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切比雪夫Chebyshev大数定律

> 大数定律这个名字看起来有点唬人哟，什么叫做“大数”？就是重复次数很多的数据。 本文介绍的几个大数定理其实都差不多，一句话：可以用 [用频率估计概率](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=198) , 阅读本文前，建议已经了解了[依概率收敛](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=559)

> 独立同分布名词解释，独立同分布包含“独立”和“同分布”两个意思，所谓独立是值每次测试结果互不影响，同分布是指数据服从同一个分布。例如 分两个批次每次各测量100个学生的身高。这里“第一次测量”的结果不影响“第二次”测量的结果，所以是“独立的”。 而身高都是服从正态分布的，因此，这就是独立同分布的意思。再例如测量一批次产品是否合格等，都是“独立同分布”

## 弱大数定律与强大数定律
大数定理严格的数学定义分为两种，一是弱大数定理，一种是强大数定律。

**弱大数定律**  设 $ X_1, X_2, X_3, \dots $ 是独立同分布的随机变量序列，期望 $ \mu = \mathbb{E}[X_i] $ 存在且有限。弱大数定律指出，样本均值**依概率收敛于期望值**：

$$
\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \xrightarrow{\text{P}} \mu \quad \text{当} \quad n \to \infty
$$

其中，“$ \xrightarrow{\text{P}}$”表示依概率收敛。

**强大数定律** 设 $ X_1, X_2, X_3, \dots $ 是独立同分布的随机变量序列，期望$ \mu = \mathbb{E}[X_i] $ 存在且有限。强大数定律指出，样本均值**几乎必然收敛于期望值**：

$$
\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \xrightarrow{\text{a.s.}} \mu \quad \text{当} \quad n \to \infty
$$

其中，“a.s.”表示几乎必然收敛。

不管是弱大数定律还是强大数定理，本质上没太大区别，一句话就是：当样本数量很大的时候，样本均值和真实期望值充分接近。

## 切比雪夫Chebyshev大数定律

**切比雪夫Chebyshev大数定律** 设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 两两不相关，各有数学期望$E(X_1),E(X_2)...$ 与方差 $D(X_1),D(X_2)...$ ，且方差小于一个常数$c$ ,则对任意 $\varepsilon>0$ 有

$$
\boxed{
\begin{gathered}
P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)\right| \leq \varepsilon\right) = 1 
\end{gathered} ...(1)
}
$$

证明 因为随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 两两不相关，根据期望和方差的性质得

$$
E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right), \quad D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D\left(X_i\right) \leq \frac{c}{n}
$$

由切比雪夫不等式知，对任意 $\varepsilon>0$ ， 当 $n \rightarrow \infty$ 时，

$$
P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{1}{\varepsilon^2} D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) \leq \frac{c}{n \varepsilon^2} \rightarrow 0 \text { 。 }
$$

这里随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 两两不相关指序列中的任意两个随机变量线性无关。

切比雪夫大数定律的通俗解释清参考[切比雪夫不等式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=558)

###  理解切比雪夫大数定律
如果我们把切比雪夫大数定律拆分来看：
① $ \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ... 这个是$n$次取样的平均值。

② $\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i\right)$ ... 这个是$n$次取样的期望的平均值。

③ 在《高等数学》例已经学过，$\varepsilon$表示任意一个小的数。

所以，

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