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贝尔不等式

12.2 贝尔不等式

1952年，玻姆认为，量子物理学仅仅给出微观粒子的统计描述是不完备的，有必要引人某种＂隐变量＂，将处于不同空间的微观粒子关联起来，也就无所谓超距作用了。那么，这种隐变量究竟是什么？隐变量是如何关联微观粒子的？唯象理解可类比点电荷周围的电场：微观粒子向四周发出一种量子势场（quantum potential），这种势场弥漫在整个宇宙中，使之可以感知周围的环境．若对此势场进行测量，场即被扰动，瞬间带来微观粒子状态变化．
在局域隐变量理论的基础上，贝尔（J．Bell）在 1964 年推导出一个不等式，即贝尔不等式 ${ }^{(1)}$ ．该不等式证明：如果存在隐变量，大量测量结果之间的相关性将永远不会超过某个值。于是验证贝尔不等式成为一块＂试金石＂，用以判断量子纠缠的真伪和来源，判断量子物理学是否正确。

按照局域隐变量的观念，纠缠粒子出生伊始，就已携带相同的基因，即隐变量．这个隐变量使它们互相关联，如同母子之间＂心灵感应＂，因为它们有血缘关系。贝尔不等式本意是以数学的方式证实这个隐变量的存在，也间接地证明经典解释是正确的，量子物理学的诠释是不完备的．然而，事实正好相反．

假设一 EPR 粒子对（见 12.4 节），两个粒子反向运动（一个沿 $x$ 轴正方向，一个沿 $x$ 轴负方向），粒子自旋均为 $1 / 2$ ，并处在自旋相反的纠缠态，如下所示：

$$
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2-|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2\right)
$$

在两侧足够远处，各放置一个类似施特恩－格拉赫实验的自旋分析器 $a$ 和 $b$ ，所设置的自旋检测取向单位矢量分别为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ ，如图 12.1 所示．

![图片](/uploads/2025-11/5cd0c5.jpg)
 
 局域隐变量理论认为：每次测量并不是随机的，而是由某个未知的隐变量 $\lambda$决定。用 $\rho(\lambda)$ 代表隐变量 $\lambda$ 的概率分布，并满足归一化条件

$$
\int \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda=1
$$

设 $A(\boldsymbol{a}, \lambda)$ 和 $B(\boldsymbol{b}, \lambda)$ 分别为图 12.1 两侧所测得的自旋分量值（以 $\hbar / 2$ 为单位）如下：

![图片](/uploads/2025-11/519be9.jpg)
 
 根据上述定义，显然有

$$
|A(\boldsymbol{a}, \lambda)| \leqslant 1, \quad|B(\boldsymbol{b}, \lambda)| \leqslant 1
$$

实验上观测到的关联项 $E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 为 $A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda)$ 的期望值，即

$$
E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=\int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda) \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda
$$

其中 $\rho(\lambda)$ 与 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 无关。
令 $\boldsymbol{a}^{\prime} 、 \boldsymbol{b}^{\prime}$ 分别代表对粒子 1、2 自旋测量的另外取向，则

$$
\begin{aligned}
& E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})-E\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right) \\
= & \int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda) \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda-\int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right) \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda \\
= & \int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda)\left[1 \pm A\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \lambda\right) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right)\right] \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda \\
& -\int A(\boldsymbol{a}, \lambda) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right)\left[1 \pm A\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \lambda\right) B(\boldsymbol{b}, \lambda)\right] \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda
\end{aligned}
$$

上式被积函数中插人的两个方括弧均 $\geqslant 0$ ，故有

$$
\begin{aligned}
& \left|E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})-E\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)\right| \\
\leqslant & \int|A(\boldsymbol{a}, \lambda) B(\boldsymbol{b}, \lambda)|\left[1 \pm A\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \lambda\right) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right)\right] \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda \\
& +\int\left|A(\boldsymbol{a}, \lambda) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right)\right|\left[1 \pm A\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \lambda\right) B(\boldsymbol{b}, \lambda)\right] \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda \\
\leqslant & \int\left[1 \pm A\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \lambda\right) B\left(\boldsymbol{b}^{\prime}, \lambda\right)\right] \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda+\int\left[1 \pm A\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \lambda\right) B(\boldsymbol{b}, \lambda)\right] \rho(\lambda) \mathrm{d} \lambda \\
= & 2 \pm\left[E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)+E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}\right)\right]
\end{aligned}
$$

上述推导利用了式（12．7）和式（12．8）．所以

$$
\begin{aligned}
& \left|E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})-E\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)\right|+\left|E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)+E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}\right)\right| \leqslant 2 \\
& \left|E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})-E\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)+E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)+E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}\right)\right| \leqslant 2
\end{aligned}
$$

式（12．9）即为著名的贝尔不等式（Bell inequality），不等号左侧被称为贝尔信号 （Bell＇s signal）$S$ ，即要求贝尔信号 $S$ 小于等于 2 ，且对任意取向的 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{a}^{\prime} 、 \boldsymbol{b}^{\prime}$ 值均成立，这是从局域隐变量理论导出的结果，它与量子物理学的结果是不相容的．

