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伯努利Bernoulli大数定律

## 伯努利Bernoulli大数定律

假设 $\mu_n$ 是 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，在每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p(0<p<1)$ ，则 $\frac{\mu_n}{n} \xrightarrow{p} p$ ，即对任意 $\varepsilon>0$ ，有

$$
\boxed{
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{\mu_n}{n}-p\right|<\varepsilon\right\}=1
}
$$

证 引入随机变量
$$
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 第 } k \text { 次试验中 } A \text { 不发生, } \\
1, & \text { 第 } k \text { 次试验中 } A \text { 发生 }
\end{array}\right.
$$

显然

$$
n_A=\sum_{k=1}^n X_k
$$

由于 $X_k$ 只依赖于第 $k$ 次试验，而各次试验是独立的，于是 $X_1, X_2, \cdots$ 是相互独立的．由于 $X_k$ 服从 $(0-1)$ 分布，因此

$$
E\left(X_k\right)=p, \quad D\left(X_k\right)=p(1-p)(k=1,2, \cdots)
$$

由推论 ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k-p\right|<\varepsilon\right\}=1
$$

即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{n_A}{n}-p\right|<\varepsilon\right\}=1
$$

伯努利大数定律的通俗解释就是 [用频率估计概率](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=198)

> **它表明**，当样本容量足够大的时候，随机事件发生的频率依概率收敛于其发生的概率。这就说明了频率具有稳定性了，稳定于其发生的概率。

### 用频率估计概率
伯努利大数定律表明：当重复试验次数 $n$ 充分大时，事件 $A$ 发生的频率 $\frac{n_A}{n}$ 依概率收敛于事件 $A$ 发生的概率 $p$ 。此定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性．在实际应用中，当试验次数很大时，**便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率**．

> 比如，不知道流水线产品合格率，抽检 100个，用着100个的合格率来代替全部产品的合格率，在数学上是可以的。

此外，如果事件 $A$ 的概率很小，则由伯努利大数定律知事件 $A$ 发生的频率也是很小的，或者说事件 $A$ 很少发生．即＂概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生＂，这一原理称为**小概率原理**，它的实际应用很广泛．
 
 伯努利大数定律要求随机变量$X_i(i=1,2,…)$的方差存在,但在随机变量服从同一分布的场合,并不需要这一要求,于是又给出了辛钦大数定律

## 一个经典的例子：抛硬币

1.  **理论上的概率（本来的样子）**：
    我们都知道，一个均匀的硬币，正面朝上的理论概率是 **50%**（或说 1/2）。

2.  **少数几次抛掷（短期看运气）**：
    *   你只抛了 **10次** 硬币。结果可能是7次正面，3次反面。这时，正面朝上的 **频率**（也就是实际发生的比例）是 7/10 = **70%**。
    *   这个 70% 离理论的

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