最后更新: 2025-02-11 13:40 查看: 823 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

参数方程与螺旋线

参数方程;螺距;螺旋线

## 空间曲线的参数方程
如果说曲线作为两曲面的交线而形成一般方程，那么空间曲线也可以将其看 作空间点移动的轨迹而形成曲线的参数方程. 即有

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t), \\
z=\omega(t),
\end{array}\right.
$$

其中 $\varphi(t) ， \psi(t) ， \omega(t)$ 是连续的.
显然，随着 $t$ 的变化， $\varphi(t) ， \psi(t) ， \omega(t)$ 也在变化，而 $(x, y, z)$ 对应的点 $M$ 的 轨迹就形成曲线.

`例`若空间一点 $M$ 在圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 上以角 速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转，同时又以线速度 $v$ 沿平行于 $z$ 轴 的正方向上升（其中 $\omega 、 v$ 是常数)，则点 $M$ 构成的图 形叫做**螺旋线** (见图 5-68）. 试建立其参数方程.
解 取时间 $t$ 为参数，动点从 $A$ 点出发 经过 $t$ 时间运动到 $M$ 点.
$M$ 在 $x O y$ 面的投影 $N(x, y, 0)$,

$$
\left\{\begin{array}{c}
x=a \cos \omega t \\
y=a \sin \omega t \\
z=v t
\end{array}\right.
$$

螺旋线的参数方程还可以写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos \theta \\
y=a \sin \theta, \\
z=b \theta
\end{array} \quad\left(\theta=\omega t, b=\frac{v}{\omega}\right)\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos \omega t \\
y=a \sin \omega t \\
z=v t
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230574282c.png)

螺旋线具有重要性质，即上升的高度与转过的角度成正比. 从而当 $\theta$ 从 $\theta_0$ 变化到 $\theta_0+\alpha$ 时，有 $z$ 的值由 $b \theta_0$ 变化到 $b \theta_0+b \alpha$ ，故当点 $M$ 转过角 $\alpha$ 时，点 $M$ 沿螺旋线上升了高 度 $b \alpha$. 特别当 $\alpha=2 \pi$, 点 $M$ 的高度 $h=2 b \pi$ ，称为**螺距**.

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