设 $A(\boldsymbol{a}, \lambda)$ 和 $B(\boldsymbol{b}, \lambda)$ 分别对应量子物理学中的如下算符：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{a}=\sigma_x a_x+\sigma_y a_y+\sigma_z a_z \\
& \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{b}=\sigma_x b_x+\sigma_y b_y+\sigma_z b_z
\end{aligned}
$$

其中 $\sigma_x 、 \sigma_y 、 \sigma_z$ 即为三个泡利矩阵［见第 6 章式（6．21）］

$$
\sigma_x=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_y=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_z=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)
$$

于是得

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{cc}
a_z & a_x-\mathrm{i} a_y \\
a_x+\mathrm{i} a_y & -a_z
\end{array}\right) \\
& \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{cc}
b_z & b_x-\mathrm{i} b_y \\
b_x+\mathrm{i} b_y & -b_z
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

根据直积定义，它们的直积应该是 $4 \times 4$ 的矩阵

![图片](/uploads/2025-11/d65765.jpg)
 
 另外，纠缠态波函数式(12.3)可表示为列矩阵 
 
  ![图片](/uploads/2025-11/10ff2b.jpg)
  
  $$
\langle E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})\rangle_\psi=\langle\psi|(\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{a}) \otimes(\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{b})|\psi\rangle
$$

经过计算，不难得到上式结果为

$$
\langle E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})\rangle_\psi=-\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\cos (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})
$$

适当选择 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{a}^{\prime} 、 \boldsymbol{b}^{\prime}$ 四个单位矢量的方向，如图 12.2 所示．

![图片](/uploads/2025-11/6e06e8.jpg)
 
 根据量子物理学基本原理，实验上测量得到的是力学量的平均值，于是对应于式（12．9），有

$$
\begin{aligned}
& \langle E(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})\rangle_\psi-\left\langle E\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)\right\rangle_\psi+\left\langle E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}\right)\right\rangle_\psi+\left\langle E\left(\boldsymbol{a}^{\prime}, \boldsymbol{b}^{\prime}\right)\right\rangle_\psi \\
= & -\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{3 \pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4} \\
= & -2 \sqrt{2}
\end{aligned}
$$

对上式取绝对值，得贝尔信号 $S=2 \sqrt{2}$ ，明显与贝尔不等式（12．9）矛盾，局域隐变量与量子力学理论的分歧明显．其实，对 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{a}^{\prime} 、 \boldsymbol{b}^{\prime}$ 四个单位向量的方向选择还有其他，图 12.2 只是其中一种，它们均可导致与贝尔不等式不一致的结果。

那么它们之中究竟哪个理论对呢？于是许多小组通过实验开始证明．最著名的应该是1982年的阿兰•阿斯佩（A．Aspect）小组的实验 ${ }^{(1)}$ 。该实验采用的光源是钙原子 $4 \mathrm{p}^2{ }^1 \mathrm{~S}_0 \rightarrow 4 \mathrm{~s} 4 \mathrm{p}^1 \mathrm{P}_1 \rightarrow 4 \mathrm{~s}^2{ }^1 \mathrm{~S}_0$ 级联辐射衰变到基态，由两束偏振同向的激光抽运，同时发射出一对纠缠光子沿不同路径传播。实验极其巧妙地极快任意改变光子后继路径，使测定光子的极化方向是在光子传输过程中才决定；这样，即使用光速传递信号，也不可能在两个光子之间通过实际信号建立联系，使一个光子对另一个光子的测量结果产生响应。对两个光子的偏振态实施的测量证实：两个光子的相关程度确实超过了贝尔不等式允许范围！实验测得的平均值为 $S_{\text {实验 }}=2.697 \pm 0.015$ ，按量子物理学理论计算为 $S_{\text {理论 }}=2.70 \pm 0.05$ ，两者符合得很好，超出了贝尔不等式 $S_{\text {Bell }} \leqslant 2$ 的限制．

又如，罗乌（M．A．Rowe）等使用了处于纠缠态的 ${ }^9 \mathrm{Be}^{+}$，实验测得贝尔信号 $S=2.25 \pm 0.03^{\text {（2）}}$ 等等．可以说，迄今为止的所有实验测量结果均证明：局域隐变量是不存在的，自然界中的确存在量子纠缠所展示的非局域关联。
2022年诺贝尔物理学奖被授予阿兰•阿斯佩（A．Aspect）、约翰•弗朗西斯•克劳泽（J．F．Clauser）和安东•塞林格（A．Zeilinger），以表彰他们＂用纠缠光子进行实验，证伪贝尔不等式，开创量子信息科学＂。他们利用绝妙的实验证明：发生在纠缠对中的一个粒子上的事情会决定发生在另一个粒子上的事情，即使它们的距离远到无法彼此相互作用．这一成果为量子技术的新时代奠定了基础．

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