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非简并态微扰论

前几章介绍了量子物理学的基本理论，并解决了一些相对简单的问题，给出了精确解析解，如一维无限深势阱、一维线性谐振子、势垒贯穿、氢原子问题等。然而，对于大量的实际问题，能够求得薛定谔方程精确解析解的情况很少。因此，在处理复杂实际问题时，寻求近似求解方法十分必要，通常是利用已有的简单问题精确解（解析解），经过数学简化，从而求得较复杂问题的近似解。

微扰方法是比较传统的近似求解方法。最初，在天体物理领域，当计算行星运行轨道时发展并使用该方法，其中的＂微扰＂是其他行星影响的二级效应。例如，地球受太阳引力作用绕太阳公转。但是，由于与其他行星的相互作用，其轨道需要予以修正：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道；然后计算此轨道受其他行星的微扰作用而发生的微小变化。

下面将介绍的定态微扰理论是关于分立能级的能量和波函数修正求解．如果哈密顿量可表示成两项之和，即 $\hat{H}=\hat{H}^{(0)}+\hat{H}^{\prime}$ ，其中 $\hat{H}^{(0)}$ 所描述的体系可以精确求解，其本征矢为 $\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle$ 、本征值 $E_n{ }^{(0)}$ 为分立能级，且相比较 $\hat{H}^{(0)}$ 而言，$\hat{H}^{\prime}$ 是小量。此时，可采用如下微扰方法近似求解。

8.1 非简并态微扰论

1．微扰体系方程
设体系哈密顿量不显含时间，且可分为两部分

$$
\hat{H}=\hat{H}^{(0)}+\hat{H}^{\prime}
$$

其中，$\hat{H}^{\prime}$ 是小量，可被视为加于 $\hat{H}^{(0)}$ 上的微小扰动．而 $\hat{H}^{(0)}$ 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 $E_n{ }^{(0)}$（分立能级）和本征矢 $\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle$ 满足如下本征方程：

$$
\hat{H}^{(0)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle=E_n^{(0)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle
$$

设哈密顿量 $\hat{H}$ 的本征值和本征矢满足

$$
\hat{H}\left|\psi_n\right\rangle=E_n\left|\psi_n\right\rangle
$$

当 $\hat{H}^{\prime}=0$ 时，$\left|\psi_n\right\rangle=\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle, E_n=E_n{ }^{(0)}$ ；当 $\hat{H}^{\prime} \neq 0$ 时，引人微扰，使体系能级发

生移动，由 $E_n{ }^{(0)} \rightarrow E_n$ ，状态由 $\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle \rightarrow\left|\psi_n\right\rangle$ ．
为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为

$$
\hat{H}^{\prime}=\lambda \hat{H}^{(1)}
$$

其中 $\lambda$ 是很小的实数，表征微扰数量级的参量。因为 $E_n 、\left|\psi_n\right\rangle$ 均与微扰有关，可以把它们看成是 $\lambda$ 的函数而将其展开成 $\lambda$ 的幂级数

$$
\begin{aligned}
& E_n=E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\lambda^2 E_n^{(2)}+\cdots \\
& \left|\psi_n\right\rangle=\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle+\lambda\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+\lambda^2\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle+\cdots
\end{aligned}
$$

其中 $E_n{ }^{(0)}, \lambda E_n{ }^{(1)}, \lambda^2 E_n{ }^{(2)}, \cdots$ 分别是能量的零级近似、一级修正和二级修正等；而 $\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle, \lambda\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle, \lambda^2\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle, \cdots$ 分别是状态矢量零级近似、一级修正和二级修正等．代人薛定谔方程得

$$
\begin{aligned}
& \left(\hat{H}^{(0)}+\lambda \hat{H}^{(1)}\right)\left(\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle+\lambda\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+\lambda^2\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle+\cdots\right) \\
= & \left(E_n^{(0)}+\lambda E_n^{(1)}+\lambda^2 E_n^{(2)}+\cdots\right)\left(\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle+\lambda\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+\lambda^2\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle+\cdots\right)
\end{aligned}
$$

将上式展开分别得
$$
\begin{aligned}
& \hat{H}^{(0)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle+\lambda\left(\hat{H}^{(0)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+\hat{H}^{(1)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle\right)+\lambda^2\left(\hat{H}^{(0)}\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle+\hat{H}^{(1)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle\right)+\cdots \\
= & E_n^{(0)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle+\lambda\left(E_n^{(0)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+E_n^{(1)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle\right)+\lambda^2\left(E_n^{(0)}\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle+E_n^{(1)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+E_n^{(2)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle\right)+\cdots
\end{aligned}
$$

上式两边 $\lambda$ 同幂次的系数应该相等，得如下系列方程．

$$
\begin{array}{ll}
\lambda^0: & \hat{H}^{(0)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle=E_n^{(0)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle \\
\lambda^1: & \hat{H}^{(0)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+\hat{H}^{(1)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle=E_n^{(0)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+E_n^{(1)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle \\
\lambda^2: & \hat{H}^{(0)}\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle+\hat{H}^{(1)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle=E_n^{(0)}\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle+E_n^{(1)}\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle+E_n^{(2)}\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle
\end{array}
$$

整理得

$$
\begin{array}{ll}
\lambda^0: & \left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle=0 \\
\lambda^1: & \left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left|\psi_n^{(1)}\right\rangle=-\left(\hat{H}^{(1)}-E_n^{(1)}\right)\left|\psi_n^{(0)}\right\rangle \\
\lambda^2: & \left(\hat{H}^{(0)}-E_n^{(0)}\right)\left|\psi_n^{(2)}\right\rangle=-\left(\hat{H}^{(1)}-E_n^{(1)}\right)\left|\psi_n^{(1)}\right\

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