=500 \mathrm{~nm}$ 的可见光，散射后光子波长最大的相对变化为

$$
\left(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\right)_{\max }=\frac{0.0049}{500} \approx 10^{-5}
$$

对于经典波动光学的实验精确度而言，这一变化微不足道，无法测量．然而对于波长为 $\lambda=0.1 \mathrm{~nm}$ 的 X 光子，散射后光子频率最大的相对变化为

$$
\left(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\right)_{\max }=\frac{0.0049}{0.1} \approx 5 \times 10^{-2}
$$

对于现代物理实验而言，这一变化就不可能忽略了．这就是在经典波动光学中光的粒子性没显示出来的原因，因为可见光的波长要比 X 光子波长大 4 个数量级．
 
应该说明的是，在上述康普顿散射公式推导过程中，我们假设人射 X 光子与外层电子而不是内层电子相互散射。由于内层电子受原子核的束缚较紧，一般 X光子不易打出内层电子，此时，人射的 X 光子相当于与原子或原子核散射，散射公式的推导与上述推导过程基本一样，唯一的区别是将式（1．47）～式（1．51）中的电子静质量和动质量分别换成原子核的静质量和动质量，最后得

$$
\Delta \lambda=\lambda^{\prime}-\lambda=\frac{h}{M c}(1-\cos \varphi)
$$

因为原子核静质量 $M \gg m_{\mathrm{e}}$ ，因此可认为上式趋向零。
晶体衍射实验证明了 X 射线是一种波动，而康普顿散射实验又证明了 X 射线由微粒组成，说明对 X 射线而言，在一些实验中，它显示波动性；但在另一些实验中，它又显示粒子性．这种看似＂矛盾＂的实验结果，对后来量子物理学基本假说＂微观粒子波粒二象性＂的提出和确立起到了重要支撑作用．

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