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贝尔不等式

12.2 贝尔不等式

1952年，玻姆认为，量子物理学仅仅给出微观粒子的统计描述是不完备的，有必要引人某种＂隐变量＂，将处于不同空间的微观粒子关联起来，也就无所谓超距作用了。那么，这种隐变量究竟是什么？隐变量是如何关联微观粒子的？唯象理解可类比点电荷周围的电场：微观粒子向四周发出一种量子势场（quantum potential），这种势场弥漫在整个宇宙中，使之可以感知周围的环境．若对此势场进行测量，场即被扰动，瞬间带来微观粒子状态变化．
在局域隐变量理论的基础上，贝尔（J．Bell）在 1964 年推导出一个不等式，即贝尔不等式 ${ }^{(1)}$ ．该不等式证明：如果存在隐变量，大量测量结果之间的相关性将永远不会超过某个值。于是验证贝尔不等式成为一块＂试金石＂，用以判断量子纠缠的真伪和来源，判断量子物理学是否正确。

按照局域隐变量的观念，纠缠粒子出生伊始，就已携带相同的基因，即隐变量．这个隐变量使它们互相关联，如同母子之间＂心灵感应＂，因为它们有血缘关系。贝尔不等式本意是以数学的方式证实这个隐变量的存在，也间接地证明经典解释是正确的，量子物理学的诠释是不完备的．然而，事实正好相反．

假设一 EPR 粒子对（见 12.4 节），两个粒子反向运动（一个沿 $x$ 轴正方向，一个沿 $x$ 轴负方向），粒子自旋均为 $1 / 2$ ，并处在自旋相反的纠缠态，如下所示：

$$
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2-|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2\right)
$$

在两侧足够远处，各放置一个类似施特恩－格拉赫实验的自旋分析器 $a$ 和 $b$ ，所设置的自旋检测取向单位矢量分别为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ ，如图 12.1 所示．

![图片](/uploads/2025-11/5cd0c5.jpg)
 
 局域隐变量理论认为：每次测量并不是随机的，而是由某个未知的隐变量 $\lambda$决定。用 $\rho(\lambda)$ 代表隐变量 $\lambda$ 的概率分布，并满足归一化条件

$$
\int \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda=1
$$

设 $A(\boldsymbol{a}, \lambda)$ 和 $B(\boldsymbol{b}, \lambda)$ 分别为图 12.1 两侧所测得的自旋分量值（以 $\hbar / 2$ 为单位）如下：

![图片](/uploads/2025-11/519be9.jpg)
 
 根据上述定义，显然有

$$
|A(\boldsymbol{a}, \lambda)| \leqslant 1, \quad|B(\boldsymbol{b}, \lambda)| \leqslant 1
$$

实验上观测到的关联项 $E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 为 $A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda)$ 的期望值，即

$$
E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda) \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda
$$

其中 $\rho(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 无关。
令 $\boldsymbol{a}^{\prime} 、 \boldsymbol{b}^{\prime}$ 分别代表对粒子 1、2 自旋测量的另外取向，则

$$
\begin{aligned}
& E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})-E\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right) \\
= & \int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda) \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda-\int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right) \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda \\
= & \int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda)\left[1 \pm A\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \lambda\right) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right)\right] \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda \\
& -\int A(\bold

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