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含时微扰理论

在讨论体系的定态问题时，体系的哈密顿量 $\hat{H}$ 不显含时间，薛定谔方程的时间和空间波函数可分离变量求解，得到空间波函数为 $\psi(r)$ ，体系总波函数为

$$
\psi(\boldsymbol{r}, t)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} E t} \psi(\boldsymbol{r})
$$

其中，$E$ 为粒子能量，定态时粒子能量为守恒量，此时 $\psi(\boldsymbol{r})$ 满足定态薛定谔方程（2．28），各种力学性质不随时间而改变，力学量的可能观测值等于力学量相应厄米算符的本征值．

当体系的哈密顿量 $\hat{H}$ 显含时间时，体系状态波函数 $\Psi(r, t)$ 随时空演化满足含时薛定谔方程

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi=\hat{H}(t) \Psi
$$

即式（2．21）．一般而言，严格求解此含时间的薛定谔方程比较困难，但是如果哈密顿量中的含时间部分很小，就可以采用微扰理论来处理，它可以解决在外界某种微小扰动作用下定态之间的跃迁概率之类的问题．
9.1 含时微扰理论

定态微扰理论讨论了分立能级能量和波函数的修正求解问题，所讨论的体系哈密顿算符不显含时间，因而求解的是定态薛定谔方程．含时微扰理论讨论体系的哈密顿算符含有与时间有关的微扰项，即

$$
\hat{H}(t)=\hat{H}^{(0)}+\hat{H}^{\prime}(t)
$$

其中，无微扰时的哈密顿量 $\hat{H}^{(0)}$ 满足定态薛定谔方程（2．28），可精确求解；与 $\hat{H}^{(0)}$相比较，$\hat{H}^{\prime}(t)$ 可被视为小量．因为哈密顿量 $\hat{H}$ 与时间有关，所以体系波函数需由含时薛定谔方程（2．21）解出。但是精确求解这种问题通常很困难，需要发展与时间有关的含时微扰理论，其基本方法是通过精确求解 $\hat{H}^{(0)}$ 的定态波函数，近似求出具有含时微扰的波函数，从而可计算求出加入含时微扰后体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁概率．

设 $\hat{H}^{(0)}$ 不显含时间，定态薛定谔方程以及求得的本征函数 $\psi_n$ 和总波函 $\Psi_n$ 分别为

$$
\begin{gathered}
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi_n=\hat{H}^{(0)} \Psi_n \\
\hat{H}^{(0)} \psi_n=\varepsilon_n \psi_n, \quad \Psi_n=\psi_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \varepsilon_n t / \hbar}
\end{gathered}
$$

定态波函数 $\Psi_n$ 构成正交完备系，故体系的波函数 $\Psi$ 可按 $\Psi_n$ 展开，即

$$
\Psi=\sum_n a_n(t) \Psi_n
$$

其中系数 $a_n(t)$ 与时间有关．将式（9．3）代人含时薛定谔方程（2．21），得

$$
\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \sum_n a_n(t) \Psi_n=\hat{H}(t) \sum_n a_n(t) \Psi_n
$$

将式（9．1）代入上式，得

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{i} \hbar \sum_n\left[\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} a_n(t)\right] \Psi_n+\mathrm{i} \hbar \sum_n a_n(t) \frac{\partial}{\partial t} \Psi_n \\
= & \sum_n a_n(t) \hat{H}^{(0)} \Psi_n+\sum_n a_n(t) \hat{H}^{\prime}(t) \Psi_n
\end{aligned}
$$

式中，因为 $\hat{H}^{\prime}(t)$ 不含对时间 $t$ 的偏导数算符，故它与 $a_n(t)$ 对易．利用式（9．2），上式简化为

$$
\mathrm{i} \hbar \sum_n\left[\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} a_n(t)\right] \Psi_n=\sum_n a_n(t) \hat{H}^{\prime}(t) \Psi_n
$$

用 $\Psi_m^*$ 左乘上式后对全空间积分，得

$$
\begin{aligned}
\mathrm{i} \hbar \sum_n\left[\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} a_n(t)\right] \int \Psi_m^* \Psi_n \mathrm{~d} \tau=\sum_n a_n(t) \int \Psi_m^* \hat{H}^{\prime}(t) \Psi_n \mathrm{~d} \tau \\
\mathrm{i} \hbar \sum_n\left[\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} a_n(t)\right] \delta_{m n}=\sum_n a_n(t) \int \psi_m^* \hat{H}^{\prime}(t) \psi_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\varepsilon_m-\varepsilon_n\right) t / \hbar} \mathrm{d} \tau
\end{aligned}
$$

上述推导利用了波函数 $\Psi_n$ 的正交性和式（9．2）．于是上式可简化为

$$
\begin{gathered}
\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} a_m(t)=\sum_n a_n(t) H_{m n}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m n} t} \\
H_{m n}^{\prime}=\int \psi_m^* \hat{H}^{\prime}(t) \psi_n \mathrm{~d} \tau
\end{gathered}
$$

