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量子隐形传态

3．量子隐形传态  
根据量子物理学原理，单次测量不能完全获得一个任意态．而且，单次测量后，量子态已经坍缩至某个本征态，无法对它进行重复测量．

设想有一个自旋为 $1 / 2$ 的粒子 1 （或光子 1 ）的量子态 $|\varphi\rangle_1$ ，即

$$
|\varphi\rangle_1=a|\uparrow\rangle_1+b|\downarrow\rangle_1=\binom{a}{b}_1
$$

它包含了所要传递的信息．传递者 A（Alice）欲将此信息传给远方的接收者 B（Bob），如图 11.14 所示．

![图片](/uploads/2025-11/b8045e.jpg)
 
 事先准备好一 EPR 粒子对（相互纠缠的两粒子系统，见第 12 章） 2 和 3 ，使它们自旋方向相反，处于下列贝尔基纠缠态：

$$
\left|\psi_{23}^{-}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_2 \otimes|\downarrow\rangle_3-|\downarrow\rangle_2 \otimes|\uparrow\rangle_3\right)
$$

粒子 2 在 A 手中，并将粒子 3 发送到 B．A 使用可以识别 4 个贝尔基的技术，对粒子 1 和 EPR 粒子对 2、 3 的联合系统进行测量，得量子态

$$
\begin{aligned}
& \left|\Psi_{123}\right\rangle=|\varphi\rangle_1 \otimes\left|\psi_{23}^{-}\right\rangle \\
& =\frac{a}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \otimes|\downarrow\rangle_3-|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \otimes|\uparrow\rangle_3\right) \\
& \quad+\frac{b}{\sqrt{2}}\left(|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \otimes|\downarrow\rangle_3-|\downarrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \otimes|\uparrow\rangle_3\right)
\end{aligned}
$$

在 A 处的是粒子 1 和 2 ，她做测量是判断粒子 1 和 2 处于哪个贝尔基纠缠态。为此将上述波函数按粒子 1 和 2 的贝尔基［即式（11．64）］展开为

$$
\left|\Psi_{123}\right\rangle=\left|I_3\right\rangle \otimes\left|\psi_{12}^{-}\right\rangle+\left|I I_3\right\rangle \otimes\left|\psi_{12}^{+}\right\rangle+\left|I I I_3\right\rangle \otimes\left|\varphi_{12}^{-}\right\rangle+\left|I V_3\right\rangle \otimes\left|\varphi_{12}^{+}\right\rangle
$$

其中利用式（11．64），即

$$
\begin{aligned}
& \left|\psi^{ \pm}\right\rangle_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \pm|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2\right) \\
& \left|\varphi^{ \pm}\right\rangle_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \pm|\downarrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2\right)
\end{aligned}
$$

是粒子 1 和 2 的贝尔基．利用贝尔基的正交归一性，可得上式中的各系数．
例如

$$
\begin{aligned}
\left|I_3\right\rangle= & \left\langle\psi-\overline{12} \mid \Psi_{123}\right\rangle \\
= & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left\langle\uparrow | _ { 1 } \otimes \left\langle\left.\downarrow\right|_2-\left\langle\downarrow | _ { 1 } \otimes \langle \uparrow | _ { 2 } ) \cdot \left[\frac{a}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \otimes|\downarrow\rangle_3-|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \otimes|\uparrow\rangle_3\right)\right.\right.\right.\right.\right. \\
& \left.+\frac{b}{\sqrt{2}}\left(|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \otimes|\downarrow\rangle_3-|\downarrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \otimes|\uparrow\rangle_3\right)\right] \\
= & -\frac{1}{2}\left(a|\uparrow\rangle_3+b|\downarrow\rangle_3\right)
\end{aligned}
$$

又如

$$
\begin{aligned}
\left|I V_3\right\rangle= & \left\langle\varphi_{12}^{+} \mid \Psi_{123}\right\rangle \\
= & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left\langle\uparrow | _ { 1 } \otimes \left\langle\left.\uparrow\right|_2+\left\langle\downarrow | _ { 1 } \otimes \langle \downarrow | _ { 2 } ) \cdot \left[\frac{a}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \otimes|\downarrow\rangle_3-|\uparrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \otimes|\uparrow\rangle_3\right)\right.\right.\right.\right.\right. \\
& \left.+\frac{b}{\sqrt{2}}\left(|\downarrow\rangle_1 \otimes|\uparrow\rangle_2 \otimes|\downarrow\rangle_3-|\downarrow\rangle_1 \otimes|\downarrow\rangle_2 \otimes|\uparrow\rangle_3\right)\right] \\
= & \frac{1}{2}\left(a|\downarrow\rangle_3-b|\uparrow\rangle_3\right)
\end{aligned}
$$

