最后更新: 2025-11-16 12:43 查看: 11 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

用向量内积解决几何问题★★★★★

## 用向量内积解决几何问题
`例4.10` 证明勾股定理（图 4．11）．

![图片](/uploads/2025-11/e4240e.jpg)
 
 
证明：在直角 $\triangle A B C$ 中，$\angle B=90^{\circ}$ ，则

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A C} & =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C} \\
\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C} & =(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}) \\
& =\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B C}
\end{aligned}
$$

即：$\overline{A C}^2=\overline{A B}^2+\overline{B C}^2$

`例4.11` 证明余弦定理（图 4．12）。

![图片](/uploads/2025-11/575e79.jpg)
 
证明：在 $\triangle A B C$ 中，

即

$$
\begin{aligned}
|\overrightarrow{A C}|^2 & =|\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{B C}|^2-2|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{B C}| \cos B \\
b^2 & =c^2+a^2-2 c a \cos B
\end{aligned}
$$

同理可证：

$$
\begin{aligned}
& c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C \\
& a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A
\end{aligned}
$$

由例 4．10、例 4.11 的证明过程可以看到，为了得到三角形的边角关系，只要写出三角形中边向量所要满足的关系，然后作内积运算，向量关系就可转化为数量关系．

`例4.12` 证明射影定理与正弦定理．

![图片](/uploads/2025-11/d1c4d5.jpg)
 
 
证明：过 $A$ 点引单位向量 $\vec{e}_1 / / \overrightarrow{A C}, \vec{e}_2 \perp \vec{e}_1$（图 4．13）

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A C} & =\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C} \\
\overrightarrow{A C} \cdot \vec{e}_1 & =\overrightarrow{A B} \cdot \vec{e}_1+\overrightarrow{B C} \cdot \vec{e}_1 \\
|\overrightarrow{A C}| & =|\overrightarrow{A B}| \cos A+|\overrightarrow{B C}| \cos C
\end{aligned}
$$

即：$b=c \cos A+a \cos C$ 同理可证：

$$
c=a \cos B+b \cos A, \quad a=b \cos C+c \cos B
$$

（4．5）式两边分别对 $\vec{e}_2$ 取内积运算，则

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{A C} \cdot \vec{e}_2 & =\overrightarrow{A B} \cdot \vec{e}_2+\overrightarrow{B C} \cdot \vec{e}_2 \\
0 & =|\overrightarrow{A B}| \cos \left(90^{\circ}-A\right)+|\overrightarrow{B C}| \cos \left(90^{\circ}+C\right)
\end{aligned}
$$

即： $0=c \sin A-a \sin C \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$
同理可证：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，所以

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}
$$

在例 4.12 的证明中，我们先写出三角形三个边向量所满足的向量关系式，然后，分别对 $\vec{e}_1 、 \vec{e}_2$ 两个互相垂直的单位向量取内积运算，这样就很容易地证明了射影定理和正弦定理．适当选取单位向量，对题设条件所满足的向量关系式进行内积运算是处理一些直线形边角关系的基本方法之一。

`例4.13` 利用内积运算证明角平分线定理．

![图片](/uploads/2025-11/44fcad.jpg)
 
 
证明：设 $\overline{A P}$ 为 $\triangle A B C$ 中内角 $A$ 的平分线，则 $\angle B A P=\angle P A C=\alpha$ ，取单位向量 $\vec{e} \perp \overrightarrow{A P}$（图 4．14）

$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{A B} \cdot \vec{e}=|\overrightarrow{A B}| \cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=|\overrightarrow{A B}| \sin \alpha \\
\overrightarrow{A C} \cdot \vec{e}=|\overrightarrow{A C}| \cos \left(90^{\circ}+\alpha\right)=-|\overrightarrow{A C}| \sin \alpha \\
\frac{\overrightarrow{A B}}{\overrightarrow{A C}}=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \vec{e}}{\overrightarrow{A C} \cdot \vec{e}}=\frac{|(\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{P B}) \cdot \vec{e}|}{|(\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{P C}) \cdot \vec{e}|}=\frac{|\overrightarrow{P B} \cdot \vec{e}|}{\overrightarrow{P C} \cdot \vec{e}}=\frac{\overrightarrow{P B}}{\overrightarrow{P C}}
\end{gathered}
$$

`例4.14`在直角 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 是斜边 $\overline{B C}$ 上的高，作 $D E \perp A B, D F \perp A C$ ， $E 、 F$ 是垂足．

![图片](/uploads/2025-11/8fd716.jpg)
 
 
求证：$\frac{\overline{B E}}{\overline{C F}}=\frac{\overline{A B}^3}{\overline{A C}^3}$
证明：设 $\frac{\overline{E B}}{\overline{A B}}=\lambda, \frac{\overline{F C}}{\overline{A C}}=\mu$ ，则：

$$
\overrightarrow{E B}=\lambda \overrightarrow{A B}, \quad \overrightarrow{F C}=\mu \overrightarrow{A C}, \quad \overrightarrow{A E}=(1-\lambda) \overrightarrow{A B}, \quad \overrightarrow{A F}=(1-\mu) \overrightarrow{A C}
$

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