其中，玻尔频率 $\omega_{m n}=\left(\varepsilon_m-\varepsilon_n\right) / \hbar, H_{m n}^{\prime}$ 为微扰矩阵元。式（9．4）是通过展开 $\Psi=\sum_n a_n(t) \Psi_n$ 改写而成的薛定谔方程的另一种形式，至此仍然是严格表述。

与第 8 章定态微扰中使用的方法类似，与时间有关的微扰理论方法如下：
（1）引进一个参量 $\lambda$ ，用 $\lambda \hat{H}^{\prime}$ 代替 $\hat{H}^{\prime}$（最后结果中令 $\lambda=1$ ）；
（2）将 $a_n(t)$ 展开成下列幂级数；$a_n=a_n^{(0)}+\lambda a_n^{(1)}+\lambda^2 a_n^{(2)}+\cdots$ ；
（3）代人薛定谔方程（9．4），并按 $\lambda$ 幂次分类；

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left(a_m^{(0)}+\lambda a_m^{(1)}+\lambda^2 a_m^{(2)}+\cdots\right) \\
= & \sum_n\left(a_n^{(0)}+\lambda a_n^{(1)}+\lambda^2 a_n^{(2)}+\cdots\right) \lambda H_{m n}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m n} t}
\end{aligned}
$$

或改写为

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{i} \hbar\left(\frac{\mathrm{~d} a_m^{(0)}}{\mathrm{d} t}+\lambda \frac{\mathrm{d} a_m^{(1)}}{\mathrm{d} t}+\lambda^2 \frac{\mathrm{~d} a_m^{(2)}}{\mathrm{d} t}+\cdots\right) \\
= & \sum_n\left(\lambda a_n^{(0)}+\lambda^2 a_n^{(1)}+\lambda^3 a_n^{(2)}+\cdots\right) H_{m n}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m n} t}
\end{aligned}
$$

（4）解上组方程，即可得到关于 $a_n$ 的各级近似解，而得到波函数 $\Psi$ 的近似解．一般只求一级近似便足够了。

最后令 $\lambda=1$ ，即用 $H_{m n}^{\prime}$ 代替 $\lambda H_{m n}^{\prime}$ ，用 $a_m^{(1)}$ 代替 $\lambda a_m^{(1)}$ 等．比较式（9．5）两边同 $\lambda$幂次项，并令它们相等，得

$$
\begin{gathered}
\frac{\mathrm{d} a_m^{(0)}}{\mathrm{d} t}=0 \\
\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d} a_m^{(1)}}{\mathrm{d} t}=\sum_n a_n^{(0)} H_{m n}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m n} t} \\
\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{~d} a_m^{(2)}}{\mathrm{d} t}=\sum_n a_n^{(1)} H_{m n}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m n} t}
\end{gathered}
$$

．．．．．．
式（9．6）说明：零级近似波函数 $a_m^{(0)}$ 不随时间变化，它由未微扰时体系所处的初始状态所决定。

设 $t \leqslant 0$ 时，体系处于 $\hat{H}^{(0)}$ 的第 $k$ 个本征态 $\psi_k$ ，且由于 $\exp \left(-\mathrm{i} \varepsilon_k t / \hbar\right)_{t=0}=1$ ，利用式（9．2）、式（9．3），有

$$
\psi_k=\sum_m a_m(0) \Psi_m(0)=\sum_m a_m(0) \psi_m=\sum_m\left[a_m^{(0)}(0)+\lambda a_m^{(1)}(0)+\cdots\right] \psi_m
$$

对上式两边左乘 $\psi_n^*$ ，全空间积分得

$$
\delta_{n k}=a_n^{(0)}(0)+\lambda a_n^{(1)}(0)+\cdots
$$

比较上式等号两边同 $\lambda$ 幂次项得

$$
\begin{aligned}
& a_n^{(0)}(0)=\delta_{n k} \\
& a_n^{(1)}(0)=a_n^{(2)}(0)=\cdots=0
\end{aligned}
$$

因 $a_n^{(0)}$ 不随时间变化，利用式（9．6），故 $a_n^{(0)}(t)=a_n^{(0)}(0)=\delta_{n k}$ ．
当 $t \geqslant 0$ 后加人微扰，利用式（9．9），式（9．7）的一级近似为

$$
\frac{\mathrm{d} a_m^{(1)}}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i} \hbar} \sum_n \delta_{n k} H_{m n}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m n} t}=\frac{1}{\mathrm{i} \hbar} H_{m k}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m k} t}
$$

对时间 $t$ 积分得

$$
a_m^{(1)}=\frac{1}{\mathrm{i} \hbar} \int_0^t H_{m k}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{m k} t} \mathrm{~d} t
$$

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