推导上述两式时，需利用如下关系：

$$
\begin{gathered}
\langle\uparrow(i) \mid \uparrow(j)\rangle=\langle\downarrow(i) \mid \downarrow(j)\rangle=\delta_{i j} \\
\langle\uparrow(i) \mid \downarrow(j)\rangle=\langle\downarrow(i) \mid \uparrow(j)\rangle=0, \quad i, j=1,2,3
\end{gathered}
$$

![图片](/uploads/2025-11/cedb0a.jpg)
 
 其中，么正矩阵

$$
U_1=-\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad U_2=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad U_3=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad U_4=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
$$

说明 $\left|I_3\right\rangle 、\left|I I_3\right\rangle 、\left|I I I_3\right\rangle$ 和 $\left|I V_3\right\rangle$ 均是 $|\varphi\rangle_3=\binom{a}{b}$ 经过某么正变换得到的量子态。
当 A 对于 $\left|\Psi_{123}\right\rangle$ 进行 1、2 粒子贝尔态基分析时，整个波函数以一定概率随机地坍缩到某个贝尔基上。假如坍缩到 $\left|\varphi_{12}^{+}\right\rangle$上，则此时 B 手中的粒子 3 立即坍缩到与之对应的 $\left|I V_3\right\rangle$ 上，这意味着粒子 1 和 2 相互纠缠，不需要传递时间，而粒子 2和 3 的纠缠解除，称之为纠缠交换。

但此时 B 仍不知道 A 要传给他的量子态 $|\varphi\rangle_3$ 是什么，除非他知道 A 测得的是 1 和 2 粒子的哪个贝尔态．这时 A 通过经典方法（如电话等）告诉 B 她的测量结果，例如 $\left|\varphi_{12}^{+}\right\rangle$，B 就知道采用矩阵 $U_4=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 的逆变换 $U_4^{-1}$ ，将其作用（左乘）在粒子 3 的量子态 $\left|I V_3\right\rangle=U_4|\varphi\rangle_3$ 上，使其变回 $|\varphi\rangle_3$ ，于是 B 便得到 A 原来想要传递给
他的量子态 $|\varphi\rangle_1$ 的一个副本，只不过用粒子 3 替换了粒子 1 而已．
实现量子隐形传态步骤：
（1）首先让发送方 A 和接收方 B 拥有一对共享 EPR 对；
（2）A 使用可以识别 4 个 Bell 基的技术，对她所拥有的一半 EPR 对和所要发送信息所在的粒子进行联合测量，此时 B 方所有的另一半 EPR 对将瞬间坍缩成另一状态，具体坍缩为哪一状态取决于 A 方不同测量结果；
（3）A 方通过经典信道将测量结果传送给 B 方；
（4）B 方根据这条信息对自己所拥有的另一半 EPR 做相应的么正变换的逆变换，即可恢复原本信息，构造出原量子态的全貌 $|\varphi\rangle_3$ ，它是量子态 $|\varphi\rangle_1$ 的一个副本。

上述量子隐形传态原理有如下特点：首先，因果律不会遭到破坏。非经典信息（量子态）是通过 EPR 粒子对的纠缠态即时传递，但由于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 之间仍使用了经典方法传递信息，故该信息传递速度不会超过光速；此外，保密性极好．在传递过程中，不可能被＂偷听＂， A 也不知道被传递的量子态 $|\varphi\rangle_1$ 是什么，若被测量，量子态 $|\varphi\rangle_1$ 立即坍缩。

除上述量子隐形传态外，诸如量子计算、量子密码等，均需依据量子物理学的基本原理：任何对量子系统的测量均会对系统产生干扰，瞬间导致态坍缩，且不可恢复，故需要借助量子系统中粒子之间可相互纠缠的方法．
例如，量子计算机与周围环境不可避免地存在相互作用，可引起量子计算机内编码的量子态（逻辑态或数据态）与不可控的环境态相互纠缠，破坏其内编码的相干叠加态，从而破坏量子计算机中存储的量子信息。此外，当执行计算任务时 （通过对计算机内的量子态执行一系列么正变换等），也可在计算每一步时产生错误和误差，许多步的计算还可导致误差叠加放大，从而使计算失败。

经典计算机的纠错方法依赖于对经典比特的直接测量而获得出错信息，然后根据事先拷贝好的备份（即所谓的＂冗余＂），对这些信息进行纠正错误。但在量子计算中，这种直接对量子态［如式（11．60）］的测量是禁止的，因为它将导致量子态坍缩，引起编码量子信息的丢失，且完全丧失再恢复的可能。因此，量子计算中一般做法如下：将携带信息的量子比特与一些附加量子比特纠缠起来，从而把量子信息编码保存在诸多量子比特的纠缠态中，而这些附加量子比特是可控的，有可能将散布在其中的信息提取出来，重新恢复编码的量子信息。上述操作类似于经典纠错中引进冗余来加强信息抗干扰的方法，但不是通过态的拷贝，而是利用量子纠缠，也就是人们常说的以＂纠缠＂战胜＂纠缠出错＂。

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