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高中数学
第七章 平面向量与空间向量
空间向量
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更新:
2025-12-02 16:46
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空间向量
## 空间向量 如果把平面上的向量一直到空间,就成了三维空间里的向量。即在空间里,我们把含有大小和方向的量称作**空间向量**。 空间向量的长度称作向量的**模**,两个向量模相等方向相同则称呼为**相等向量**。 这些概念和平面上的定义弯曲一样。 事实上,向量最大的特点具有可推广形,上面介绍的是二维、三维,由此类推,在一个$n$维空间里,可以定义一个$n$维度向量,这事后面《线性代数》研究的主要内容。 {WIDTH=300PX} ## 空间向量的加法 空间向量的加法也可用平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量 $a , b$, 在空间中任取一点 $A$, 作 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A C}= b$, 以 $A B, A C$ 为邻边作一个平行四边形 $A B D C$, 作出向量 $\overrightarrow{A D}$, 则 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ 如下图的长方体中, $$ \overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{B_1 C_1}=\overrightarrow{A A_1}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A D_1} $$  `例` 如图 所示是一个平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 化简 $$ \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} \text {. } $$  解 因为底面 $A B C D$ 是一个平行四边形,所以 $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D B}$, 又因为 $\overrightarrow{D D_1}=\overrightarrow{B B_1}$,所以 $$ \begin{aligned} \overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_1} & =\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B B_1} \\ & =2 \end{aligned} $$ 不难看出, 空间向量的加法也满足交换律和结合律, 即对于任意的向量 $a, b, c$, 都有 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}, \\ & (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) . \end{aligned} $$  ## 空间向量减法 在空间中任取一点 $O$, 作 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$, 作出向量 $\overrightarrow{B A}$, 则向量 $\overrightarrow{B A}$就是向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差 (也称 $\overrightarrow{B A}$ 为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的差向量), 即 $$ \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{B A} \text {. } $$ 当 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线时, 向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 正好能构成一个三角形, 因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形
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【高中数学】空间向量基本定理
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